2021年北京新高考数学复习练习讲义：4解三角形

4.4解三角形

探考情悟真题

【考情探究】预测热土上考点内容解读5年考情考题示例考向关联考点.正弦、余弦定①理解正弦定理与余弦定理的推导过程②掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2019北京

文，152016北京，152016北京

文，13.解三综合应能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2015北京，122015北京

文,11

2018北京

文，142017北京，15运用正弦定理、余弦定理解三角形运用余弦定理解三角形运用正弦定理、余弦定理解三角形运用正弦定理解三角形运用正弦定理、余弦定理解三角形三角恒等变换土上考点内容解读5年考情考题示例考向关联考点.正弦、余弦定①理解正弦定理与余弦定理的推导过程②掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2019北京

文，152016北京，152016北京

文，13.解三综合应能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2015北京，122015北京

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2018北京

文，142017北京，15运用正弦定理、余弦定理解三角形运用余弦定理解三角形运用正弦定理、余弦定理解三角形运用正弦定理解三角形运用正弦定理、余弦定理解三角形三角恒等变换三角恒等变换、三角函数的性质换元法，解二次方程二倍角公式三角形中“大边对大角〃三角恒等变换分析解读1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关的量的问题分析解读时,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.在高考中常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中.破考点练考向【考点集训】考点一正弦、余弦定理的应用1.（2020届北京二中开学考试,5）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,贝U“a>b〃是“cos2A<cos2B'*T（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C2.（2020届北京东直门中学期中，16）在^ABC中，c=7,sinC：2山.5⑴若cosB=5,求b的值；7⑵若@+匕=11,求4ABC的面积.解析（1）在4ABC中，cosB=5,7/.sinB=V1-cos2B=2^6,7•.,c=7,sinC=2A5r246••由正弦定理可得b=w=二+=5.sinC2465（2）在^ABC中,a2+b2>（^+h）2=112>72=c2,2 2cosC=a2+'2-c2>0,VsinC=246,；.cosC』2ab 5 5又c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-2ab-2abcosC,a+b=11,c=7,/.72=112-2ab-2ab,Aab=30,5，△ABcmabsinC=1X30X246=646.考点二解三角形及其综合应用.（2020届北京八一学校开学考试，11）在△ABC中，a=1,b=47，且△ABC的面积为6,则2c=.答案2或243.（2018北京东城期末，12）在△ABC中，a=5,c=7,cosC=：则b=,△ABC的面积为.答案6;646.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,至UA处时测得公路北侧一垂直于路面的山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.答案100V6.(2020届山东夏季高考模拟,18)在^ABC中,NA=90°,点D在BC边上.在平面ABC内，过D作DFLBC且DF=AC.(1)若D为BC的中点,且^CDF的面积等于△ABC的面积,求NABC;(2)若NABC=45°,且BD=3CD,求cosNCFB.解析(1)因为CD=BD,所以CD=1bc.2由题设知DF=AC,1CD-DF=1AB-AC,因止匕CD=AB.22所以AB=1BC,因此NABC=60°.2⑵不妨设AB=1,由题设知bc=V2.由BD=3CD得BD=3AcD=2.4 4由勾股定理得CF干,BF=,.917由余弦定理得COSNCFB=8£-2—二应12.2产产5144炼技法提能力【方法集训】方法1三角形形状的判断.设^ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则4ABC的形状为()A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.不确定答案A.在^ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.⑴求角A的大小；⑵若sinB+sinC=V1试判断△ABC的形状.解析(1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,所以cosA=ft2+c2-ff2=1,2bc2因为0°<A<180°,所以A=60°.⑵因为A+B+C=180°,所以B+C=180°-60°=120°.由sinB+sinC=V3,得sinB+sin(120°-B)=V3,所以sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=j3.所以飞mB+^cosB=j3,IPsin（B+30°）=1.22因为0°<B<120°,所以30°<B+30°<150°.所以B+30°=90°,即B=60°.所以A=B=C=60°,所以△ABC为等边三角形.方法2解三角形的常见题型及求解方法.（2018北京朝阳二模,4）在^ABC中,a=1,NA=：,NB=；,则c=（）AV6+V2 bNgS c也 dVz答案A.（2020届北京陈经纶中学开学考试,10）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=6,a=2c,B=n，则4ABC的面积为.答案6V3.（2018北京石景山一模，12）在△ABC中，NA=60°,AC=4,BC=2V3，则△ABC的面积等于.答案2V3.（2019北京丰台二模文,14）在^ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,sinB=sin2A.①的值为；cosA②若a>c,则b的取值范围是 .答案①6②（3,3V2）.（2020届北京人大附中开学考试，11）在△ABC中，a=3,b=V13,B=60°,则c=;△ABC的面积为.答案4;3V3.（2019北京西城一模,15）在4ABC中，已知a2+c2-b2=mac,其中m£R.⑴判断m能否等于3,并说明理由；（2）若m=T,b=2j7,c=4,求sinA.解析（1）m不能等于3.理由如下：当m=3时，由题可知a2+c2-b2=3ac,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得cosB=a2+c2-b2=3,2ac2这与cosB£[-1,1]矛盾，所以m不可能等于3.⑵由⑴得cosB=R=」，所以B=2n.2 2 3因为b=2V7,c=4,a2+c2-b2=-ac,所以a2+16-28=-4a,解得a=-6（舍）或a=2.在^ABC中，由正弦定理,得sinA=flsin£=-2=x^=①.【五年高考】A组 自主命题•北京卷题组.（2015北京，12,5分）在^ABC中,a=4,b=5,c=6,则皿=.sinC答案1TOC\o"1-5"\h\z.（2018北京文,14,5分）若^ABC的面积为&（a2+c2-b2）,且NC为钝角，则NB=尸的4 a取值范围是 .答案n;（2,+8）3.（2016北京文,13,5分）在4ABC中,NA=2n,a=V3c,贝心二 .3 c答案1.（2015北京文,11,5分）在^ABC中,a=3,b=V6,NA=2n,则NB=.答案n4.（2019北京文,15,13分）在4ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-1.2

(1)求b,c的值；⑵求sin(B-C)的值.解析本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，旨在考查学生在解三角形中的运算求解能力，以求三角形的边为背景考查数学运算的核心素养和方程思想(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-2X3XcX(-1因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2X3XcX(-2)解得c=5.所以b=7.(2)由cos8=」得sinB=^3.由正弦定理得sinA=^由正弦定理得sinA=^sinB=3^3b在4ABC中，B+C=n-A.14所以sin(B+C)=sinA=3^3.146.(2018北京,15,13分)在4ABC中,a=7,b=8,cosB=-1.7(1)求NA;⑵求AC边上的高.解析(1)在4ABC中，因为cosB=-1,所以sinB=VTC^=4^.由正弦定理得sinA3nB=声b2由题设知n<N8<一所以0<NA<n.所以NA=n.3(2)在^ABC中,因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=3^3,14所以AC边上的高为asinC=7X裳3=袁314 2方法总结处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析哪些边、角是已知的，哪些边、角是未知的，然后将方程转化为只含有边或角的方程，最后通过解方程求出边或角.7.(2017北京，15,13分)在4ABC中，NA=60°,c=3a.

(1)求sinC的值；⑵若a=7,求^ABC的面积.解析本题考查正、余弦定理的应用，考查三角形的面积公式.(1)在4ABC中，因为NA=60°,c=3a,7所以由正弦定理得sinC=w=3XGWa7 2 14⑵因为a=7,所以c=3X7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2bX3X1,2解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=1bcsinA=1X8X3X^3=6V3.22 2解后反思根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积.8.(2016北京，15,13分)在^ABC中,a2+c2=b2+V2ac.⑴求N_8的大小；(2)求J2cosA+cosC的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cosB=3屉=五三点2ac2ac2又因为0<NB<n,所以NB=n.4（2）由（1）知NA+NC=:.J2cosA+cosC=j2cosA+cosg^-A）=J2cosA-^2cosA+AinA=J=J2cosA+J222sinA=cos（4-n）.因为0<NA<3,4所以当NA=n时，J2cosA+cosC取得最大值1.4思路分析第⑴问条件中有边的平方和边的乘积,显然应选用余弦定理求解.第⑵问用三角形内角和定理以及三角恒等变换将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式再注意角的取值范围,即可得出答案.评析本题考查余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质属中档题.B组统一命题、省（区、市）卷题组考点一正弦、余弦定理的应用1.（2019课标全国I文,11,5分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA-bsinTOC\o"1-5"\h\zB=4csinC,cosA=-1,则，=（ ）4cA.6 B.5 C.4 D.3答案A.（2018课标全国11,6,5分）在^ABC中，cosj£,BC=1,AC=5,则AB=（）25A.4V2 B.V30C.V29 D.2V5答案A.（2019浙江,14,6分）在^ABC中，NABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若NBDC=45°,则BD=,cosNABD=.答案12,2.岳5 10.（2019课标全国II文,15,5分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=.答案3n.（2018浙江,13,6分）在^ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=V7,b=2,A=60°,则"sinB=,c=.答案而;3.（2016课标1,13,5分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=4,cosC=-5,a=1,5 13贝"b=.答案2113.（2019课标全国0,18,12分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin"=bsin2A.⑴求B;⑵若^ABC为锐角三角形,且c=1,求^ABC面积的取值范围.解析本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)由题设及正弦定理得sinAsin&"=sinBsinA.2因为sinAx0,所以sin^+c=sinB.2由A+B+C=180°,可得sin&"=cos',22故cos£=2sin£cos£.2 2 2因为cosJ0,故sinH=1,因此B=60°.2 22⑵由题设及(1)知^ABC的面积SAa^^a.△ABC4由正弦定理得a=3=sind2°F=幺-+1.sinCsinC2tanC2由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°,0°<C<90°.由⑴知A+C=120°,所以30°<C<90°,故1<a<2,2从而百应ab§因此,△ABC面积的取值范围是(，，F).思路分析⑴用正弦定理将边化成角,再利用三角恒等变换求解角B.⑵先用正弦定理表示出边a,再用面积公式和锐角三角形的性质求出角C的范围,进而求出△ABC面积的取值范围.8.(2019天津，15,13分)在^ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csinB=4asinC.⑴求cosB的值；(2)求sin(2B+n)的值.解析本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.体现了对数学运算这一核心素养的重视.⑴在^ABC中，由正弦定理-i-i2-,得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.又因为b+c=2a,得至1」b=4a,c=2a.3 3由余弦定理可得cosB二心+2星二七三2二」.TOC\o"1-5"\h\z2ac 2,a.2a 4(2)由(1)可得sinB=V1-cos23=^15,4从而sin2B=2sinBcosB=-^15,cos2B=cos2B-sin2B=-7,8 8故sin(2B+n)=sin2Bcosn+cos2Bsinn=-^5x6-7x1=-^5+7.\ 6, 6 6 8 28 2 16思路分析⑴由已知边角关系3csinB=4asinC,利用正弦定理,得三边比例关系,根据余弦定理即可求出cosB.⑵由⑴利用同角三角函数基本关系,求出sinB,再由二倍角公式求出sin2B、cos2B,代入两角和的正弦公式即可求出sin&B+江）的值.易错警示角B为三角形内角,故sinB>0,由cosB求sinB仅有一正解.9.(2018课标1,17,12分)在平面四边形ABCD中，NADC=90°,NA=45°,AB=2,BD=5.(1)求cosNADB;(2)若DC=2V2,求BC.解析(1)在4ABD中，由正弦定理知皿=一^.sin团4sin^ADB故-^―=—2—,所以sinNADB=£.sin45°sin团4。8 5由题设知,NADB<90°,所以cosNADB=d1-：=彳3.(2)由题设及(1)知,cosNBDC=sinNADB二应.5在△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2-BD-DC-cosNBDC=25+8-2X5X2V2X区=25.所以5BC=5.方法总结正、余弦定理的应用原则：⑴正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用.⑵运用余弦定理时,要注意整体思想的应用.⑶在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.

(4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答此类问题时需要进行分类讨论,以免漏解或增解.考点二解三角形及其综合应用.(2018课标0,9,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若^ABC的面积为足金,4)B.n)B.n C.n D.工3 4 6A.n2答案C.(2016课标m,8,5分)在4ABC中,B=n,BC边上的高等FBC,则cosA=(43A3,10A3,1010B.S10C310D.-疝10答案C.(2017浙江,14,6分)已知^ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cosNBDC=.答案V15.^10;4.(2019课标全国1,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.⑴求A;(2)若V2a+b=2c,求sinC.解析本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos4二山J二1.2bc2因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得V2sinA+sin(120°-C)=2sinC,即据+6cosC+1sinC=2sin&可得cos(C+60°)=-^.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=区，故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)・sin60°=‘6+’2.4思路分析⑴先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,进而得出角A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角，利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正弦、余弦的等式，利用角度变换求出sinC.5.(2019江苏,15,14分)在^ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=V2,cosB=2,求c的值;(2)若皿=3,求sin(B+n)的值.解析本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识考查运算求解能力.(1)因为a=3c,b=V2,cosB=2,3由余弦定理cosB=a2+c2»2,得2=(3畀2-(旬2,2ac32x3cxc即c2=1.所以c=033(2)因为皿=a2b由正弦定理=上,得3=^,所以cosB=2sinB.sin4sinB2bb从而cos2B=(2sinB)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=4.5因为sinB>0,所以cosB=2sinB>0,从而cosB=2^5.5因此siNB+jAcosB^.6.(2018天津,15,13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B-n).6(1)求角B的大小；(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在4ABC中，由正弦定理j-二-22-,可得bsinA=asinB,又由bsinA=acos（B-n）,得asinB=acos（B-n）,'6， '6,即sinB=cos（B-n）,可得tanB=V3.又因为B£（0,n）,可得Br.⑵在△ABC中，由余弦定理及a=2,c=3,B=:有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=j7.由bsinA=acos（B-n）,可得sinA=^3.又a<c,故cosA=-2.\6J V7 5因此sin2A=2sinAcosA=4^3,cos2A=2cos2A-1=1.所以，sin（2A-B）=sin2AcosB-cos2Asin77B=4,3*1-1*，?=?，?7 27 2 147.（2017课标1,17,12分必ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知^ABC的面积为十.（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1,a=3,求^ABC的周长.解析本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力.（1）由题设得%。$血8=-^2-,即P1csinB=—0—.2 3sina2 3sin4由正弦定理得^inCsinB=-sin^-.2 3sin4故sinBsinC=2.3⑵由题设及⑴得cosBcosC-sinBsinC=-1,2即cos（B+C）=；.所以B+C=：,故A=：.由题设得1bcsinA=^,即bc=8.2 3sin4由余弦定理得b2+c2-bc=9,即（b+c）2-3bc=9,得b+c=V33.故^ABC的周长为3+V33.思路分析（1）首先利用三角形的面积公式可得1acsinB=*J然后利用正弦定理，把边转化成角的形式,即可得出sinBsinC的值；（2）首先利用sinBsinC的值以及题目中给出的6cosBcosC=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,进而得出^ABC的周长.方法总结解三角形的综合应用.⑴应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式以便进一步化简计算，例如:将1csinB=变形为1sinCsinB=sin^-.2 3sin4 2 3sin4⑵三角形面积公式:S=%bsinC=1acsinB=1bcsinA.222⑶三角形的内角和为n.这一性质经常在三角化简中起到消元的作用，例如：在△ABC中，sin（B+C）=sinA.8.（2016课标1,17,12分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC（acosB+bcosA）=c.⑴求C;⑵若c=V7,△ABC的面积为氧3,求^ABC的周长.2解析（1）由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.可得cosC=；所以C=：.(2)由已知,得1absinC=3&又C=nL,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.；.a+b=5.所以△ABC的周长为5+V7.9.（2015课标H,17,12分）△ABC中,D是BC上的点,AD平分NBAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1成3；sin团C(2)若AD=1,DC=3,求BD和AC的长.2解析(1)、ABD^BMsinNBAD，S&ADC=1AC-ADsinZCAD.因为'△abd=2S△adc,NBAD=NCAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得3="=1.sin0C482⑵因为，ABD："ADC=BD：DC，所以bd=V2.在^ABD和^ADC中，由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB,AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosZADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由⑴知AB=2AC,所以AC=1.C组教师专用题组考点一正弦、余弦定理的应用TOC\o"1-5"\h\z1.（2013北京文，5,5分）在4ABC中,a=3,b=5,sinA=1,则sinB二（ ）A.1B.5C.区D.15 9 3答案B.（2017山东,9,5分）在4ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若^ABC为锐角三角形,且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是（ ）A.a=2b B.b=2aC.A=2B D.B=2A答案A.（2016天津,3,5分）在^ABC中，若AB=V13,BC=3,NC=120°,则AC=（）A.1 B.2 C.3 D.4答案A.（2015天津,13,5分）在^ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知^ABC的面积为3d15,b-c=2,cosA=-1,则Ua的值为.4答案8.（2015广东,11,5分）设^ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=d3,sinB=1,C=n,则2 6b=.答案1.（2014北京，12,5分）在4ABC中，a=1,b=2,cosC」,则c=;sinA=.答案2;而8.（2012北京文,11,5分）在^ABC中,若a=3,b=d3,NA=：,则NC的大小为.答案n2.（2012北京，11,5分）在4ABC中，若a=2,b+c=7,cosB=-1,贝Ub=.4答案4.（2011北京,9,5分）在4ABC中，若b=5,NB=n,tanA=2,则sinA=;a=.4答案2^;2V10.（2015安徽,16,12分）在^ABC中，NA卯,AB=6,AC=3d2,点D在BC边上,AD=BD,求AD的4长.解析设^ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosNBAC=（3V2）2+62-2X3夜X6Xcos3n=18+36-（-36）=90,所以4a=3V10.又由正弦定理得sinB=3^=f=W0,a 3V1010由题设知0<B<n,所以cosB=V1-sin2B=V1--L=缶.4 10 10在^ABD中，由正弦定理得AD=皿血=6sinRsin（n-2B）2sinBcosB=-3-=Vio.cosB考点二解三角形及其综合应用1.（2014江西,4,5分）在4ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=（a-b）2+6,C=n,则3△ABC的面积是（）A.3B.3 C.虻 D.3V3答案C2.（2018江苏,13,5分）在^ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,NABC=120°,NABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为，答案3.（2014山东,12,5分）在^ABC中，已知/B-AC=tanA,当A=n时,△ABC的面积为.6答案164.（2014四川，13,5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°*0.92,cos67°~0.39,sin37°~0.60,cos5.(2016浙江，16,14分)在^ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明：A=2B;⑵若^ABC的面积S=%求角A的大小.4解析(1)证明：由题意及正弦定理得sinB+sinC=2sinA-cosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B£(0,n),故0<A-B<n,所以8=冗-&-8)或8=4-8,因此A=n(舍去)或A=2B,所以，A=2B.(2)由S=LL2^1absinC=LL2,故有sinBsinC=-Lsin2B=sinBcosB.又sinBM,所以sinC=cosB.因为B,C£(0,n),所以C=n±B.L当B+C=n时，A=n;当C-B=n时，A=n.LLL4综上,A=n或三L46.(2014湖南，18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=V7.(1)求cosNCAD的值；(2)若cosNBAD=-^7,sinZCBA=^L1,求BC的长.解析（1）在4ADC中，由余弦定理得cosNCAD/^MQJWj.TOC\o"1-5"\h\z24C/D 2,77(2)设NBAC二a,贝ua=NBAD-NCAD.因为cosNCAD=2必，cosNBAD=-^7,7 14所以sinNCAD=V1-cos2回CAD=，1-(后)=^21,77sinNBAD=41-cos2回BAD«1-(-@二3^21'14， 14于是sina=sin(NBAD-NCAD)=sinNBAD-cosNCAD-cosNBAD-sinNCADXVXVzi=V3I7 2=3^21x14在^ABC中，由正弦定理,得皿=sinasin团CB4故bc==^23=3.sin团CB4V2167.(2014北京,15,13分)如图,在4ABC中,NB=n,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cosNADC」.3 7(1)求sinNBAD;(2)求BD,AC的长.解析(1)在4ADC中，因为cosNADC=1,7所以sinNADC=4&所以sinNBAD=sin(NADC-NB)=sinNADC-cosB-cosNADC-sinB=4,3x1-1X,3=3,37 27 2 14(2)易知sinNADB=sin(n-NADC)=sinNADC=4W在^ABD中，由正弦定理得73,3BD=/B・sin团B/D=8又赴=3sin团4。8 4V37在^ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosB=82+52-2X8X5X1=49.所以AC=7.思路分析（1）先得到sinNADC的值和NBAD=ZADC-ZB,再用两角差的正弦公式求值.（2）在^ABD中利用正弦定理求BD,然后在△ABC中利用余弦定理求AC.评析本题考查了三角恒等变换,及利用正、余弦定理解三角形；考查分析推理、运算求解能力.【三年模拟】一、选择题（每小题5分，共10分）1.（2019北京西城一模文,5）在4ABC中，已知a=2,sin（A+B）=1,sinA=1,则c=（ ）3 4A.4 B.3C.8D.433答案C2.（2019北京朝阳一模文,4,5分）已知在△ABC中,NA=120°,a=V21,△ABC的面积为V3.若b<c,则c-b=（ ）A.V17 B.3 C.-3 D.-V17答案B二、填空题（每小题5分，共30分）.（2019北京房山一模,11,5分）在^ABC中，已知BC=6,AC=4,sinA=3,则NB=.4答案n6.（2019北京东城一模,10）在4ABC中，若bcosC+csinB=0,贝物C=.答案3n4.（2019北京海淀一模,10）在4ABC中,a=4,b=5,cosC=1,则Uc=,S△AB= .答案6;山74.（2018北京海淀二模,12）在^ABC中，a：b：c=4：5：6，则tanA=.答案值3.（2019北京丰台期末,10）在4ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a>b,且夜a=2bsinA,则B=.答案n4.（2020届北师大附中期中，11）设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,贝物C=.答案2n3三、解答题（共140分）.（2019北京石景山一模，16）在^ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2V3,c=3,cosB=-1.3(1)求sinC的值；(2)求^ABC的面积.解析(1)在4ABC中，cosB=-i,3.'sinB=V1-cos2B=V1-(-1)2=遥.由b=2/3,c=3,及~^~=得迄=,；.sinC=*.sinBsinC2V2sinC 33(2)由b2=a2+c2-2accosB得12=a2+9-2X3aX(-1),，a2+2a-3=0，解得a=1或a=-3(舍)，/.S.=1acsinB=1X1X3X2v2=V2.△ABC2 2 3.(2019北京通州期末，15)如图，在△ABC中，NA=n，AB=4,BC=V17,点D在AC边上，且cosZADB=-1.3⑴求BD的长；(2)求^BCD的面积.解析(1)在4ABD中，因为cosZADB=-1,3所以sinZADB=2④.由正弦定理得~^~=sin团84。sintMDB所以BD=9sinMAD=2=3.sin团4。8 2V23(2)因为NADB+ZCDB=n,所以cosZCDB=cos(n-zADB)=-cosZADB=1,3所以sinZCDB=R2.在4BCD中，由BC2=BD2+CD2-2BD-CD-cosZCDB,得17=9+CD2-2X3XCDX1,3解得CD=4或CD=-2(舍).所以△BCD的面积S=1BD-CD-sinZCDB=1X3X4X/=4V2.2 3.(2019北京西城期末,15)在4ABC中，a=3,b=2/6,B=2A.⑴求cosA的值；⑵试比较B与C的大小.解析(1)在4ABC中,a=3,b=2V6,B=2A,由=上,得d=二,即=W6,解得cosA=V6.sin4sinBsin4sin24sin42sin4cos4 3⑵由A£(0,n),得sinA=，1-cos2A=6.3因为B=2A,所以cosB=cos2A=2cos2A-1=1.3所以sinB=V1-cos2B=2^2.3又因为A+B+C=n,所以cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=1.所以cosB>cosC.又因为函数y=cosx在(0,n)上单调递减，且B,C£(0,n),所以B<C..(2020届北京朝阳期中，17)在^ABC中"8=2近，点P在BC边上,且ZAPC=60°,BP=2.(1)求AP的值；(2)若PC=1,求sinZACP的值.解析(1)VZAPC=60°,...ZAPB=120°,在△ABP中,AB=2V7,BP=2,ZAPB=120°,由余弦定理得AB2=AP2+BP2-2AP-BP-cosZAPB,即28=AP2+4-2APX2X(-1),；・AP2+2AP-24=0,解得AP=4或AP=-6(舍).

(2)在^APC中,AP=4,PC=1,NAPC=60°,?.AC2=AP2+PC2-2AP-PC-cosZAPC=16+1-2X4X1X1=13,/AC=V13,2„..V3Z.sinzACP=3^4=3ac V131313.（2019北京清华大学中学生标准学术能力测试,17）在4ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=3,cosC=—L,5sin(B+C)=3sin(A+C).(1)求c;解析(1)由5sin(B+C)=3sin(A+C)得5sinA=3sinB,/・由正弦定理得5a=3b.=36,•••a=3,/.b=5.=36,./c2=a2+b2-2abcosC=32+52-2X3X5X/.c=6.（2）在^ABC中，由余弦定理得cosB=H2星=52ac9/.sinB=2^14,9・/sin(B-n)=sinBcosn-cosBsinn=2'14-5'313， 3 3 1814.（2020届北师大附中期中，16）在^ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且a2=b2+c2+bc.⑴求A的大小；(2)若sinB+sinC=1,b=2,试求△ABC的面积.解析(1)*/a2=b2+c2+bc,./由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可知，cosA=T2XAe(0,n),/A=2n.3(2)：sinB+sinC=1,./sinB+sin(n-B)=1,/.sinB+sinn-cosB-cos1n・sinB=1,/AosB+1sinB=1,/.sin(B+n)=1,,・^是4ABC的内角,.\B=n,AC=n-A-B=n,Ac=b=2,6 6.，.S人=1bcsinA=1X2X2X^3=V3.△ABC2 2 2.(2019北京东城期末，15)在4ABC中,V2csinAcosB=asinC.(1)求NB的大小；⑵若^ABC的面积为a2,求cosA的值.解析(1)在^ABC中，由正弦定理得csinA=asinC,所以cosB=明n/二退.，2csin42乂0</8<~所以/B=n.4⑵因为△ABC的面积S=1acsinn=a2,所以c=26a.24由余弦定理得b2=a2+8a2-2a2V2a当所以b=V5a.所以cosA二〃2+c2-a2二5a2+8a2-g2=3所以cosA二2bc 2-V5a-2V2a10.(2020届北京四中期中,20)在^ABC中，已知庄二^.acos4(1)求角A的大小；⑵若a=2V5,求^ABC面积的最大值.解析(DTRTos^.XZc-bhosA=acosB,.,.由正弦定理得(2sinC-sinB)-cosA=sinAcosacos4B,；.2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC,VsinCw0,；.cosA=1,又2VAE(0,n),AA=n.3(2)由cosA=b2+'2-a2=1,a=2V5,26c 2可知bc=b2+c2-20N2bc-20,Abc<20,当且仅当b=c时取等号，.，.$△ABC=1bcsinA<5V3,即^ABC面积的最大值为5V3..(2018北京朝阳一模,16)在^ABC中，已知sinA=，,b=2acosA.⑴若ac=5,求^ABC的面积；⑵若B为锐角，求sinC的值.解析(1)由正弦定理徼=3,bsinB因为b=2acosA,所以sinB=2sinAcosA,cosA">0,因为sinA”，5所以cos5所以sinB=2X^X^=^5 5 5所以^^acsinB=1X5X4=2.⑵由(1)知cosA=2^,sinB=4,5 5因为B为锐角，所以cosB=\5所以sinC=sin(冗-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=^Xx555 5 25.(2019北京朝阳期末,15)在^ABC中，已知A=^,cosC=12,BC=13.4 13⑴求AB的长；⑵求BC边上的中线AD的长.解析⑴在△ABC中，由于cosC=i25所以0«<匕所以sinC=i,由此二也得13 2 13sinCsindAB=BC-^=13xS=5V2.sind地2⑵在^ABC中,cosB