河北省临西县2023年高考仿真模拟数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2+3/

1.

1-z

15.15.55.

-------1--1C.—I—I

22222222

2,宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦）,

每一卦由三根线组成（“一”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）.从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴

线的概率为（）

3.在满足0<玉<%<4,xJ=婷的实数对（x,.,y）（i=1,2,…,”，…）中，使得龙।+々+…+当_1<3无„成立的正整

数〃的最大值为（）

A.5B.6C.7D.9

1—.\冗

4.已知a=（cos7,sina）,b=[cos（-a）,sin（-a））,那么£石=。是。=%万+1（左eZ）的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.在长方体ABCD-4BGA中，AB=\,AD=&A4,=,则直线与平面ABC；所成角的余弦值为（）

2B.3C.巫D,巫

2355

6.已知抛物线），2=4元的焦点为产，准线与x轴的交点为K,点P为抛物线上任意一点NXP尸的平分线与x轴交于

（，〃,0）,贝！），〃的最大值为（）

A.3-272B.26-3C-2-石D.2--^2

7.执行如图的程序框图，若输出的结果y=2,则输入的x值为（）

A.3B.-2

C.3或-3D.3或一2

8.如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

I*援

A.94+20B.94+26C.5%+20D.5〃+26

9.集合A={x[x>2,xe7?},Z?=|JV|X2—2x—3>o1,则AP|B=()

A.(3,+oo)B.(-oo,-l)U(3,+oo)C.(2,+oo)D.(2,3)

10.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，

又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1））,

类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个

大正六边形，设A'P=2产幺，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）

C.也D.i

77

22

11.已知斜率为-2的直线与双曲线。：*一方=1（。>0力>0）交于48两点，若“（%,为）为线段A3中点且

kOM=-4（。为坐标原点），则双曲线。的离心率为（）

A.75B.3C.73D.

4

12.数列｛斯｝,满足对任意的“GN+,均有4“+”"+1+”"+2为定值.若a7=2,“9=3,的8=4,则数列｛4"｝的前100项的和5100=（）

A.132B.299C.68D.99

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图在三棱柱ABC-%B|G中，底面ABC,AB=AC=&，BC=2BB、=2五,点P为线段A4上一

动点，则Cf+BP的最小值为.

14.设等比数列｛"“｝的前〃项和为S.，若a1-%=2,。2-。3=6,贝US4=.

15.已知向量万,5满足3+=-6,且|1|=1,|B|=2,贝!Jcos<a,5>=.

16.在某批次的某种灯泡中，随机抽取200个样品.并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下:

寿命（天）频数频率

[200,3(X))40a

[300,400)600.3

[400,500)h0.4

[500,600)200.1

合计2001

某人从灯泡样品中随机地购买了GN*）个，如果这n个灯泡的寿命情况恰好与按四个组分层抽样所得的结果相

同，则"的最小值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知数列仅“｝是各项均为正数的等比数列（〃eN*）,q=2,且2q,a3,3生成等差数列.

（I）求数列仅“｝的通项公式；

（II）设勿=log24,S,,为数列出“｝的前〃项和，记*=[+!+?+……+!，证明：L,（＜2.

18.（12分）已知AABC满足,且〃=痴，A=^,求s加C的值及AABC的面积.（从①5=（,②^二百,

③a=30s比6这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）

19.（12分）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）

ak'][k

已知矩阵人=（k#0）的一个特征向量为a=,

01-1

A的逆矩阵Ai对应的变换将点（3,1）变为点（1,1）.求实数a,k的值.

r0

20.（12分）在直角坐标系中，曲线G的参数方程为｛'为参数），以坐标原点。为极点，》轴

y=sina

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为夕cose+psin0+4=0.

（1）求曲线G的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）若点p在曲线G上，点Q在曲线G上，求IPQI的最小值及此时点P的坐标.

21.（12分）已知函数/（x）=msinx+0cosx（加〉0）的最大值为2.

（I）求函数Ax）在[0,兀]上的单调递减区间

(H)A4BC中,/(A—K)+/(B-工)=4#sinAsinB,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且C=60°,c=3,求

44

AABC的面积.

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：/-4x-4=0,以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建

TT

立极坐标系，直线/的极坐标方程为。=§(peR).

(1)求抛物线C的极坐标方程；

(2)若抛物线C与直线/交于A,B两点,求|A3|的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

分子分母同乘1+i,即根据复数的除法法则求解即可.

【详解】

,2+3z(2+3z)(l+z)15.

----=------=--1-1

1-z(l-z)(l+z)22'

故选:A

【点睛】

本题考查复数的除法运算,属于基础题.

2.B

【解析】

根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本

事件数，代入公式求解.

【详解】

从八卦中任取两卦基本事件的总数〃==28种，

这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种，

分别是(巽，坤)，(兑，坤)，(离，坤)，(震，艮)，(震，坎)，(坎，艮)，

所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是2=£=亮.

故选：B

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

3.A

【解析】

由题可知：0<%<yV4,且呼=可得彳j=;，构造函数〃⑴=一5(0<f44)求导，通过导函数求出h(t)

的单调性，结合图像得出Ln=2,即2«Xj<e得出3x“<3e,

从而得出〃的最大值.

【详解】

因为0<毛<»<4,xJ=yj

则Inx；"=In,即y,.In玉=xjny

Inx,Iny；

整理得———,令/=七=%,

Xiy1

设硝)=包(0<区4),

1-

,i—,/—1,Infii.

则m"

令〃'(r)>0,则0<r<e,令〃'(r)<0,则e<r«4,

故〃⑺在(O,e)上单调递增，在(e,4)上单调递减，则/?(e)=L

e

因为王<y,〃(七)=〃(y),

由题可知：〃(f)=；ln4时，则，min=2,所以2«f<e,

所以2<Xj<e<y,Y4,

当血无限接近e时，满足条件，所以24X,<e,

所以要使得内+/+…+X,T<3当<3ea8.154

故当玉=/=W=Z=2时，可有须+%+%3+匕=8<8.154,

故〃-1W4,即〃K5,

所以：”最大值为5.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.

4.B

【解析】

由£石=0,可得cos2a=0,解出即可判断出结论.

【详解】

1-

解：因为a=(cosa,sina),/?=(005(一。),5m(一。))且々石=0

cosa・cos(-a)+sina・sin(-a)=cos2cr-sin2a=cos2a=0.

■rrTT

la=2k^+—,解得a=k方土w(ZeZ).

TT

；.£5=0是a=%乃+一(左eZ)的必要不充分条件.

4

故选：B.

【点睛】

本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5.C

【解析】

在长方体中A8//C|A，得。，与平面ABG交于A，过。做。于。，可证。O_L平面ABGA，可得

为所求解的角，解RfAAOR,即可求出结论.

【详解】

在长方体中AB//C.D,,平面ABC,即为平面ABCQ],

过。做。OJ.AR于。，QAB_L平面AARZ),

小匚平面的。。,，AB±DO,ABC\ADt=D,

：.DOL平面ABCR,..ZDD,A为。。与平面ABQ所成角,

在Rt^ADD、,DD、-A4j=AD=-72,AD,=y/5)

ADtV55

直线。。与平面ABC,所成角的余弦值为孚.

故选:C.

【点睛】

本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.

6.A

【解析】

x+11—m

求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，"])2+4「77^

求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解.

【详解】

解：由题意可得，焦点尸(1,0),准线方程为x=-l,

过点P作PM垂直于准线，M为垂足，

由抛物线的定义可得I尸尸|=|PM|=x+l,

记NKPF的平分线与x轴交于”(m,0),(-l<m<l)

|PF\|PM|\FH\

根据角平分线定理可得两=两=两

x+l_\—m

7（X+1）2+4%[+机

当x=0时，m=09

x+l

d（x+）

当xwO时,12+4x

••享导=°<22血，

综上：04/〃<3-2近.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键.考查学

生的计算能力，属于中档题.

7.D

【解析】

根据逆运算，倒推回求x的值，根据x的范围取舍即可得选项.

【详解】

因为y=2,所以当3犷=2,解得X=3>0,所以3是输入的X的值；

当2-1=2时，解得％=-2<0,所以-2是输入的X的值，

所以输入的x的值为-2或3,

故选：D.

【点睛】

本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题.

8.C

【解析】

根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1,高为4,长方体

的底面四边形相邻边长分别为1,2,高为4,所以该几何体的表面积

71

S=»x「+—x2;rxlx4+lx2x2+lx4x2+2x4=5；T+20,故选C.

2

【点睛】

本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.

9.A

【解析】

计算B=(-8,-l)U(3,+8),再计算交集得到答案.

【详解】

B=-2x-3>o|=(-oo,-l)u(3,+co),A={x[x>2,xeR},故AnS=(3,+oo).

故选：A.

【点睛】

本题考查了交集运算，属于简单题.

10.D

【解析】

设AF=a,则4尸=2a,小正六边形的边长为A'F=2a,利用余弦定理可得大正六边形的边长为AB=缶，再

利用面积之比可得结论.

【详解】

由题意，设=则AE'=2a,即小正六边形的边长为AF'=2a,

7T

所以，FF'=3a,NA尸尸=一，在AAF户中，

3

由余弦定理得AF2=AF,2+FF2-2AF'-FF'•cosZAFrF，

即AF~=a"+(3a)—2a,3a,cos—,解得AF=V?a，

所以，大正六边形的边长为Ab=&，

所以，小正六边形的面积为S]=4x2ax2〃x^^x2+2ax2>/5a=6y/3a2，

22

大正六边形的面积为S2=gxJ7ax+=叵/,

54

所以，此点取自小正六边形的概率2=亍=亍.

故选：D.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

11.B

【解析】

设A(X”X),B(>2，)2)，代入双曲线方程相减可得到直线AB的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到。力的等式，求

出离心率.

【详解】

k—比一4

%

(22

9_"=1

2八2_]

设4再，%),8(工2，%)，则V,,，

至—21=1

两式相减得。+々与f)_叱*孕二&2=0,

ab

:.k=y一％.层&+「)=从/=。2(2,£=r~t

"8x,-xa2(y,+y)a2ya2\4j"2…\3

220a6r-

故选：B.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时,可设弦两端点坐标代入双曲线方程

相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系.

12.B

【解析】

由a.+an+]+all+2为定值，可得an+3=4,则｛4｝是以3为周期的数列，求出4，生，生，即求SM.

【详解】

对任意的"GN+，均有见+刀“+]+。计2为定值，

3+1+%+2+%+3)一(为+4+1+6%+2)=。,

故a”+3=a“，

..•｛里｝是以3为周期的数列，

曲［=ci-j—2,a,—。98=4,。3="9=3,

SJOQ=(4++%)+••・+(47++ci^)+4伽=33(4+zz,+q)+q

=33(2+4+3)+2=299.

故选：B.

【点睛】

本题考查周期数列求和，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.y[\A

【解析】

把G绕着AB1进行旋转，当G，A片,8四点共面时，运用勾股定理即可求得GP+8P的最小值.

【详解】

将以A耳为轴旋转至与面A4B4在一个平面，展开图如图所示，若B,C,,P三点共线时G2+台「最小为

22

BQAABG为直角三角形，BC}=7A5+AC,=V14

心

AB

故答案为：714

【点睛】

本题考查了空间几何体的翻折，平面内两点之间线段最短，解直角三角形进行求解，考查了空间想象能力和计算能力,

属于中档题.

14,-40

【解析】

由题意，设等比数列的公比为4,根据已知条件，列出方程组，求得4,17的值，利用求和公式，即可求解.

【详解】

由题意，设等比数列的公比为4,

a,-a,q=2

因为4一4=2,%一%=6,即《)/，解得夕=3,4=-1,

%q一=6

所以s,=业©=.40.

41—q1-3

【点睛】

本题主要考查了等比数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中根据等比数列的通项公式，正确求解首项

和公比是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

1

15.-

2

【解析】

由数量积的运算律求得7人再由数量积的定义可得结论.

【详解】

由题意(〃+笏>(2—5)=7+£%—=1+7日-2x2?=—6，

••ab-l'Bp|a||^|cos<«,S>=2cos<«,^>=l,cos<>=g♦

故答案为：一.

2

【点睛】

本题考查求向量的夹角，掌握数量积的定义与运算律是解题关键.

16.10

【解析】

先求出a,b,根据分层抽样的比例引入正整数"表示〃，从而得出〃的最小值.

【详解】

由题意得，a=0.2,b=S0,由表可知，灯泡样品第一组有40个，第二组有60个，第三组有80个，第四组有20个，所

以四个组的比例为2:3:4:1,所以按分层抽样法，购买的灯泡数为"=2A+3A+4A+A=10A(ZeN*),所以〃的最小值为10.

【点睛】

本题考查分层抽样基本原理的应用，涉及抽样比、总体数量、每层样本数量的计算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)4=2",〃wN*；(II)见解析

【解析】

(I)由q=2,且24，4,3%成等差数列，可求得g,从而可得本题答案；

1

(II)化简求得仇，然后求得不，再用裂项相消法求7“，即可得到本题答案.

【详解】

(I)因为数列｛4｝是各项均为正数的等比数列(〃eN*),q=2,可设公比为g,q>0,

又24,4,34成等差数列，

所以2a§=24+3%,即2x2q?=4+3x2q,

解得“=2或4=—；(舍去)，则a"=a"T=2","GN*;

(II)证明：bn=log2an=log,2"=n,

112]__1

Sn=-«(«+1),—=------=2

2Sn〃("+1)nn+1

,1111”11111、c八1、

则7铲岳+铲……+耳=2(1-5+5-§+…+厂Q)=2(l-Q),

因为」一所以(1

0<mL,1421-<2

〃+l2In+\

即<2.

【点睛】

本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明

能力.

18.见解析

【解析】

选择①时：6=工，A=2%,计算sinC=#一述,根据正弦定理得到a=3,计算面积得至U答案;选择②时，a=6,

434

%="，故B>A,A为钝角，故无解；选择③时，〃=385皿8，根据正弦定理解得$出8=立，sinC二亚二

24

根据正弦定理得到a=3,计算面积得到答案.

【详解】

选择①时：B=^,A=^7V,故sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

根据正弦定理：-,故。=3,故S=La《sinC=9二39.

sinAsinB24

选择②时，a=5b=«),故6>A,A为钝角，故无解.

I3>/2sinB_瓜

选择③时，a=3拒sinB，根据正弦定理：==—^，故―忑一—sinB，

sinAsinB—

2

解得sinB=*,sinC=sin(A+5)=sinAcosB4-cosAsinB=—.

根据正弦定理：-,故4=3,故5=,H7$皿。=吃之叵.

sinAsinB24

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

kakkkak-k=Xk

19.解：设特征向量为a=对应的特征值为3则=入,即《

01’2=1

因为厚0,所以a=2.5分

,31132k13

因为Ai=，所以A,即

11110111

所以2+k=3,解得k=2.综上，a=2,k=2.20分

【解析】

试题分析：由特征向量求矩阵A,由逆矩阵求k

考点：特征向量，逆矩阵

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵.

r2=1；x+y+4=0(2)最小值为血，此时P[-g

20.(1)—+y2

32

【解析】

(1)消去曲线G参数方程的参数，求得曲线G的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线的直

角坐标方程.

(2)设出p的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得IPQI的最小值及此时点P的坐标.

【详解】

7

(1)消去a得，曲线G的普通方程是：—+/=1；

3

把x=/cosa,y=「sinc代入得，曲线G的直角坐标方程是x+y+4=0

(2)设P(ecosa,sina),IPQI的最小值就是点P到直线G的最小距离•

2sin[a+；J+4

设」|V3cosa+sina+41

-------------------

.5TI.sin[a+(J=-l,d=0是最小值,

在a=----时9

6

此时百c