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控制系统的根轨迹

1)把握MATLAB软件绘制根轨迹的方法。2)分析参数变化对根轨迹的影响。3)利用根轨迹法对控制系统性能进行分析。

1)PC机一台2)MATLAB软件

(1)根轨迹的概念

经典控制理论中，为了避开直接求解高阶特征方程式根时遇到的困难，提出了一种图解求根的方法，即根轨迹法。根轨迹是指当系统的某个参数从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在复平面上的变化曲线。

常规根轨迹一般取开环增益K作为可变参数，根轨迹上的点应满足根轨迹方程：

KG(s)H(s)?*?(s?zj?1imj)??1

?(s?p)i?1n其中zj开环零点，pi开环极点，K根轨迹增益，是一个变化的参数

*（0??），K?AK,A为一常数。系统结构图如下:

*

图6-1闭环系统结构图

闭环特征根（即根轨迹上的点）应满足

（1）幅值条件：

K*B(s)A(s)?K*?|(s?zj?1ni?1mj)|?1；

?|(s?p)|i（2）相角条件：

??(s?zj?1mj)???(s?pi)?(2k?1)?。

i?1n（2）用MATLAB软件绘制根轨迹

MATLAB7.0提供的工具箱给出了一系列关于根轨迹的函数，如表2-1所示。使用这些函数能够很便利地绘制出系统的常规根轨迹和参数根轨迹，还能基于根轨迹对系统性能进行分析。

表6-1根轨迹函数

函数名函功能描述绘制零极点计算给定根轨迹增益计算并绘制根轨迹根轨迹设计GUI工具绘制连续时间系统根轨迹和零极点图中的阻尼系数和自然频率网格绘制离散时间系统根轨迹和零极点图中的阻尼系数和自然频率网格pzmaprlocfindrlocusrltoolsgridzgrid

①pzmap

调用格式：pzmap(sys);[p,z]=pzmap(sys)②rlocfind

调用格式：[k,poles]=rlocfind(sys);[k,poles]=rlocfind(sys,p)③rlocus

调用格式：rlocus(sys);rlocus(sys,k);[r,k]=rlocus(sys);r=rlocus(sys,k)④rltool

调用格式：rltool(plant);rltool(plant,comp)⑤sgrid

调用格式：sgrid;sgrid(z,wn)⑥zgrid

调用格式：zgrid;zgrid(z,wn)

K*系统的开环传递函数：G(s)H(s)?

s(s?1)(s?2)绘制系统的根轨迹图。

程序：num=[1]；

den=[1320]；rlocus(num,den)执行后得到如下图形：

32ImagAxis10-1-2-3-3-2-10RealAxis12

（1）采用上述方法绘制开环传递函数

K*(s?1)*G(s)?2,K?0

s(s?a)当a=1,0.5,8,10时系统的根轨迹，记录根轨迹图并分析。

z=[-1];p=[00-1];G=zpk(z,p,1);rlocus(G)

z=[-1];

p

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