2.2基本不等式(解析版)

2.2基本不等式若为小叫当旦便当同一丁鹏整.灯有大侑一若为小叫当旦便当同一丁鹏整.灯有大侑一府片和加积4火卜J芾显为走格力蛆当且便当k=j•时.和工匕•有位小值22?［新强和金和鬲小*运用一直接运用公式4【例1】（1）（2019•新疆高一期中）已知x>0，函数y=—十%的最小值是（）xA．5 B．4 C．8 D．6（2）若0<x<152，则函数y=x（12—5x）的最大值为.（3）（2019•天津高考模拟（理））若实数%，^满足孙=1，则%2+4y2的最小值为【答案】（1）B（2）36（3）44f4【解析】（1）由均值不等会死，，=K十—之久卜乂一二4,当且仅当"矛二2”时不等式取“二”，故选B。X\XTOC\o"1-5"\h\z12 1 1/5%+12—5% 36（2）因为0<x<m，所以y=-x5x（12-5x）<-（ ）2=1-,当且仅当5x=12—5x,即xJ J J / J6 36=二时取等号.故填二(3)因为孙=1，所以%2+4y2=%2+(2y»>2x%x2y=4%y=4，当％=2y时取“=”,

所以％2+4y2的最小值为4,故答案为生【触类旁通】.（2019•新疆高二期末）已知x,y£（0,+8）,%+y=1，则xy的最大值为（A.1 B.- C.- D.-234【答案】D7,当且仅当%=y=5【解析】因为x,y£（°,+8）,%+y=1,所以有1二%+y>2%；‘万n7,当且仅当%=y=5时取等号，故本题选D..（2019•黑龙江高一期中）函数y=X+工+5（X>1）的最小值为（ ）x一1A.6B.7C.8D.9A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】VX>1,x-1>01 -,八1 / 1 ~…函数y=x+ -+5=(x-1)+ -+6>2i(%-1)- +6=8%-1 %-1 \' %-11当且仅当%=2时取等号，因此函数y=%+--+5的最小值为8答案选C%-1运用二条件型11【例2】（1）（2019•云南高一月考）已知正数%、y满足4%+y=1,则一+一的最小值为（）%yA.8B.12C.10D.9A.8B.12C.10D.94（2）（2019•贵州高一期末）已知正实数4（2）（2019•贵州高一期末）已知正实数a,b满足a+=1,b1则一+b的最小值为（ ）aA.4B.6C.9D.10（3）.若正数A.4B.6C.9D.10（3）.若正数％、y满足%+4y-孙=04则—的最大值为D.【答案】(1)D(2)C(3)B【解析】（1）正数%、y满足4%+y=1，根据不等式性质得到:4xy44xy4：4xy八一+-=5+―+->5+2 •上二9.yxyx弋yx4xy等号成立的条件为 =-故答案为：D.、（(2)Va>0,b>04 4 4 4八=54xy等号成立的条件为 =-故答案为：D.、（(2)Va>0,b>04 4 4 4八=5+ab+—25+2:ab•—=9,

abaab当且仅4 4ab———,ab.4时a+——1

b1a——,3时取“二”.故答案选Cb—6(3)・・•正数X、y满足X+4y—xy―0x„ay———->0，解得x>4X-44_ 4 _ 4而—X+—-x+1+上x-4 x一44 _4当且仅当4 4 4 4X-4—』时,等号成立,a-的最大值为9.故选：B【触类旁通】141.（2019•新疆高一月考（理））已知a>0,b>0,a+b—2，则y―-+-的最小值是（abC.5D.4【答案】A【解析】Va>0,b>0,a+b=2,14(-+T14(-+T)(a+b)abb4a(1+4+-+—)

ab当且仅当b当且仅当b=2a时等号成立，故选：A.2.（2019•河北高一期末）设a>0,b>0，且a+b=4,a+b则丁的最小值为A.8A.8B.4 C.2 D.1【答案】D14则x+小的最小值为（）A.14则x+小的最小值为（）A.214CTD.5（4）（2019•云南高二期中（理））已知a>b>0，则2a4+ +a+b1力的最小值为（）■ell.a+b111 7111、1，cba)、1c历a)q【解析】--=-+7=-xa+b-+7=T2+-+- 2+Zr-x-=1,abab4 \abj41abJ4( aabJ当且仅当-=a,即a=b=2时"="成立，故选D。ab3.(2019•福建高二期末(文))已知a>0,b>0,4a+b=2,则1+1的最小值是abA.4 B.9 C.5 D.92【答案】B【解析】因为(1+1)(4a+b)=4+b+4a+1>5+2、:2•4a=9,ab ab aab11 9又4a+b=2，所以(一+-)>-,ab212当且仅当a=-,b=-时取"="，故选：B。运用三配凑型3【例3】（1）（2019•河北高一期末）已知x>-1,则3%+--的最小值是x+1x2+7x+10（2）已知x>-1,则函数y= 的值域为 .x+1（2019•四川高一期末）已知正数x、y满足x+y=1,A.4x44 B.6 C.3x3；'8aD.3<2aa2一b2【答案】(1)3(2)[9,+s)(3)B(4)B【解析】(1)因为x>-1,所以%+1>0一3 3 3一一所以3%+ =3(x+1)+ ―3>2.3(%+1)——3二3(当且仅当％=0时，等号成立).%+1 %+1 \ x+1

(2)设t=x+1由x>—1知，t>0,x=t-1X2+7x+10(t-1)2+7(t-1)+10^4故y= = =t+—+5,x+1 t t4, 八Vt+->4(当且仅当t=2时，等号成立).tx2+7x+10，函数y= (x>-1)的值域为[9,+8)x+1(3) +y=1,所以，x+(1+y)=21 4、「八、r/1 4、 4x 1+y x1+y^c贝U2(-+ )=[x+(1+y)](-+ )= + +5>2 +5=9,x1+y x1+y1+yx11+yx4x1+y时,等号成立,,…,T—二——当且仅当y+yxx+y=1时,等号成立,1 4 9因此,1 4 9因此,x+七的最小值为2故选：B(4)Va>b>0，,2a+ + =(a+b)+ +(a-b)+ a+ba-b a+b a-bTOC\o"1-5"\h\z^ 4 」 ， 4 , , 1J, 1cV(a+b)+——>2;(a+b)•——=4,(a-b)+——>2,(a-b)•——=2a+b\a+b a-b \a-b4 4 1 /.・.2a+——-+——->6，当且仅当a+b=2,a-b=1时等号成立.a+ba-b【触类旁通】1.(2019•宁夏高一期末)当x<-1时，f(x)=x+」的最大值为 ^x+1【答案】-3.11【解析】当x<-1时，f(x)=x+ --[-(x+1)- ]-1x+1 x+1-(x+1)--->(2019•广东高二期中(文))已知a>1,b>0,a+b=2，则-^―+的最小值为(a-12bx+111f(x)=x+ --[-(x+1)- ]-1<-3故答案为：-3x+1 x+1

TOC\o"1-5"\h\zA.I+KB.1+2C.3+2MD,1+m2 4 2 2 3【答案】A【解析]由题意知a>1，b>0,a+b=2，可得：(a-1)+b=1,a-1>0,1 1 1 1 1a—1b3a—1b3 ；—则 7+ =[(a-1)+b]( + )=1++—；—+ -^—+2：——-=—+J2,a-12b a-12b 2 2ba-12 \2ba-1 2a-1b当且仅当,二一时，等号成立，则—+工的最小值为3+<2。故选：A.a-12b 2, 1 13.(2019•江西高二期末(文))已知正数X,y满足x+y=5，则F+r方的最小值为x+1y+21【答案】^【解析】由X+y=5，可得(X+1)+(y+2)=8且x+1>0,y+2>0,•、x+1+展=1[x+1+/]回+1)+(y+切•、1 y+2x+12，(当且仅当=r即x=3，y=2时取“二”）.的最小值为1运用四换元型一 j “ 7-111t1 9【例4】（2°19.浙江高一月考）若正数a,b满足a+厂1，则=+=的最小值为（）A.6A.6B.9 C.12 D.15【答案】A……（11―……（11―【解析】由a+广1得:，即：b=aa-1,.eb>0,a>0 「.a-1>0—+—=—+—9—=—+9(a-1)>2：1—x9(a-1)=6a—1b—1a—1aia—1 \a—1a—1当且仅当—=9(a11)，即a=4时取等号a11 3(1 9),•二一?+「 =6本题正确选项：a1a—1b—1)min【触类旁通】(2019•浙江高一期末)已知a>0,b>0,且2a+b=ab—1,则a+2b的最小值为A.5+2<6 B.8<2 C.5 D.9【答案】A一3八【解析】由2a+b=ab—1得a=1+——>0，解得b>2.所以a+2bb—2=5+—+2(b—2)>5+2 3-•2(b—2)=5+2<6,当且仅当j=2(b—2),即b=2+且时等b—2 b—2 b—2 2号成立.故本小题选A.2已知正实数a,b满足32—b+4W0,则u=2：［3b的最小值为a十b【答案】145【解析】,「a2—b+4W0,，bN【答案】145【解析】,「a2—b+4W0,，bNa2+4,；.a+bNa2+a+4.XVa,b>0,aa.a aa+b、a2+a+4， a+b1a2+a+4'2a+3b_a>_a_ 1 >_ 1 14a+b^a+b?3a2+a+4° 4不：'4 5，a+a+1 2、；1a・a+1运用五利用不等式求参数【例5】（2019•河北高一期末）已知m>0,xy>0，当％+y=2时,2m不等式一+—>4恒成立，则m的xy取值范围是a.|\；'2,+8）D.(0,21【答案】B【解析】因为m>0,xy>02Q&m+m+2）因为不等式X+m>4恒成立，所以2Q0m+m+2）>4,整理得（m+3”）（m「2）>0,解得加>、五,即m>2【触类旁通】211（2019•黑龙江高二期末（理））若两个正实数x，y满足一+-=1，且X+2y>m2+2m恒成立，则实数xym的取值范围是()A.(f-2)U14,+<»)B.(f-4)uL,〜)C.(-2,4)D.(-4,2)【答案】D[解析】由基本不等式得x+2y=(x+2y)[2+1]=4y+X+4>2隹.X+4=8,Ixy)xy丫xy4yx 八 c当且仅当=，由于x>0,y>0,即当x=2y时，等号成立，xy所以，x+2y的最小值为8，由题意可得m2+2m<8，即m2+2m-8<0解得-4<m<2，因此，实数m的取值范围是（-4,2），故选：D.21（2019•吉林高一月考）已知x>0,y>0,且一+-=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范xy围是()A.(-8,-2)D[4,+8)b.(-8,-4)U2也)C.(-2,4)D.(-4,2)【答案】D21. - / 211,x,y,cfx~~~yc【解析】由一+—=1，可得x+2y=(x+2y)-+-=4+-+42>4+2-4土=8,xy Ixy)yx}/yx而x+2y>m2+2m恒成立=m2+2m<(x+2y),min所以m2+2m<8恒成立，即m2+2m-8<0恒成立，解得-4<m<2，故选D.

（2019•黑龙江高一月考（文））已知x〉0,y>0,且2x+8y—冲=0,若不等式a<x+y恒成立，则实数a的范围是（）A.（-8,12] b.（-8,14] C.（-8,16] D.（—8,18]【答案】D28 82【解析】由2x+8y—xy=0得：一+――1—0,即一+一=1yx xy( \(82，02x8y 2x8y—\x+y)—+——8+—+—+2—10+—+—Ixy)yxyx2x八,•x〉0,y〉0 「.—〉0y2x82x8y ，一•—二8（当且仅当———2x8y即x—2y时取等号）x+y>10+8—18(当且仅当x―2y时取等号)a<18本题正确选项：D运用六实际应用【例6】（2019•四川高一期末）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（）TOC\o"1-5"\h\zA.30 B.36 C.40 D.50【答案】C100 100【解析】设矩形的长为x（m），则宽为 （m），设所用篱笆的长为y（m），所以有y=2x+2•，根据xx基本不等式可知：y―2x+2•100>212x•2•100—40,（当且仅当2x—2•100时，等号成立，即x—10x\x x时，取等号）故本题选C.【触类旁通】

1.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3,深度为3m.如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为m.【答案】160【解析】设水池底面一边的长度为xm，则另一边的长度为4800m3xJ)…4800।“二°c04800)由题意可得水池总造价f(x)=150x—+1202x3x+2x3xTOC\o"1-5"\h\z3 1 3xJ=240000+720fx+1600](x>0),IxJ贝Uf(x)=720fx+1600]+240000>720x2卜.1600+240000IxJ xx=720x2x40+240000=2976001600 ()当且仅当x= ,即x=40时，f(x)有最小值297600,x4800此时另一边的长度为——=40m3x因此，当水池的底面周长为160m时，水池的总造价最低，最低总造价是因此，当水池的底面周长为160m时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元,故答案为160.11(2019•黑龙江高一期中)函数y=x+ +5(x>1)的最小值为( )x-1A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】:％〉］，x-1>01 -,一、1 , ： 1…函数y=x+——-+5=(x-1)+——-+6>2■(x-1)- +6=8x-1 x-1 \x-11当且仅当x=2时取等号，因此函数y=x+--+5的最小值为8答案选Cx-1(2019•吉林高一期末(文))若函数f(x)=x+<(x>2)在x=a处取最小值，则a等于(x-2A.3B.A.3B.1+C.1+、2 D.4【答案】A【解析】当X〉2时，X—2>0，则f(x)=X+-L-=(x—2)+-1-+2>2.Xx—2)•-1-+2=4x-2 x-2 \ x-2当且仅当x—2=<(x>2)时，即当x=3时，等号成立，因此，a=3,故选：A.x-2, 4(2019•河南高二开学考试(理))当x>4时，不等式x+—->m恒成立，则m的取值范围是(x-4A.m<8 b.m<8 C.m>8 d.m>8【答案】A【解析】・.・x>4,・,.x—4>0TOC\o"1-5"\h\z4 4 ： 4・・・x+——=x—4+——+4>2：(x—4)•——+4=8x-4 x一4 x一4, 4 /当且仅当x―4=，即x=6时取等号，x一44・.•当x>4时，不等式x+——->m怛成立，x-4x-4/minJm的取值范围为:(一8,8]故选：A.111（2019.上海高二期末）若正数。力x-4/minJm的取值范围为:(一8,8]故选：A.111（2019.上海高二期末）若正数。力满足a+/1’A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】：a>0,b>0,1+1=1；.・.a>1,b>1,

aba+b=ab>0」>0,L+3a—1b—1 a—1b—1(a-1)(b-1)ab-(a+b)+13 ，即a=-,b=3时，等号成立.故选B.（2019•湖北高一期末）任意正数x,不等式ax<x2+1恒成立，则实数a的最大值为A.1 B.v12【答案】Cx>0【解析】，x2+1 1「.a<=x+xxC.21=2（当且仅当x=—nx=1取到等号）「.a<2x1 4 4x2 y2.（2°19.黑龙江高一月考）设正实数x,y满足x>2,y>,八 1 . 2,八 1 2,不等式R+冏,八 1 . 2,八 1 2最大值为（）A.8162<2A.8162<24<2Cabaab-2*2Cabaab-2*2卜1ab--^LIV7ab2y[ab

abb=2.(2+2)=8【答案】A【解析】设y-1=b,2x-1=a,则y=b+1(b>0),x=1(a+1)(a>0)2(a+1)2(b+1)2 (a+1)(b+1) ab+(a+b)+1 + 2 =:2当且仅当a=b=1即x=2,y=1时取等号4x2 y2所以,+F的最小值是8,则m的最大值为8.故选A条件.若a>0,b>0，则“a+b<4”是“ab<4”的【答案】充分不必要【解析】当a>0,b>0时，由基本不等式，可得a+b-2、ab条件当a+b<4时，有2病<a+b<4，解得ab<4，充分性是成立的;例如：当a=1,b=4时，满足ab<4，但此时a+b=5>4，必要性不成立，综上所述，“a+b<4”是“ab<4”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要条件.2,.已知a,b>0，且a+b=1，则ab+—的最小值为ab33【答案】—，一， ~八7」a+b、 1 7 1【解析】因为a,b>0，且a+b=1，所以0<ab<(—―)ab=t(0<t<-)，所以设fab=t(0<t<-)，所以设f(t)=t+-(0<t<-),f'(t)=1——，显然当0<tW1时，f'(t)<0，所以f(t)在0<tW1上，是单调递减函数，44所以f(t)=f(―)二才.min4 42n1(2019•云南高一期末)已知m>0,n>0，且m+n=2，则——+-的最小值为.mn5【答案】乙TOC\o"1-5"\h\z2n 1 2n m+n 2n m 1c15 4 2【解析】因为m+n=2，所以+——+ ——+ +—-2+———，当且仅当m=—,n——m n m2n m 2n 2 22 3 3时取等号.2y1(2019•浙江高二期末)已知正数％，》满足％+2y―3，则——+丁的最小值 .x2y【答案】1【答案】1+2/33【解析】+2y-3TOC\o"1-5"\h\z2y1 2y•.上+——上+x 2y x2y%I、，，2y% 1——+—+—>2 ・一十% 6y3 %%6y31+2<3— ，3当且仅当22—%-，即%―9-36,y―3、3-3时取等号% 6y 2 42y1 1+2J3二•丁西的最小值为千.故答案为：罟亘11(2019•山西高一期末)已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m—b+—,n—a+，则m+nab的最小值是 【答案】4【解析】a，b的等比中项是1nab=1.1 1 一一 一 .m+n—b+—+a+——2b+2a—2<4ab—4ab当a―b―1时等号成立.故答案为4111……（2019•甘肃高二期末（理））已知〃,b,。e（。，+8），且a+b+c=1,则一+7+—的最小值为 ，abc【答案】9111a+b+ca+b+ca+b+c^bcacab【解析】a+b+c=1,—+—+—= + + =1+—+—+—+1+—+—+—+1abca b c aabbccba cb ac=（—+—）+（—+-）+（—+-）+3>2+2+2+3=9ab bc ca1当a=b=c=§时等号成立.故答案为9（2019•安徽高一期末）已知正数a、b满足a2+b2=6，则b^OT+4的最大值为.【答案】5. 一: b2+a2+4一【解析】a2+b2=6,b7a2+4< =52当b=%02+4即a=1,b=V5时等号成立.故答案为：5（2019•浙江高一期末）已知正实数％，了满足x+y+3=冲，则x+y的最小值为.【答案】6【解析】由题得x+y+3=xy<（x:y）2,4所以（x+y）2—4（x+y）-12>0,所以（x+y-6）（x+y+【答案】1>。,【答案】1所以x+y三6或x+yW-2（舍去），所以x+y的最小值为6.当且仅当x=y=3时取等.故答案为：6（2019•浙江高一期末）设正数a,b满足a2+4b2+-1=4，则a= ；b= .ab【解析】a2+4b2+—=(a—2b\+4ab+—>2；4ab•—二4ab ab ab…八八， < … 1当且仅当a-2b=0且2ab=1即a=1,b=-时，“二”成立.1所以a—1,b——1(2019•湖北高一期中)已知a,bgR，且a-2b+8—0，则2a+—的最小值为4b1【答案】8【解析】二七-2b+8—0—2%；2a-2b—2c2-8—8当且仅当a—-2b即b—2,a—-4时取等号，故答案为：18恒成立，则m恒成立，则m的最大值为(2019•浙江高一期末)已知a>0,b>0,若不等式一+->n7ab2a+b【答案】9.21m/【解析】由21m/【解析】由a+b*n得m,(2a+b)恒成立，而(21)

[a+bJ2a2b(2a+b)—5+—+—ba-2a2b>5+2—•——5+4—9，故m<9，所以m的最大值为9\bax 2x+yTOC\o"1-5"\h\z(2019•天津高三月考(文))已知x，y为正实数，则 + 的最小值为 .x+2y x【答案】3"五1y―——+上+2y八 1c 1 1 3【解析】原式[,2yx ，令t—->0，则上式变为+1+2— +-(1+21)+1+—— x 1+21 1+212 2x>2.1-1-•1(1+21)+3—3+%2，当且仅当-L——1(1+21),t—吏二1时等号成立，故最小值为\,1+2t2 22 1+212 22+威•已知x>0,y>0,x+2y+2孙—3，贝Ux+2y的最小值为.【答案】2【解析】由题可得：x+2y=3—x-（2y）>3—户于J（当且仅当工=2y时取等号），整理得：（x+2））2+4（%+2））-12>0,即：（x+2y-2）（x+2y+6）20,又：x+2y>0,所以：x+2y>2（当且仅当％=2y时取等号），则：％+2y的最小值是2.故答案为：2.1 1 4、八已知a〉b〉c,求证： -+； + ci—bb—cc—ci【答案】见证明【解析】证明：因为a>b〉c,所以a—b>0,b—c>0,a—c>0.所以4（a—b）（b—c）<[（a—b）+（b—c）]2=（a—c）2.a-c4 （b—c）+（〃一/7） 4、八所以7―。―G——，即7~~7T77———（a—b）（b—c）（1—c （6i—/?）（£>-c） ci—c114c所以-r+--+——>0.ci—bb—cc—ci（2019-江苏高二期末）已知〃，6是正数，求证：a2+4Z?2+J->4.ab【答案】见证明【解析】证明：因为。，匕是正数，所以。2+4核24".1 1 l所以。2+4。2+一+——22。4=4.ab ab14即〃2+4/?2+一24.ab,1当且仅当。=1,匕=5时取等号22（2019・重庆高一期末）某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）犬k万件与年促销费用机万元（加20）满足X=3—--（左为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销m+1

售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将该产品的年利润）万元表示为年促销费用m万元的函数;（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？16【答案】（1）y=28- -m；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大m+1【解析】（1）由题意可知，当m=0时，x=1（万件），2所以1=3-k，所以k=2，所以元=3 m+18+16x每件产品的销售价格为1.5x （万元），x8+16x 16所以年利润y=xx1.5x 8-16x-m=4+8x-m=28-m-一x m+116所以y=28———--m，其中m>016即 +m>716即 +m>7m+116所以y<28-7=21，当且仅当-^6-=m+1(2)因为所以y<28-7=21，当且仅当-^6-=m+1m+1,即m=3（万元）时，）=21（万元）.max所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.（2019•黑龙江高二期末（文））（1）已知a,b£R，且a-3b+6=0，求2a+1-的最小值。8b14（2）已知a,b是正数，且满足a+b=1，求一+的最小值。ab【答案】（1）4；（2）9【解析】（1） —38+6=0, a-3b=-6TOC\o"1-5"\h\z由基本不等式可得2a+_L=2a+2-3b>2\2a-2-3b=2\.''2a-3b=2%；2-6=—,8b 4a=-3b fa=-3 1 1当且仅当彳 泰二，即当L1时，等号成立，所以，2a+-的最小值为彳；a-3b=-6 b=1 8b 4(a(a+b)=4a+b+5>2

ba（2）由基本不等式可得一+-=ab4ab =——ba当且仅当4ab =——ba当且仅当1a+b=1a>0,b>014a+b的最小值为9因为工＞0，一一16、由基本不等式和不等式的性质可得5400+480%+—1工7>