第七章IIR滤波器的设计方法

第七章IIR滤波器的设计方法现在是1页\一共有126页\编辑于星期四主要内容掌握冲激响应不变法掌握双线性变换法掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法现在是2页\一共有126页\编辑于星期四7.2数字滤波器的实现步骤

数字滤波器设计的4个步骤:

(1)按任务的需要，确定滤波器性能指标；

(2)用一个因果稳定的LSI系统函数去逼近这一性能要求，有IIR和FIR两种；

(3)用有限精度算法实现这个系统函数（包括选择运算结构（第5章）、选择合适的字长等）；（4）实际的技术实现；可以采用通用计算机软件，也可以采用DSP。现在是3页\一共有126页\编辑于星期四7.3数字滤波器的技术指标滤波器的频率响应：

为幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况

为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况现在是4页\一共有126页\编辑于星期四

：通带截止频率

：阻带截止频率

：通带容限（波纹）

：阻带容限（波纹）阻带：过渡带：通带：1.低通滤波器幅度响应的容限图现在是5页\一共有126页\编辑于星期四通带最大衰减：（dB）阻带最小衰减：(dB)其中：当时，称为3dB通带截止频率现在是6页\一共有126页\编辑于星期四3.表征数字滤波器频率响应特性的三个参量幅度平方响应

的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的H(z)的极点：单位圆内的极点现在是7页\一共有126页\编辑于星期四相位响应相位响应：现在是8页\一共有126页\编辑于星期四群延迟响应相位对角频率的导数的负值若滤波器通带内=常数， 则为线性相位滤波器现在是9页\一共有126页\编辑于星期四7.5模拟原型低通滤波器设计将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器模拟滤波器巴特沃思Butterworth滤波器切贝雪夫Chebyshev滤波器椭圆Ellipse滤波器现在是10页\一共有126页\编辑于星期四模拟滤波器设计步骤：2）选定滤波器类型（巴特沃思、切贝雪夫、椭圆）；3）计算滤波器所需阶次N；4）查表或计算确定归一化低通滤波器的系统函数Han(s)；

1）给定滤波器技术指标：5）将Han(s)转换为所需类型的滤波器系统函数Ha(s)

。现在是11页\一共有126页\编辑于星期四由幅度平方函数确定模拟滤波器的系统函数h(t)是实函数将左半平面的的极点归Ha(s)将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为Ha(s)的零点，虚轴上的零点一半归Ha(s)Ha(s)Ha(-s)的零极点分布现在是12页\一共有126页\编辑于星期四由幅度平方函数得象限对称的s平面函数对比和，确定增益常数由零极点分布，得系统函数现在是13页\一共有126页\编辑于星期四例：解：极点：零点：（二阶）零点：的极点：设增益常数为K0现在是14页\一共有126页\编辑于星期四7.5.2模拟巴特沃思低通滤波器1.幅度平方函数：当称Wc为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽N

为滤波器的阶数Wc为通带截止频率现在是15页\一共有126页\编辑于星期四2.幅度函数特点：

3dB不变性

通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小

过渡带及阻带内快速单调减小当W＝Wst（阻带截止频率）时，衰减的d2为阻带最小衰减现在是16页\一共有126页\编辑于星期四Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：（1）3.滤波器的系统函数：现在是17页\一共有126页\编辑于星期四

极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点

极点间的角度间隔为

极点不落在虚轴上N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点Ha(s)Ha(-s)的零极点分布(a)N=3(三阶）(b)N=4（四阶）现在是18页\一共有126页\编辑于星期四

为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为设N=3，极点有6个（见前页图），它们分别为：（下页）(2)Ha(s)的极点其中分子系数由Ha(0)=1解得。现在是19页\一共有126页\编辑于星期四取s平面左半平面的极点s1,s2,s3组成Ha(s)：现在是20页\一共有126页\编辑于星期四系统函数为：极点为：当N为偶数，Ha(s)的极点（左半平面）皆成共轭对，记为：这一对共轭点构成一个二阶子系统：（）现在是21页\一共有126页\编辑于星期四当N为奇数，则系统由一个一阶系统（极点s=-1）和(N-1)/2个二阶系统组成：整个系统由N/2（N为偶数）个此二阶系统级联而成：N为偶数（）N为奇数（）现在是22页\一共有126页\编辑于星期四这时得到的是归一化系统的系统函数去归一化，得为了便于对各种类型及各种截止频率滤波器的设计，滤波器设计手册中，都是将低通滤波器的截止频率归一化为1，即现在是23页\一共有126页\编辑于星期四4.滤波器的设计步骤：(P355-356)根据技术指标求出滤波器阶数N：确定技术指标：由得：同理：令则：现在是24页\一共有126页\编辑于星期四求出归一化系统函数：

或者由N，直接查表得其中技术指标Wc给出或由下式求出：

其中极点：去归一化阻带指标有富裕或通带指标有富裕现在是25页\一共有126页\编辑于星期四例：试设计一个模拟低通巴特沃思滤波器，要求通带截止频率Ωc=2π×4000rad/s，通带最大衰减Rp=3dB，阻带下限截止频率Ωst=2π×8000rad/s，阻带最小衰减As=20dB.解：（1）求阶数N：联立求解，得：因此，可取N=4；现在是26页\一共有126页\编辑于星期四（2）求极点：由式：（3）求系统函数Ha(s)：实际上，求出N=4时，可以直接查表（表7-2，P370），得到归一化的（Ωc=1）4阶巴特沃思低通滤波器的系统函数，然后再用s/Ωc代替其中的s即可得到同样的结果。现在是27页\一共有126页\编辑于星期四7.5.3模拟切贝雪夫低通滤波器现在是28页\一共有126页\编辑于星期四N：滤波器的阶数Wc

：截止频率，不一定为3dB带宽0<e<1，表示通带波纹大小，e越大，波纹越大CN(x)：N阶Chebyshev多项式TypeIChebyshev1.幅度平方响应：现在是29页\一共有126页\编辑于星期四现在是30页\一共有126页\编辑于星期四N为偶数N为奇数

通带内：在1和间等波纹起伏

通带外：迅速单调下降趋向02.幅度函数特点：现在是31页\一共有126页\编辑于星期四3.系统函数Ha(s)：P359-现在是32页\一共有126页\编辑于星期四现在是33页\一共有126页\编辑于星期四其中：现在是34页\一共有126页\编辑于星期四4.Chebyshev1滤波器的设计步骤Wc

：通带截止频率，给定

e

：表征通带内波纹大小由通带衰减决定(1)求

：现在是35页\一共有126页\编辑于星期四N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数，N的数值可由阻带衰减确定。若Wst为阻带截止频率，则：（2）求N：误差的分贝数为As：进而可求得A值为：从而：由此得：现在是36页\一共有126页\编辑于星期四阻带衰减越大（即A越大），所需阶数越高注意到：因此：结合前式：现在是37页\一共有126页\编辑于星期四注意：比较滤波器计算阶数N的公式：

Butterworth：

Chebyshev

I：现在是38页\一共有126页\编辑于星期四（3）求滤波器系统函数Ha(s)：已知N，Ωc，ε，故可求出Ha(s)。一种方法是直接查表（表7-5），得到归一化的的系统函数，然后再求出Ha(s)；另一方法为直接求解，先求出Ha(s)的极点分布，再求出Ha(s)，（参见：前面PPT或P359-）现在是39页\一共有126页\编辑于星期四TypeIIChebyshevfilter通带内：单调特性阻带内：等波纹起伏现在是40页\一共有126页\编辑于星期四7.5.4椭圆滤波器(Ellipticfilter)P365

带内均匀波动最快的滚降现在是41页\一共有126页\编辑于星期四7.5.5贝塞尔低通滤波器

P367

不作要求现在是42页\一共有126页\编辑于星期四7.5.6四类模拟滤波器的比较P3681）幅度特性：巴特沃思滤波器在全频段具有单调下降的幅度特性；切贝雪夫I型在通带中呈等波纹形，在阻带中是单调下降的；切贝雪夫II型在通带中是单调下降的，在阻带中呈等波纹形；椭圆滤波器在通带、阻带都呈等波纹形。2）过渡带宽：当N、通带最大衰减Rp(dB)、阻带最小衰减As(dB)、通带和阻带截止频率（、）相同时，巴特沃思滤波器过渡带宽最宽；切贝雪夫I型、II型次之；椭圆滤波器最窄。3）阶次N比较：若滤波器具有相同的幅度特性指标，则所需阶次N：巴特沃思滤波器最大；切贝雪夫其次；椭圆滤波器最小。现在是43页\一共有126页\编辑于星期四7.5.6四类模拟滤波器的比较5）相位特性：巴特沃思滤波器较好，在部分通带中有线性相位；切贝雪夫次之；椭圆滤波器最差。例：7.1,7.2P368-4）对参数量化的灵敏度比较：量化灵敏度巴特沃思滤波器最低（最好）；切贝雪夫较高；椭圆滤波器最高（最差）。现在是44页\一共有126页\编辑于星期四7.5.7模拟域频带变换法设计各种频率响应的模拟滤波器归一化模拟低通模拟低通、高通、带通、带阻模拟域频带变换变换要求：1）变换函数G(s)是有理函数；2）变换前后，滤波器必须是稳定的；3）必须是纯虚数。现在是45页\一共有126页\编辑于星期四1.模拟低通—>模拟低通 将截止频率的低通滤波器变换成为截止频率为的低通滤波器；当通带截止频率时，相当于去归一化。Or参见图7.13现在是46页\一共有126页\编辑于星期四2.模拟低通—>模拟高通变换关系：Or参见图7.14现在是47页\一共有126页\编辑于星期四现在是48页\一共有126页\编辑于星期四3.模拟低通—>模拟带通变换关系：or参见图7.15现在是49页\一共有126页\编辑于星期四现在是50页\一共有126页\编辑于星期四B为通带带宽现在是51页\一共有126页\编辑于星期四4.模拟低通—>模拟带阻变换关系：or参见图7.16现在是52页\一共有126页\编辑于星期四现在是53页\一共有126页\编辑于星期四B为阻带带宽现在是54页\一共有126页\编辑于星期四例：7.37.4P382设计举例现在是55页\一共有126页\编辑于星期四将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标

通带截止频率、通带衰减 阻带截止频率、阻带衰减通带截止频率阻带截止频率通带截止频率阻带截止频率确定数字滤波器的技术指标：冲激响应不变法双线性变换法7.6间接法的IIR数字滤波器设计方案现在是56页\一共有126页\编辑于星期四按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器Butterworth低通滤波器Chebyshev低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器冲激响应不变法双线性变换法现在是57页\一共有126页\编辑于星期四现在是58页\一共有126页\编辑于星期四7.7模拟滤波器数字化为数字滤波器的映射方法设计思想： s平面z平面

模拟系统数字系统H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应， 即s平面的虚轴映射到z平面的单位圆因果稳定的Ha(s)映射到因果稳定的H(z)， 即s平面的左半平面Re[s]<0

映射到z平面的单位圆内|z|<1现在是59页\一共有126页\编辑于星期四映射方法：-冲激响应不变法-双线性变换法现在是60页\一共有126页\编辑于星期四7.7冲激响应不变法1.变换思路数字滤波器的单位冲激响应h(n)

模仿模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)T—抽样周期现在是61页\一共有126页\编辑于星期四2.变换过程现在是62页\一共有126页\编辑于星期四当T很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正令：则：现在是63页\一共有126页\编辑于星期四3.s平面与z平面的映射关系现在是64页\一共有126页\编辑于星期四系数相同：极点：s平面z平面稳定性不变：S域稳定，即极点位于s平面左半平面，故在s平面：

z平面4.Ha(s)与H(z)之间的关系现在是65页\一共有126页\编辑于星期四从频率响应来看：数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为2p/T只有当模拟滤波器的频率响应是带限的，且带限于折叠频率以内时，即才能使数字滤波器的频响在折叠频率以内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真6.混叠失真现象现在是66页\一共有126页\编辑于星期四试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：设T=1s，则现在是67页\一共有126页\编辑于星期四模拟滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：现在是68页\一共有126页\编辑于星期四优点：缺点：保持线性关系：w=WT

线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器频率响应混叠 只适用于限带的低通、带通滤波器只适用于并联结构，即系统函数必须先展开成部分分式h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t)时域逼近良好9.冲激响应不变法的优缺点现在是69页\一共有126页\编辑于星期四7.8阶跃响应不变法自学P388现在是70页\一共有126页\编辑于星期四7.9双线性变换法冲激响应不变法：时域模仿逼近，缺点是产生频率响应的混叠失真为了克服这一缺点，采用双线性变换法。使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似1.基本思路现在是71页\一共有126页\编辑于星期四冲激响应不变法的映射是多值映射,导致频率响应交叠。改进思路：先将s域平面压缩到一个中介平面s1，然后再将s1映射到Z平面。现在是72页\一共有126页\编辑于星期四2.变换过程、变换关系式现在是73页\一共有126页\编辑于星期四为使模拟滤波器与数字滤波器的某一频率有对应关系，引入常数c例如，零频率附近有确切对应关系：现在是74页\一共有126页\编辑于星期四3.逼近情况：映射需满足两个基本条件（1） s平面虚轴z平面单位圆（2）左半平面单位圆内 s平面z平面右半平面单位圆外虚轴单位圆上现在是75页\一共有126页\编辑于星期四4.非线性频率变换关系5.避免了频率响应的混叠现象，可设计各型滤波器s平面与z平面为单值变换现在是76页\一共有126页\编辑于星期四除了零频率附近，W与w之间严重非线性2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变1）线性相位模拟滤波器非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变6.局限性现在是77页\一共有126页\编辑于星期四9.预畸变

给定数字滤波器的截止频率w1，则按W1设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到w1为截止频率的数字滤波器现在是78页\一共有126页\编辑于星期四可分解成级联的低阶子系统11.Ha(s)H(z)现在是79页\一共有126页\编辑于星期四可分解成并联的低阶子系统现在是80页\一共有126页\编辑于星期四归一化模拟低通模拟低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻模拟域频带变换双线性变换7.10先做模拟频带变换再数字化现在是81页\一共有126页\编辑于星期四将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标

通带截止频率、通带衰减 阻带截止频率、阻带衰减通带截止频率阻带截止频率通带截止频率阻带截止频率确定数字滤波器的技术指标：冲激响应不变法双线性变换法利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤现在是82页\一共有126页\编辑于星期四设计模拟低通滤波器Butterworth低通滤波器Chebyshev低通滤波器将相应频带的模拟滤波器转换成数字滤波器冲激响应不变法双线性变换法利用模拟频带变换关系，将模拟低通滤波器转换成相应频带的模拟滤波器利用表7.8模拟频带变换关系，将模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标现在是83页\一共有126页\编辑于星期四例7.5：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频率低于0.2prad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率0.3p到p之间的阻带内，衰减大于15dB。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。(一)冲激响应不变法（1）由数字滤波器的技术指标：（2）得模拟滤波器的技术指标：选T=1s现在是84页\一共有126页\编辑于星期四a）确定参数

用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真（3）设计Butterworth模拟低通滤波器现在是85页\一共有126页\编辑于星期四b)求出极点（左半平面）c)构造系统函数或者b’)由N=6，直接查表得c’)去归一化现在是86页\一共有126页\编辑于星期四（4）将Ha(s)展成部分分式形式:变换成Butterworth数字滤波器：现在是87页\一共有126页\编辑于星期四用冲激响应不变法设计出的Butterworth滤波器现在是88页\一共有126页\编辑于星期四（二）双线性变换法（1）由数字滤波器的技术指标：（2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：现在是89页\一共有126页\编辑于星期四a）确定参数

用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题（3）设计Butterworth模拟低通滤波器现在是90页\一共有126页\编辑于星期四b)求出极点（左半平面）c)构造系统函数现在是91页\一共有126页\编辑于星期四或者b’)由N=6，直接查表得c’)去归一化现在是92页\一共有126页\编辑于星期四（4）将Ha(s)变换成Butterworth数字滤波器：现在是93页\一共有126页\编辑于星期四例7.6：用双线性变换法设计Chebyshev数字低通滤波器，要求在频率低于0.2prad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率0.3p到p之间的阻带内，衰减大于15dB。(1）由数字滤波器的技术指标：(2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：现在是94页\一共有126页\编辑于星期四a）确定参数(3）设计Chebyshev模拟低通滤波器现在是95页\一共有126页\编辑于星期四b)求左半平面极点现在是96页\一共有126页\编辑于星期四c)构造系统函数现在是97页\一共有126页\编辑于星期四c’)去归一化b’)由N=4，直接查表得或者：现在是98页\一共有126页\编辑于星期四(4）将变换成Chebyshev数字滤波器：设计的四阶Chebyshev滤波器现在是99页\一共有126页\编辑于星期四例7.7：设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3π

rad到0.4π

rad，通带内最大衰减为3dB，0.2πrad以下和0.5πrad以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用Butterworth模拟低通滤波器、双线性变换法。解：1）确定数字带通滤波器的技术指标：2）转换为模拟带通滤波器的技术指标：（选T=1s）

现在是100页\一共有126页\编辑于星期四现在是101页\一共有126页\编辑于星期四3）转换为归一化模拟低通滤波器技术指标： 取小者：又有4）设计归一化模拟低通滤波器：

查表得：现在是102页\一共有126页\编辑于星期四5）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器：6）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转