工程数学课件概率分布

工程数学课件概率分布第1页，共145页，2023年，2月20日，星期四在学习随机事件及其概率时,我们了解了样本空间的概念1、抛掷一骰子出现点数2、抛掷一硬币正反面出现情况3、某城市120电话台一昼夜的呼唤次数4、一批产品中任取一产品的合格情况一、随机变量第2页，共145页，2023年，2月20日，星期四实例1在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.S={红色、白色}

非数量将S数量化可采用下列方法红色白色第3页，共145页，2023年，2月20日，星期四即有X(红色)=1,X(白色)=0.这样便将非数量的S={红色，白色}数量化了.第4页，共145页，2023年，2月20日，星期四实例2

抛掷骰子,观察出现的点数.S={1，2，3，4，5，6}样本点本身就是数量恒等变换且有则有第5页，共145页，2023年，2月20日，星期四1、随机变量的定义第6页，共145页，2023年，2月20日，星期四随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).2.说明(1)随机变量与普通的函数不同第7页，共145页，2023年，2月20日，星期四实例1设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:第8页，共145页，2023年，2月20日，星期四实例2设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击,直到击中目标为止,则是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:第9页，共145页，2023年，2月20日，星期四实例3某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过,如果某人到达该车站的时刻是随机的,则是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:第10页，共145页，2023年，2月20日，星期四3、随机变量的分类(1)离散型随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.(2)连续型

随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.第11页，共145页，2023年，2月20日，星期四1、定义二、离散型随机变量第12页，共145页，2023年，2月20日，星期四离散型随机变量的分布律也可表示为说明：离散型随机变量有以下性质

第13页，共145页，2023年，2月20日，星期四例离散型随机变量的分布律如下：试求：(1)常数c的值；(2)概率(3)概率解：(1)根据分布律的性质，所以，第14页，共145页，2023年，2月20日，星期四例离散型随机变量的分布律如下：试求：(1)常数c的值；(2)概率(3)概率解：(2)(3)第15页，共145页，2023年，2月20日，星期四例：一只袋中装有5只球，编号1，2，3，4，5在袋中同时取出3只，以X表示取出3只球中的最大的号码，写出随机变量X的分布律。第16页，共145页，2023年，2月20日，星期四解练第17页，共145页，2023年，2月20日，星期四2、常见离散型随机变量的概率分布

贝努利试验：如果随机试验E只有两个可能结果与，就称该试验为贝努利试验．新生儿性别登记；抛掷硬币正面出现情况；检查产品质量是否合格；明天会不会下雨；参加英语等级考试结果；射手对目标进行射击；参加总统竞选结果；第18页，共145页，2023年，2月20日，星期四例我国新生儿的性别登记情况.随机变量X服从(0—1)分布.其分布律为第19页，共145页，2023年，2月20日，星期四设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为则称X服从(0—1)分布或两点分布.1.(0-1)分布第20页，共145页，2023年，2月20日，星期四实例200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那么,若规定取得不合格品,取得合格品.则随机变量X服从(0—1)分布.第21页，共145页，2023年，2月20日，星期四

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明第22页，共145页，2023年，2月20日，星期四n重贝努利试验（贝努利概型）：将贝努利试验独立重复进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验．若在一次贝努利试验中，关心事件A是否发生。那么在n重贝努利试验中，则会关心事件A的发生次数第23页，共145页，2023年，2月20日，星期四Ａ发生k次的情形有多少种？Ａ发生k次的概率？第24页，共145页，2023年，2月20日，星期四称这样的分布为二项分布.记为二项分布两点分布2.二项分布第25页，共145页，2023年，2月20日，星期四二项分布是常见的一类分布．如：独立地进行射击5次，击中目标次数独立地进行试验5次，成功次数k个灯泡，使用超过1000小时的灯泡个数n个供水设备，正在使用的个数它们都是服从二项分布的．第26页，共145页，2023年，2月20日，星期四二项分布是应用广泛的一类重要分布．如：在港口建设中要了解n年中年最大波高过Ｈ米的次数；在机器维修问题中要了解n台机床需要修理的机床数；在昆虫群体问题中要了解n个虫卵中能孵化成虫的个数；在高层建筑防火安全通道的设计中要了解n层楼中发生火灾楼层数；它们都是服从二项分布的．第27页，共145页，2023年，2月20日，星期四例在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X的分布律.故X～Ｂ(5,0.6)第28页，共145页，2023年，2月20日，星期四大学英语六级考试（旧）是为全面检验大学生英语水平而设置的一种考试，具有一定的难度。除英文写作占15分外，其余85道多种答案选择每题1分，即每一道题附有A，B，C，D四个选择答案，要求考生从中选择最佳答案。这种考试方式使有的学生产生想碰运气的侥幸心理，那么靠碰运气能通过英语六级考试吗？选择题能考出真实成绩吗？第29页，共145页，2023年，2月20日，星期四分析：按及格计算，85道选择题必须答对51道题以上。如果瞎猜测的话，则每道题答对的概率为1/4，答错的概率是3/4。显然，各道题的解答互不影响，因此，可以将解答85道选择题看成85重贝努利试验。请问刚好答对51道选择题的概率？第30页，共145页，2023年，2月20日，星期四例：现有１０张一百元的人民币，已知其中混有２张假币，从中取２张，如果正好将２张假币取出来算是成功一次，某人这样做了１０次，成功４次，设各次成功与否相互独立，试问此人对假币有没有一定的鉴别能力？解：设成功为事件A，古典概型P(A)=1/C210=1/45设Ｘ为成功次数，据题意知Ｘ～Ｂ(10,1/45),成功４次的概率为因此，他对假币有一定的鉴别能力．小概率原理：概率很小的事件在一次试验中认为是不会发生的。第31页，共145页，2023年，2月20日，星期四例：某柜台上有4位售货员，只准备了两台台秤，已知每位售货员在8小时内均有2小时时间使用台秤，求台秤不够用的概率。解：已知每位售货员在8小时内均有2小时时间使用台秤，说明每位售货员使用台秤的概率皆为p=1/4。同时使用台秤的售货员个数X是一个离散型随机变量，它服从参数为n=4,p=1/4的二项分布，即第32页，共145页，2023年，2月20日，星期四台秤不够用，意味着同时使用台秤的售货员超过2个，因此时间X>2表示台秤不够用。注意到X>2范围内，离散型随机变量X的可能取值只有两个，即X=3与X=4，有概率所以，台秤不够用的概率是0.0508。第33页，共145页，2023年，2月20日，星期四３.泊松分布

第34页，共145页，2023年，2月20日，星期四泊松分布的背景及应用泊松分布是一种比较常见的离散型随机变量的分布.第二次世界大战时，德军隔着英吉利海峡用飞弹轰击伦敦，后来发现，各区落下的飞弹数服从泊松分布。第35页，共145页，2023年，2月20日，星期四二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.第36页，共145页，2023年，2月20日，星期四在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.它常常用来描述“稀有事件”的数目.如:某页书上印刷错误的字数；某医院一天内的急诊病人数；某地区某一时间间隔内发生的交通事故数；一年内爆发战争的数目；腐败现象的发生和发展；等等都服从泊松分布．第37页，共145页，2023年，2月20日，星期四例：某城市每天发生火灾的次数Ｘ服从参数的泊松分布，求该城市一天发生３次或３次以上火灾的概率．解：设该城市一天发生火灾的次数为Ｘ，则X～P(0.8)第38页，共145页，2023年，2月20日，星期四0.10.20.30.40.50.60.70.80.9048.8187.7408.6703.6065.5488.4966.44931.0905.1638.2223.2681.3033.3293.3476.35952.0045.0164.0333.0573.0758.0988.1217.14383.0002.0011.0003.0072.0126.0198.0284.03834.00010.0007.0016.0030.0050.007750.0002.0004.0007.001260.0001.0002700第39页，共145页，2023年，2月20日，星期四公元1500年至1931年这432年间，有223年没有爆发战争（已爆发，正继续的不算），一年中爆发1次、2次、3次和4次的总年数分别是142年、48年、15年和4年，平均每年爆发0.69次战争。把实际数据与参数为0.69的泊松分布的理论数据作比较，见下表。1年中战争数实际年数理论年数0223216.68091142149.509824851.580931511.8636442.0465第40页，共145页，2023年，2月20日，星期四例有一繁忙的汽车站，有大量汽车通过，设每辆车在一天的某段时间内出事故的概率为0.001.在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故车辆数不小于2的概率是多少？将每辆车通过看成一次试验，设出事故的车辆数为X，则随机变量X的服从参数为n=1000,p=0.001的二项分布，其分布律为：第41页，共145页，2023年，2月20日，星期四泊松定理注：一般情况下，n>10，p<0.1时，可以用泊松分布代替二项分布。第42页，共145页，2023年，2月20日，星期四此题中，n=1000,p=0.001，可用泊松分布（参数）近似代替。第43页，共145页，2023年，2月20日，星期四例(寿命保险问题)在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在一年中每人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日必须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领取2000元赔偿金，求(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利不少于10000元的概率第44页，共145页，2023年，2月20日，星期四第45页，共145页，2023年，2月20日，星期四第46页，共145页，2023年，2月20日，星期四第47页，共145页，2023年，2月20日，星期四在农村尤其是偏远地区和经济落后地区，人们“传宗接代”、“多子多福”、“早生儿子早享福”等观念意识还很强，一对夫妇一定要生个儿子才肯罢休的现象并不少见；假设生女儿的概率为p，求生到儿子为止，子女数目X的分布律。4.几何分布

第48页，共145页，2023年，2月20日，星期四例某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过,如果某人到达该车站的时刻是随机的,则是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:实际上“某人等到2分59秒”的这种随机事件几乎不可能发生，研究[0，5]中一个点的概率无意义，通常关注取值落在一个区间上的概率。三、连续型随机变量第49页，共145页，2023年，2月20日，星期四1.概率密度函数定义第50页，共145页，2023年，2月20日，星期四12.概率密度函数的性质第51页，共145页，2023年，2月20日，星期四注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关第52页，共145页，2023年，2月20日，星期四例第53页，共145页，2023年，2月20日，星期四解第54页，共145页，2023年，2月20日，星期四第55页，共145页，2023年，2月20日，星期四第56页，共145页，2023年，2月20日，星期四解第57页，共145页，2023年，2月20日，星期四1.均匀分布常见连续型随机变量的分布第58页，共145页，2023年，2月20日，星期四解由题意,R的概率密度为故有例设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在~1100．求R的概率密度及R落在950~1050的概率．第59页，共145页，2023年，2月20日，星期四练：某公共汽车站从上午6时起，每15分钟来一辆车，即6:00,6:15,6:30,6:45等时刻有汽车进站。如某乘客到达此站的时间是6:00到6:30之间均匀分布随机变量，试求该乘客等待时间少于5分钟的概率。第60页，共145页，2023年，2月20日，星期四第61页，共145页，2023年，2月20日，星期四2.指数分布第62页，共145页，2023年，2月20日，星期四指数分布在实际应用中经常碰到，在排队论及可靠性理论中指数分布常用来表示机器的维修时间，寻呼台收到服务到达的时间间隔，元器件的使用寿命生物的寿命等。应用与背景第63页，共145页，2023年，2月20日，星期四练：到某服务单位办事总要排队等待。设等待时间T是服从指数分布的随机变量，概率密度函数为某人到此处办事，等待时间若超过15min，他就愤然离去。设此人一个月去该处10次，求（1）正好有两次愤然离去的概率（2）至少有2次愤然离去的概率第64页，共145页，2023年，2月20日，星期四第65页，共145页，2023年，2月20日，星期四第66页，共145页，2023年，2月20日，星期四3.正态分布(或高斯分布)第67页，共145页，2023年，2月20日，星期四正态概率密度函数的几何特征第68页，共145页，2023年，2月20日，星期四第69页，共145页，2023年，2月20日，星期四第70页，共145页，2023年，2月20日，星期四

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景

第71页，共145页，2023年，2月20日，星期四标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布第72页，共145页，2023年，2月20日，星期四标准正态分布的概率密度函数图形第73页，共145页，2023年，2月20日，星期四解例第74页，共145页，2023年，2月20日，星期四第75页，共145页，2023年，2月20日，星期四一般正态分布与标准正态分布的关系第76页，共145页，2023年，2月20日，星期四例第77页，共145页，2023年，2月20日，星期四第78页，共145页，2023年，2月20日，星期四例:公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的概率不大于1%的要求设计的.若成年男子的身高X(cm)服从分布,问车门的高度应确定为多少?第79页，共145页，2023年，2月20日，星期四第80页，共145页，2023年，2月20日，星期四某公司在某次招工考试中，准备招工300名（280名正式工，20名临时工），而报考的人数是1657名，考试满分为400分。考试后不久，通过当地新闻媒介得到如下信息：考试平均分166分，360分以上的高分考生31名。某考生A的成绩是256分，问他能否被录取?如被录取能否是正式工？第81页，共145页，2023年，2月20日，星期四解：设考生考试成绩为X，则X是随机变量，对于一次成功的考试来说，X应服从正态分布，本题中，因为考试成绩高于360分的频率是31/1657,所以第82页，共145页，2023年，2月20日，星期四下面预测该考生的考试名次，他的考分为256分，查表知说明考试成绩高于256分的人数大约占总认识的16.6%，所以，考试名次排在该生之前的大约有即该考生大约排名276名，所以被录为正式工的可能性较大。第83页，共145页，2023年，2月20日，星期四解：因为最低分数线x0的确定应使高于此线的考生的频率等于300/1657，即所以能录取的最低分数线是251分，该考生能被录取。第84页，共145页，2023年，2月20日，星期四3.2.2随机变量的数字特征一、随机变量的数学期望二、随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质1.数学期望第85页，共145页，2023年，2月20日，星期四引例1分赌本问题(产生背景)

A,B两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元.由于出现意外情况,在A胜2局B胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?

注:1654年,一个骑士就此问题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,共同建立了概率论的第一个基本概念------数学期望第86页，共145页，2023年，2月20日，星期四在已赌过的三局(A胜2局B胜1局)的基础上，若继续赌A胜1/2B胜1/2A胜1/2B胜1/2A胜出的概率1/2+1/2*1/2=3/4

B胜出的概率1/2*1/2=1/4

在赌技相同的情况下,A,B最终获胜的可能性大小之比为即A应获得赌金的而B只能获得赌金的第87页，共145页，2023年，2月20日，星期四因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于X

的可能值与其概率之积的累加.即为若设随机变量X为:在A胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金.则X所取可能值为:其概率分别为:第88页，共145页，2023年，2月20日，星期四引例2(射击问题)射手在同样条件下进行射击，命中的环数为随机变量，其分布律如下：求该射手平均每次命中的环数。

第89页，共145页，2023年，2月20日，星期四数学期望又可以称为期望，均值。离散型随机变量的数学期望第90页，共145页，2023年，2月20日，星期四关于定义的几点说明(1)E(X)是一个实数,它是一种加权平均,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变.第91页，共145页，2023年，2月20日，星期四试问哪个射手技术较好?例

谁的技术好?乙射手甲射手比一比第92页，共145页，2023年，2月20日，星期四解故甲射手的技术比较好.第93页，共145页，2023年，2月20日，星期四例

投资理财决策某人现有10万元现金进行为期一年的投资，现有2种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获利息。若买股票，则一年收益主要取决于全年经济形式好（概率30%）、中等（概率50%）、和差（概率20%）三种状态，形式好就能获利40000元，形式中等也能获利10000元，形式差就要损失20000元。若存入银行，则按8%的年利率获得利息8000元。第94页，共145页，2023年，2月20日，星期四解设X为投资利润，则存入银行的利息:故应选择股票投资.第95页，共145页，2023年，2月20日，星期四0132p0.40.30.20.1第96页，共145页，2023年，2月20日，星期四02123222p0.40.30.20.1-1153p0.40.30.20.1第97页，共145页，2023年，2月20日，星期四例3

最优订购方案某商场订购下一年的挂历，零售价80元/本，进价50元/本，若当年卖不出去，则降价到20元/本全部销售出去。根据往年经验，需求概率如下：在当年售出150本、160本、170本和180本的概率分别为0.1，0.4，0.3，0.2。有以下四种订购方案：(1)订购150本；(2)订购160本；(3)订购170本；(4)订购180本，请问哪种方案可使期望利润最大？第98页，共145页，2023年，2月20日，星期四(1)订购150本:设随机变量X表示该方案下的利润(百元)(2)订购160本:设随机变量Y表示该方案下的利润(百元)第99页，共145页，2023年，2月20日，星期四(3)订购170本:设随机变量Z表示该方案下的利润(百元)(4)订购180本:设随机变量R表示该方案下的利润(百元)选择方案2或3，可使期望利润最大。第100页，共145页，2023年，2月20日，星期四例设由自动生产线加工的某种零件的内径X(mm)服从正态分布，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T(元)与销售零件内径X有如下关系：求销售一个零件的平均利润是多少？第101页，共145页，2023年，2月20日，星期四注意T是离散型随机变量。第102页，共145页，2023年，2月20日，星期四连续型随机变量的数学期望

第103页，共145页，2023年，2月20日，星期四例已知随机变量在区间[a,b]上服从均匀分布，求第104页，共145页，2023年，2月20日，星期四第105页，共145页，2023年，2月20日，星期四例：对圆的直径作近似测量，其值均匀分布在区间[a,b]上，求圆的面积的数学期望。第106页，共145页，2023年，2月20日，星期四第107页，共145页，2023年，2月20日，星期四例设随机变量X~E(1)，求解

X的概率密度为

第108页，共145页，2023年，2月20日，星期四例国际市场每年对我国某种商品的需求量是随机变量X(吨),它服从[2000,4000]上的均匀分布.已知每售出1吨,可挣得外汇3千元,但如售不出去而积压,则每吨需花库存费用及其他损失工1千元,问需组织多少货源,才能使国家收益期望最大?第109页，共145页，2023年，2月20日，星期四第110页，共145页，2023年，2月20日，星期四小结第111页，共145页，2023年，2月20日，星期四三、数学期望的性质

性质1若C是常数,则E(C)=C.性质2若C是常数,则E(C)=CE().第112页，共145页，2023年，2月20日，星期四课堂练习（口答）第113页，共145页，2023年，2月20日，星期四分布期望第114页，共145页，2023年，2月20日，星期四第115页，共145页，2023年，2月20日，星期四3方差一、随机变量方差的概念二、随机变量方差的计算三、随机变量方差的性质第116页，共145页，2023年，2月20日，星期四X2P235781/81/81/21/81/8X1P4561/41/21/4设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：

两种产品的直径均值是相同的，但产品2的偏差大，如果需要使用直径为5的产品，则产品1较产品2理想。引例一、随机变量方差的概念若需要直径为5的产品，选哪种产品较理想？第117页，共145页，2023年，2月20日，星期四甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.

中心中心第118页，共145页，2023年，2月20日，星期四1、方差的定义称为均方差或标准差.即

方差刻画了随机变量的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.设是一随机变量，如果存在，则称为的方差，记作或.第119页，共145页，2023年，2月20日，星期四2.方差的意义(2)若方差

，则随机变量

恒取常数值。(1)方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量.如果值大,表示

取值分散程度大,

的代表性差;而如果

值小,则表示

取值比较集中,以

作为随机变量的代表性好.第120页，共145页，2023年，2月20日，星期四（常用的）计算方差的简化公式:第121页，共145页，2023年，2月20日，星期四解

P4561/41/21/4例

设有一种球形产品，其直径的取值规律如下：求。

第122页，共145页，2023年，2月20日，星期四第123页，共145页，2023年，2月20日，星期四三、方差的性质C为常数a为常数第124页，共145页，2023年，2月20日，星期四第125页，共145页，2023年，2月20日，星期四一、二元离散型随机变量二、二元连续型随机变量3.2.3二元随机变量及其分布第126页，共145页，2023年，2月20日，星期四一、二元随机变量的定义

在实际问题中,一个随机试验的结果w对应的不仅是一个随机变量,常常要考虑多个随机变量.例如:考虑某地区儿童的健康情况要同时考虑身高X,体重Y,肺活量Z等.若只研究一个就是一元的,若同时研究两个或两个以上,作为整体(X,Y,Z)来研究就是多元随机变量.第127页，共145页，2023年，2月20日，星期四定义实例1炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量.第128页，共145页，2023年，2月20日，星期四二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X