直线与双曲线的相交弦问题

直线与双曲线的相交弦问题直线与双曲线相交的弦长公式①AB=(xx)2+(yy)2(两点之间的距离)1212②AB=1+k2.xx=(1+k2)[(x+x)24xx]211212③AB=1+1.yy=(1+1).[(y+y)24yy]kk21212一、已知双曲线方程和直线方程求弦长y2几y例1、过双曲线x2=1的左焦点F，作倾斜角为的弦AB，求AB；⑵FAB的面积(F为31622双曲线的右焦点)。y2y1、求直线y=x+1被双曲线x2=1截得的弦长；4几2、过双曲线16x29y2=144的右焦点作倾斜角为的弦AB，求弦长AB；3F3(1)弦长AB(2)△FAB的周长(F为双曲线的右焦点)12x2y254二、已知弦长求双曲线方程倾斜角为 4d解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免B若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．7、已知中心在原点，顶点A,A在x轴上，离心率为21的双曲线经过点P(6,6)123(Ⅰ)求双曲线的方程；(Ⅱ)动直线l经过编APA的重心G，与双曲线交于不同的两点M,N，问是否存在直线l使G平分线12段MN。试证明你的结论。a25⑵设直线l与y轴的交点为P，且PA=PB，求a的值。x→→55d122511.双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l，l，经过右焦点F垂直于l的直线分12112(Ⅰ)求双曲线的离心率；(Ⅱ)设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．14abbAB414abbAB4OA3252由倍角公式：a=4，52 ba2b222k2k21113－k2＋(3k2－1)2＋2k21∴|OP|2＋|OQ|2＝12(k2＋1)＝12(k2＋1)＝6.2(2)x(2)(2(2)证明：设直线PQ的方程是y＝x＋b，∵直线PQ与已知圆相切，∴|b|＝1，即b2＝2.2(y=x+b(x+x=2bb当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx(显然k>2)，21则直线OM的方程为y＝－kx.1k2d1113k2＋331113k2＋33五、能力提升1．若不论k为何值，直线y=k(x-2)+b与双曲线x2-y2=1总有公共点，则b的取值范围是()(A)(-3,3)(B)[-3,3](C)(-2,2)(D)[-2,2]y2y2．过双曲线x2-=1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条3．过点P(|-1,-b)|的直线l与双曲线x2-y2=1(a>0,b>0)有且仅有一个公共点，且这个公共点恰 (a)a2b2是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于()a2b2有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()AB(C)[2，+∞)(D)(2，+∞)6．直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=6的右支交于不同两点，则k的取值范围是．的直线l被双曲线x2-4y2=60截得的弦长AB=