江苏省南京市重点中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题及答案解析

-2021学年南京市重点中学高二（上）期末数学试卷一.选择题：本大题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知命题，X2-X+14≤A．，X2-X+14≤0C．，X2-X+14>02．（5分）已知1，，，，16这五个实数成等比数列，则的值为A．4 B． C． D．不确定3．（5分）某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是034743738636964736614698637162332616804560111410957774246762428114572042533237322707360751245179A．36 B．16 C．11 D．144．（5分）已知，是平面，，是直线，且，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知直线经过定点，则的最小值是A． B． C． D．36．（5分）设和为双曲线的两个焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是A． B． C． D．7．（5分）若函数在区间，上有最小值，则实数的取值范围是A． B． C．， D．8．（5分）棱长为1的正方体中，点在线段上，（点异于、两点），线段的中点为，若平面截该正方体所得的截面为四边形，则线段长度的取值范围为A．， B．， C．， D．，二.不定项选择题：本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选错得0分，部分选对得3分.9．（5分）在中，已知，且，则A．，，成等差数列 B． C．若，则 D．，，成等差数列10．（5分）某颗人造卫星的运行轨道是以地球为中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，，，则A． B． C． D．11．（5分）已知各项均为正项的等比数列，，，其前项和为，下列说法正确的是A．数列为等差数列 B．若，则 C． D．记，则数列有最大值12．（5分）下列说法正确的是A．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点 B．若曲线在点，处有切线，但不一定存在 C．“函数”是“函数在处取得极值”的既不充分也不必要条件 D．若曲线存在平行于轴的切线，则实数的取值范围是三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13．（5分）某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”，得到如下的频数分布表：周跑量，，，，，，，，，人数100120130180220150603010周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以上三段，不同类别的跑者购买的装备价格不一样．根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费元．14．（5分）过原点向曲线可作三条切线，则实数的取值范围是．15．（5分）已知数列的前项和为，则；若，则数列的前项和为．16．（5分）若关于的不等式在是恒成立，则实数的取值范围是．四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”．（1）若命题是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．18．（12分）已知数列是递增的等比数列，前3项和为13，且，，成等差数列，（1）求数列的通项公式；（2）数列的首项，其前项和为，且____，若数列满足，的前项和为，求的最小值．在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．①；②；③．19．（12分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求，均在线段上，，均在圆弧上．设与所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．20．（12分）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．21．（12分）（1）已知函数．若函数在时取得极值，求实数的值；（2）已知函数．试探求函数零点的个数，并证明你的结论．22．（12分）已知点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点．（1）证明：直线过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线交椭圆于，两点，，分别是，的面积，求的最小值．答案解析一.选择题：本大题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知命题，X2-X+14≤A．，X2-X+14≤0C．，X2-X+14>0【分析】根据含有量词的命题的否定，即可得到结论．【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为，．故选：．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）已知1，，，，16这五个实数成等比数列，则的值为A．4 B． C． D．不确定【分析】根据等比数列的性质可得．【解答】解：，，，，16成等比数列，，，，故选：．【点评】本题考查等比数列的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．3．（5分）某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，……，38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是034743738636964736614698637162332616804560111410957774246762428114572042533237322707360751245179A．36 B．16 C．11 D．14【分析】利用简单随机抽样的数表法定义进行判断即可，【解答】解：利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，即47开始读取，在编号范围内的提取出来即可，则36，33，26，16，11，则选出来的第5个零件编号是11，故选：．【点评】本题考查简单随机抽样的数表法定义，比较基础．4．（5分）已知，是平面，，是直线，且，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线与平面垂直的判定定理以及推论，从充分性和必要性两方面作出判断即可．【解答】解：已知且，，两平面互相垂直，其中一平面内垂直于另一平面的直线，必垂直两平面的交线，“”是“”的充分条件，两平面互相垂直，其中一平面内垂直于两平面交线的直线，必垂直于另一平面，“”是“”的必要条件，”是“”的充要条件，故选：．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理，以及简易逻辑，属于基础题．5．（5分）已知直线经过定点，则的最小值是A． B． C． D．3【分析】由题意知，可得，根据基本不等式即可求出．【解答】解：由题意知，且，是两个不同的正数，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值是，故选：．【点评】本题考查了基本不等式的应用，关键掌握应用基本不等式的基本条件，一正二定三相等，属于基础题．6．（5分）设和为双曲线的两个焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是A． B． C． D．【分析】由题意可知：焦点在轴上，由、、是直角三角形的三个顶点，整理出：，即可求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：由题意可知：双曲线焦点在轴上，焦点，，由、、是等腰直角三角形的三个顶点，，，，，则双曲线的渐近线方程是．故选：．【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于中档题．7．（5分）若函数在区间，上有最小值，则实数的取值范围是A． B． C．， D．【分析】求函数导数，研究其最小值取到位置，由于函数在区间，上有最小值，故最小值点的横坐标是集合，的元素，由此可以得到关于参数的等式，解之求得实数的取值范围【解答】解：由题，令解得；令解得或由此得函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数故函数在处取到极小值，判断知此极小值必是区间，上的最小值，解得又当时，（2），故有综上知，故选：．【点评】本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值．8．（5分）棱长为1的正方体中，点在线段上，（点异于、两点），线段的中点为，若平面截该正方体所得的截面为四边形，则线段长度的取值范围为A．， B．， C．， D．，【分析】根据题意画出图形，设平面与直线交于点，然后根据正方体的特征得出，再利用三角形相似得出，求出的范围即可求解．【解答】解：如图，设平面与直线交于点，因为是正方体，所以平面平面，而平面平面，平面平面，所以，则，所以，所以，要使平面截该正方体所得的截面为四边形，则需要点在线段上，当点在点处时，恰好在线段的中点处，因为点在线段上，所以，所以，则，即，所以，即的范围为，，故选：．【点评】本题考查了棱柱的性质，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．二.不定项选择题：本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选错得0分，部分选对得3分.9．（5分）在中，已知，且，则A．，，成等差数列 B． C．若，则 D．，，成等差数列【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，由正弦定理可得，可求，进而逐项分析各个选项即可得解．【解答】解：将，利用正弦定理化简得：，即，，，利用正弦定理化简得：，又，即，，由正弦定理可得，，，故错误，由正弦定理可得，故正确；若，可得，，可得，可得，可得，故正确；若、、成等差数列，且，，可得，由于，故错误．故选：．【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．10．（5分）某颗人造卫星的运行轨道是以地球为中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，，，则A． B． C． D．【分析】根据题意可知：，，从而求出，的值，进而求出的值，推出结果．【解答】解：设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，则由题意可知：，，可得，所以正确；，所以正确；可得，即，故不正确；又．则．则，所以正确；故选：．【点评】本题考查了椭圆的几何量之间的关系，是基础题．11．（5分）已知各项均为正项的等比数列，，，其前项和为，下列说法正确的是A．数列为等差数列 B．若，则 C． D．记，则数列有最大值【分析】直接利用数列的通项公式判定正确，进一步利用数列的前项和公式的转换的应用和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：各项均为正项的等比数列，则，对于选项，故正确．对于选项，所以，故正确．对于选项：若数列为等比数列，所以，故错误．对于选项，，由于，所以有最小值，且，所以由最大值，故有最大值，故正确．故选：．【点评】本题考查的知识要点：等比数列的性质和通项公式的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．（5分）下列说法正确的是A．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点 B．若曲线在点，处有切线，但不一定存在 C．“函数”是“函数在处取得极值”的既不充分也不必要条件 D．若曲线存在平行于轴的切线，则实数的取值范围是【分析】举反例，比如与相切于点，同时经过点另外一点，可判断；考虑切线垂直于轴，可判断；举反例，比如在处，但在处无极值，可判断；由参数分离和导数的几何意义，计算可判断．【解答】解：对于，过曲线上的一点作曲线的切线，这点不一定是切点，如经过曲线上一点但是不是在该点与曲线相切而是在其他地方相切，比如与相切于点，同时经过点另外一点，我们就可以说过点的直线与曲线相切，但切点是而不是，故错误；对于，如曲线在某点处的切线垂直于轴，此时不存在，但曲线在点，处有切线，故正确；对于，“函数”不能得到“函数在处取得极值”，比如在处，但在处无极值，但由极值的定义可得“函数在处取得极值”可以得到“函数”，故错误；对于，若曲线存在平行于轴的切线，由，可得有正数解，即有，由，可得，故正确．故选：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13．（5分）某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”，得到如下的频数分布表：周跑量，，，，，，，，，人数100120130180220150603010周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以上三段，不同类别的跑者购买的装备价格不一样．根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费3720元．【分析】分别求出休闲跑者、核心跑者、精英跑者的人数，然后利用平均数的计算公式求解即可．【解答】解：根据表中的数据可得，休闲跑者共有人，核心跑者共有人，精英跑者共有人，所以估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费为：元．故答案为：3720．【点评】本题考查了样本数据平均数的求解，解题的关键是掌握平均数的计算公式，考查了化简运算能力与数据分析能力，属于基础题．14．（5分）过原点向曲线可作三条切线，则实数的取值范围是．【分析】设出切点的坐标，求出曲线方程的导函数，把设出的切点的横坐标代入导函数中表示出切线方程的斜率，由切点坐标和斜率写出切线方程，把原点坐标代入得到一个方程，设方程左边的函数为，求出导函数为0时的值，利用的值分区间讨论导函数的正负，得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到的极大值和极小值，令极大值大于0，极小值小于0列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意的的取值范围．【解答】解：设切点坐标为，，而切线的斜率，所以切线方程为：，把原点代入得：，所以过原点向曲线可作三条切线，方程有三个不同的实数解，设，所以令，解得或，则，，的变化如下图：，000极大值极小值根据图形可知：，，根据题意，即，解得：，则实数的取值范围是．故答案为：【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负得到函数的单调区间并根据函数的增减性得到函数的极值，是一道中档题．15．（5分）已知数列的前项和为，则，；若，则数列的前项和为．【分析】由数列的递推式：时，，时，，可得所求通项公式；由，结合数列的裂项相消求和，计算可得所求和．【解答】解：的前项和为，可得时，，时，，上式对也成立，所以，；，则．故答案为：，；．【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．16．（5分）若关于的不等式在是恒成立，则实数的取值范围是，．【分析】令，，求导得，分，两种情况讨论的取值范围．【解答】解：令，，，当时，在上，，单调递增，所以，若不等式在是恒成立，则，令，则，即，所以，设，因为为增函数，所以，即，所以，当时，，，所以，所以实数的取值范围为，．【点评】本题考查利用导数研究参数的取值范围，解题中注意分类讨论，转化思想的应用，属于中档题．四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”．（1）若命题是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．【分析】（1）利用圆锥曲线的性质求出的范围；（2）若为真，则，即，由是的必要不充分条件，得到，或即可求出的取值范围．【解答】解：（1）若为真：则，解得，或；（2）若为真，则，即，是的必要不充分条件，则，或即或解得或【点评】本题考查了命题真假及充要条件的应用，属于基础题．18．（12分）已知数列是递增的等比数列，前3项和为13，且，，成等差数列，（1）求数列的通项公式；（2）数列的首项，其前项和为，且____，若数列满足，的前项和为，求的最小值．在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．①；②；③．【分析】（1）由题意列式求解及公比，则等比数列的通项公式可求；（2）选①，运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式可得，再由等比数列的求和公式，可得所求最小值；选②，运用等差数列的通项公式可得，，再由数列的错位相减法求和，可得，再由数列的单调性可得所求最小值；选③，运用等比数列的定义和通项公式、求和公式，结合为奇数和偶数，可得所求最小值．【解答】解：由题意得，可得，，设递增的等比数列数列的公比为，得，解得或（舍，则；（2）选①，当时，，又，两式相减可得，则，可得为首项为1，公比为的等比数列，则；，可得，由为递增数列，可得时，取得最小值1；选②，可得为首项为1，公差为2的等差数列，则，，则，，两式相减可得，化简可得，由为递增数列，可得时，取得最小值1；选③，可得为首项为1，公比为的等比数列，则；，可得，，，当为奇数时，；当为偶数时，，可得时，取得最小值．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19．（12分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求，均在线段上，，均在圆弧上．设与所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【分析】（1）根据图形计算矩形和的面积，求出的取值范围；（2）根据题意求出年总产值的解析式，构造函数，利用导数求的最大值，即可得出为何值时年总产值最大．【解答】解：（1），，当、重合时，最小，此时；当、重合时，最大，此时，的取值范围是，；（2）设年总产值为，甲种蔬菜单位面积年产值为，乙种蔬菜单位面积年产值为，则，其中，；设，则；令，解得，此时，；当，时，，单调递增；当，时，，单调递减；时，取得最大值，即总产值最大．，，，；答：时总产值最大．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题，是中档题．20．（12分）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明；（Ⅱ）先平面的法向量，再根据向量的夹角公式，求出二面角的正弦值；（Ⅱ）求出，值，即可求出直线与平面所成角的正弦值．【解答】解：以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，（Ⅰ）证明：依题意，，1，，，，，，；（Ⅱ）依题意，，0，是平面的一个法向量，，2，，，0，，设，，为平面的法向量，则，即，不妨设，则，，，，，，，二面角的正弦值；（Ⅲ）依题意，，2，，由（Ⅱ）知，，，为平面的一个法向量，，，直线与平面所成角的正弦值为．【点评】本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．21．（12分）（1）已知