高中数学立体几何大题训练

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1.如下图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点

（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1

2.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在线段AB,AD上，AE?EB?AF?'沿直线EF将VAEF翻折成VAEF，使平面AEF?平面BEF.

2FD?4.3'（Ⅰ）求二面角A'?FD?C的余弦值；

（Ⅱ）点M,N分别在线段FD,BC上，若沿直线MN将四边形

MNCD向上翻折，使C与A'重合，求线段FM的长。

3.如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC，AA1?AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE?3EB1．

（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角

A1?AC1?B1的大小．

4.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.

(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.

5.如图，棱柱ABC?A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C?A1B

（Ⅰ）证明：平面AB1C?平面A1BC1；

（Ⅱ）设D是A1C1上的点，且A1B//平面B1CD，求A1D:DC1的值.

6.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.

（Ⅰ）证明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

7.如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD

?平面BCD，AB?平面BCD，AB?23。

（1）求点A到平面MBC的距离；

（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。

8.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，

EFBF=FC,H为BC的中点，

(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;

D（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB;

（Ⅲ）求周边体B—DEF的体积；

H

AB

C9.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=2，CE=EF=1.（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。

10.已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.

（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；

D?C?（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；

A?（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积.

B?

?OM?DC

AB

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参考答案

1.

2.（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结AH，由于AE=AF及H是EF的中点，所以AH'''''?EF,

又由于平面AEF?平面BEF.如图建立空间直角坐标系A-xyz则A（2，2，2'2），C（10，8，0），

?F（4，0，0），D（10，0，0）.

?

故FA=（-2，2，2?'

2），FD=（6，0，0）.

'

设n=（x,y,z）为平面AFD的一个法向量，-2x+2y+2所以6x=0.

取z2z=0

?2，则n?(0,?2,2)。

又平面BEF的一个法向量m?(0,0,1)，

故cos?n,m??nm3?。

nm333

所以二面角的余弦值为

（Ⅱ）解：设FM?x,则M(4?x,0,0)，

由于翻折后，C与故，

A重合，所以CM?A'M，

21，422(6?x)2?82?02=（?2?x）?22?（22），得x?经检验，此时点N在线段BC上，所以FM方法二：

（Ⅰ）解：取线段EF的中点H,

?21。4AF的中点G,连结A'G,A'H,GH。

A'H?EF

由于A'E=A'F及H是EF的中点，所以

又由于平面又

A'EF?平面BEF，所以A'H?平面BEF,

AF?平面BEF,故A'H?AF，

又由于G、H是易知GH∥

AF、EF的中点，

AB，所以GH?AF，于是AF?面A'GH，

所以?A'GH为二面角在RtA'?DH?C的平面角，

A'GH中，A'H=22，GH=2，A'G=23?33.

所以cos?A'GH故二面角

A'?DF?C的余弦值为?x,

33。

（Ⅱ）解：设FM由于翻折后，C与而CM2A'重合，所以CM?A'M，

?DC2?DM2?82?(6?x)2，

A'M2?A'H2?MH2?A'H2?MG2?GH2?(22)2

得x?21，经检验，此时点N在线段BC上，4所以FM?21。43.（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.

由于面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1.………………3分

作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.

又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD.所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.

（II）由于DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°设AB=2，则AB1=

，DG=

，CG=

，AC=

.

作B1H⊥A1C1，H为垂足，由于底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角，由此可求出二面角大小4.解(Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.

(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,

则BG⊥平面ABCD,且EG=又BC∥AD,∴EF∥AD,

又∵AD?平面PAD,EF?平面PAD,∴EF∥平面PAD.

12PA.

在△PAB中，AD=AB,?PAB°,BP=2,∴AP=AB=2,EG=

22.

∴S△ABC=

11AB·BC=22×2×2=2,

∴VE-ABC=

2111S△ABC·EG=×2×=.

23335.解：（Ⅰ）由于侧面BCC1B1是菱形，所以B1C?BC1

又已知B1C所又B1C所以平面

?A1B,且A1B?BC1?B

?平面A1BC1，又B1C?平面AB1C，AB1C?平面A1BC1.

（Ⅱ）设BC1交B1C于点E，连结DE，

则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，由于A1B//平面B1CD，所以A1B//DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点.即A1D：DC1=1.

6.证明：

设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,

11），N（22,0,0），S（1,

12,0）.

111?(1,?1,),SN?(?,?,0),

22211由于CM?SN????0?0，

22（Ⅰ）CM所以CM⊥SN（Ⅱ）NC1?(?,1,0),

2设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

1?x?y?z?0,??2令x?2，得a=(2,1,-2).则?1??x?y?0.??212?2cosa,SN?223?2?1?由于

所以SN与片面CMN所成角为45°。

7.解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，

OM⊥CD.又平面MCD?平面BCD,则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=

3，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，

作OH?BC于H，连MH，则MH?BC，求得：

zOH=OCsin600

=32,MH=152,利用体积相等得：VA?MBC?VM?ABC?d?2155。（2）CE是平面

ACM与平面BCD的交线.

由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.

作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为?.由于∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.

BF?BC?sin60?3，tan??ABBF?2，sin??255所以，所求二面角的正弦值是255.

解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD?平面BCD,则MO⊥平面BCD.

以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Az如图.

OB=OM=3，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，

3），B（0，-3，0），A（0，-3，23），

M（1）设n?(x,y,z)是平面MBC的法向量，则BC=(1,3,0)，

BDBM?(0,3,3)，由

n?BC得x?3y?0；由

n?BM得

Oy3y?3z?0；取n?(3,?1,1),BA?(0,0,23)，则距离

xCd?BA?n15n?25（2）CM?(?1,0,3)，CA?(?1,?3,23).

n??设平面ACM的法向量为?n1?CM1?(x,y,z)，由?得???x?3z?0??n1?CA?x?3y?23z?0.解得x?3z，??y?z，取nn1?n1?(3,1,1).又平面BCD的法向量为n?(0,0,1)，则cos?n1,n??n?11?n5设所求二面角为?，则sin??1?(15)2?255.

8.（1）设底面对角线交点为G，则可以通过证明EG∥FH，得FH∥平面EDB；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH⊥平面ABCD，得FH⊥BC，FH⊥AC，进而得EG⊥AC，

AC?平面EDB；

（3）

证明BF⊥平面CDEF，得BF为周边体B-DEF的高，进而求体积.9.

(1)证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG,GH，由于H为BC的中点，故1AB,21又EF//AB,?四边形EFGH为平行四边形2?EG//FH，而EG?平面EDB，?FH//平面EDBGH//

证明：（I）设AC与BD交与点G。由于EF//AG，且EF=1，AG=

1AC=1.2所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF//平面EG，

由于EG?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF//平面BDE.

（II）由于正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CE?AC，所以CE?平面ABCD.

如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz.则C（0，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0）.

，

所以

CF?(22,,1)22BE?(0,?2,1)，

DE?(?2,0,1).

所

以

C?F0B?1E,??CFDE??1?0?1?0

所以CF?BE,CF?DE.

所以CF?BDE.

?(22,,1)是平面BDE的一个法向量.22(III)由（II）知，CF设平面ABE的法向量n?(x,y,z),则nBA?0，nBE?0.

即??(x,y,z)(2,0,0)?0?(x,y,z)(0,?2,1)?0

所以x?0,且z?2y,

令

y?1,则z?2.所以n?(0,1,2).

从而cos?n,CF??nCF3|n||CF|?2。由于二面角A?BE?D为锐角，所以二面角A?BE?D的大小为

?6.10.解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK由于M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点所以AM//12DD'//OK所以MO//AKw_ww.k#s5_u.co*m由AA’⊥AK，得MO⊥AA’

由于AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’所以AK⊥BD’所以MO⊥BD’

又由于OM是异面直线AA’和BD’都相交w_ww.k#s5_u.co*m故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线

（2）取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’过点N作NH⊥BC’于H，连结MH则由三垂线定理得BC’⊥MH

从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角

MN=1,NH=Bnsin45°=

1222?24

在Rt△MNH中，tan∠MHN=

MN1NH?2?22w_ww.k#s5_u.co*m4故二面角M-BC’-B’的大小为arctan22

(3)易知，S△OBC=S△OA’D’，且△OBC和△OA’D’都在平面BCD’A’内点O到平面MA’D’距离h＝VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’=解法二：

以点D为坐标原点，建立如下图空间直角坐标系D-xyz

则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)(1)由于点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点所以M(1,0,

12△MA’D’

1S3h=

1241111),O(,,)