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文档简介

矩阵的运算方阵的行列式矩阵的初等变换与逆矩阵第六章矩阵定义1对于阶矩阵如果存在矩阵满足可逆，并称则称矩阵为矩阵的逆矩阵，记作显然此时也为矩阵的逆矩阵。§3、矩阵的初等变换与逆矩阵一、逆矩阵的概念例1

解：

设可逆，且其逆由得何时可逆，并求出其逆。矩阵待定系数法因此解得这里并且所以可逆。时例2

时，证明：当回到矩阵方程则显然，矩阵可逆时，方程两边同时左乘故更一般地，对于矩阵方程则显然，矩阵可逆时，方程两边同时左乘右乘例3

解：

显然可逆。矩阵满足关系式且求得关系式两边左乘即所以由于可逆，且所以定义2

矩阵的伴随矩阵或指的是显然我们有下面的定理：

定理1

对于任意阶方阵，有注意下标定理2

方阵可逆的充要条件是，且例4

求及。所以可逆。当时，由所以得例5求B.解：所以可逆，两边右乘，得根据两边再左乘，得即由于因而所以二、逆矩阵的几个基本性质性质1

可逆阵A的逆矩阵是唯一的。性质3

可逆阵A的逆矩阵的逆矩阵就是矩阵A,即性质2

互逆的充要条件是或证明：由，两边取行列式，得所以A可逆。又故结论成立。性质5

同阶可逆阵A和B的乘积也可逆，且性质4

可逆阵A的数乘矩阵也可逆，且性质6可逆矩阵A的转置矩阵的逆矩阵就是A的逆矩阵的转置，即转置和求逆两运算可交换顺序例6解：设是3阶矩阵，且，求

由于矩阵源自线性方程组，所以我们回到“起点”，首先研究线性方程组的高斯消元法，引出方程组的三类同解变换。然后将它们应用到单位矩阵，得到三类初等矩阵。最后利用初等矩阵与初等变换的关系，将矩阵变换成“形状简单”的矩阵，最终得到解决矩阵求逆问题及解矩阵方程等相关问题的初等（行）变换法。三、初等变换和初等矩阵例7求解线性方程组首先，我们来分析所谓高斯消元法解方程组的过程．解：显然，方程组就是方程组的解．观察可知，解线性方程组的过程中我们用到下列三类可逆的同解变换：（1）对换其中两个方程的位置；（对换）（2）用一个非零常数乘以某一个方程；（数乘）（3）某方程的常数倍加到另一个方程上去。（倍加）由于解线性方程组的过程中仅仅改变线性方程组的系数和常数项，也就是只改变线性方程组的增广矩阵中的元素，因此我们可以将线性方程组的三类同解变换移植到矩阵。定义3下面三类变换称为矩阵的初等行、列变换:（1）对换其矩阵中任意的两行(列)。用表示对换第两行(列)。

（对换）（2）用一个非零常数乘以矩阵中的某一行(列)的所有元素。用表示用常数乘以矩阵的第行(列)。

（数乘）（3）将矩阵某行(列)的所有元素的常数倍加到另一行(列)的对应元素上去。用表示第行(列)的倍加到第行(列)。（倍加）矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．显然，初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同，即类似于方程组的同解变换，我们称经过初等变换后的矩阵与变换前的矩阵等价，用表示。注意：等价不是相等。显然对矩阵施行初等行变换，在把变成时，原来的就变成了。这就是我们解决矩阵求逆问题的初等行变换法。例9解：重新求解例7。方程组对应的矩阵方程为这里则从而所以

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