初中数学破题致胜微方法（等腰直角三角形中的手拉手模型）等腰直

本文格式为Word版，下载可任意编辑——初中数学破题致胜微方法（等腰直角三角形中的手拉手模型）等腰直等腰直角三角形与正方形手拉手

例：已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D在直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF，

（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①CF=BD;②CF⊥BD;

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，线段CF与BD的上述关

系是否还成立？请直接写出结论即可（不必证明）；

（3）如图3，当点D在线段的反向延长线上，且点A、F在直线BC的两端，其他条件不

变，线段CF与BD的上述关系是否还成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，正方形的性质可得AD=AF,∠DAF=90°,然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，再利用“边角边〞证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形的对应角相等可得∠ACF=∠ABD，然后求出∠BCF==90°,再根据垂直的定义证明即可；（2）结论依旧成立；

（3）同（1）可证△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD=135°，然后求出∠BCF=90°，再根据垂直的定义证明即可.

解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°,

1

∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF,∠DAF==90°，

∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=90°，∠CAF+∠CAD=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF,

?AB?AC?在△ABD和△ACF中，??BAD??CAF，∴△ABD≌△ACF，所以①CF=BD，∠ACF=∠ABD,

?AD?AF?∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，∴②CF⊥BD;

（2）当点D在线段延长线上时，线段CF与BD的上述关系依旧成立；

（3）当点D在线段BC的反向延长线上，且点A、F在直线BC的两侧，线段CF与BD的上述关系依旧成立.

理由：同理可证，△ABD≌△ACF，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°，∵∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°，∴CF⊥BD.

总结：两个等腰直角三角形共直角顶点为手拉手模型之一，如图，其中有等腰直角三角形和正方形共直角顶点，相当于两个等腰直角三角形“手拉手〞，由于正方形其中一个对角线与两边就可形成等腰直角三角形，所以有全等三角形及其性质的应用

练习：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90?，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以

AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．

（1）若点D在线段BC上，如图1.

①依题意补全图1；

②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；

（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB=2，则GE的

长为_______，并简述求GE长的思路．

2

图1备用图解:(1)①补全图形，如图1所示．

图1

②BC和CG的数量关系：BC?CG，位置关系：BC?CG．

证明:如图1．

∵AB?AC,?BAC?90?，∴?B??ACB?45?，?1??2?90?．∵射线BA、CF的延长线相交于点G，∴?CAG??BAC?90?．∵四边形ADEF为正方形，∴?DAF??2??3?90?，AD?AF．∴?1??3．∴△ABD≌△ACF．∴?B??ACF?45?．∴?B??G?45?，?BCG?90?．∴BC?CG，BC?CG．(2)GE?10．

思路如下：a.由G为CF中点画出图形，如图2所示．

3

b.与②同理，可得BD=CF，BC?CG，BC?CG；

c.由AB?2，G为CF中点，可得BC?CG?FG?CD?2；

d.过点A作AM?BD于M，过点E作EN?FG于N，可证△AMD≌△FNE，