辽宁省大连市九年级(上)期末数学试卷

九年级（上）期末数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，则cos∠BAC等于（）A.34 B.43 C.45 D.35如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=70°，则∠ACB的度数是（）A.30∘

B.35∘

C.45∘

D.70∘

如图，在△ABC中，C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则线段BE的长度为（）

A.2 B.3 C.4 D.25抛物线y=2（x-3）2+4的对称轴是（）A.直线x=−3 B.直线x=4 C.直线x=3 D.直线x=2如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（）

A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°，堤高BC=53m，则坡面AB的长度是（）

A.10m B.103m C.15m D.53m若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x-2-1012y830-10则抛物线的顶点坐标是（）A.(−1,3) B.(0,0) C.(1,−1) D.(2,0)二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）一个不透明的盒子里有5张完全相同的卡片，它们的标号分别为1，2，3，4，5，随机抽取一张，抽中标号为奇数的卡片的概率是______．若关于x的一元二次方程-x2+5x+c=0的一个根为3，则c=______．抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有交点，则m的取值范围是______．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比S△ADE：S△ABC=______．

如图所示，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC延长线上的D点处，则∠CAE=______度．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为______cm（结果保留π）．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（5，0），则点A的坐标为______．

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（3，0），与y轴交点坐标为（0，3），顶点坐标为（2，-1），当0＜x＜3时，二次函数y的取值范围是______．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分）解下列方程：

（1）x2+10x+16=0

（2）x2−2x-14=0．

平面直角坐标系中，点A（-2，-4）、B（0，-4）、C（-3，0）．

（1）请在坐标系中画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后的△A′B′C′，并直接写出A′、B′、C′的坐标；

（2）点B旋转到点B′所经过的路径长为______．

袋子装有2个黑球、1个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不到球的前提下，随机从袋子中摸出1个球，不放回去，再摸出一个球，求这两次摸出的球都是黑色的概率．

如图，沿AD方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，已知∠A=40°，AB=500m，∠B=50°，求另一边开挖点C离B多远正好使A、C、D三点在一条直线上，（结果取整数，sin40°≈0.745，cos40°≈0.766）．

一面墙长18m，借助这面墙用长度为32m的篱笆围成面积为120m2矩形的花园ABCD（墙的长度要大于花园的长BC），求矩形的宽AB的长．

平面直角坐标系中，点A坐标为（-1，0），直线y1=-x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y2=ax2+bx+c（a≠0），经过A、B、C三点，直线x=1.5交抛物线于点D，交BC于E，连接CD、BD．

（1）求二次函数解析式；

（2）求△BCD的面积．

如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线CE交AB于D，交⊙O于E，EF为⊙O的切线，交CB的延长线于F．

（1）求证：EF∥AB；

（2）求BF的长．

△ABC中，AD⊥BC于D，tan∠B=12，tan∠C=1，AD=6，点E沿射线DC方向一直运动，将点E绕点D逆时针旋转90°得到点F（F在射线DA上），点G与点E关于点D成中心对称（点G在射线DB上），连接GE、EF、FG得到△GEF．

（1）求BC的长；

（2）在点E的运动过程中，设DE=x，△GEF与△ABC的重叠部分面积为S，求S与x的函数关系式．

【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：

△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长．

小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．

【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：

△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．

抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0，c＜0），与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，A点坐标为（-3，0），抛物线顶点为D，△ACD的面积为3．

（1）求二次函数解析式；

（2）点P（m，n）是抛物线第三象限内一点，P关于原点的对称点Q在第一象限内，当QB2取最小值时，求m的值．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、是中心对称图形，故本选项正确；

D、不是中心对称图形，故本选项错误；

故选：C．

根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．

此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】C

【解析】解：由勾股定理，得

AB==10．

由余弦等于邻边比斜边，得

cos∠BAC==，

故选：C．

根据勾股定理，可得AB的长，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．

本题考查了锐角三角函数的定义，利用勾股定理得出AB的长是解题关键．3.【答案】B

【解析】解：∵∠AOB=70°，

∴∠ACB=∠AOB=35°．

故选：B．

根据圆周角定理得到∠ACB=∠AOB，即可计算出∠ACB．

本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．4.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=5，

∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，

∴BE=AB-AE=2，

故选：A．

由旋转的性质可求得AE、DE，由勾股定理可求得AB，则可求得BE，连接BD，在Rt△BDE中可求得BD的长．

本题主要考查旋转的性质，掌握旋转前后对应线段相等、对应角相等是解题的关键．5.【答案】C

【解析】解：∵抛物线的解析式为：y=2（x-3）2+4，

∴此抛物线的对称轴是直线x=3．

故选：C．

根据二次函数的顶点式进行解答即可．

本题考查的是二次函数的性质，用到的知识点：二次函数y=a（x-h）2+k的对称轴是直线x=h．6.【答案】C

【解析】解：连结OA，OD⊥AB，如图，

∴AD=BD，OD=3cm，

在Rt△AOD中，OA=5cm，OD=3cm，

∴AD==4cm，

∴AB=2AD=8cm．

故选：C．

连结OA，OD⊥AB，根据垂径定理得到AD=BD，且OD=3cm，在Rt△AOD中根据勾股定理计算出AD，然后利用AB=2AD求解．

本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理．7.【答案】B

【解析】解：∵河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°，堤高BC=5m，

∴sin30°=，

∴AB==10m．

故选：B．

直接利用坡角的度数结合锐角三角函数求出答案．

本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，属于基础题，掌握三角函数的定义是解答本题的关键．8.【答案】C

【解析】解：

∵当x=0或x=2时，y=0，当x=1时，y=-1，

∴，解得，

∴二次函数解析式为y=x2-2x=（x-1）2-1，

∴抛物线的顶点坐标为（1，-1），

故选：C．

由表中所给数据，可求得二次函数解析式，则可求得其顶点坐标．

本题主要考查二次函数的性质，利用条件求得二次函数的解析式是解题的关键．9.【答案】35

【解析】【分析】

此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

根据一个不透明的盒子里有5张完全相同的卡片，它们的标号分别为1，2，3，4，5，其中奇数有1，3，5，共3个，再根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：

​∵共有5个数字，奇数有3个，

∴随机抽取一张，抽中标号为奇数的卡片的概率是．

故答案是．

10.【答案】-6

【解析】解：把x=3代入，得

-32+5×3+c=0，

解得c=-6．

故答案是：-6．

把x=3代入已知方程，列出关于c的新方程，通过解新方程可以求得c的值．

本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．11.【答案】m≤2

【解析】解：∵抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有交点，

∴关于x的一元二次方程x2+2x+m-1=0有解，

∴△=22-4（m-1）=8-4m≥0，

解得：m≤2．

故答案为：m≤2．

由抛物线与x轴有交点可得出方程x2+2x+m-1=0有解，利用根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．

本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，利用根的判别式△≥0找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．12.【答案】1：4

【解析】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，

∴DE∥BC，DE=BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴S△ADE：S△ABC=（）2=，

故答案为：1：4．

根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE=BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．

本题考查的是相似三角形的性质、三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．13.【答案】100

【解析】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC延长线上的D点处，

∴AB=AD，∠BAD等于旋转角，

∴∠B=∠ADB=40°，

∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=100°．

故答案为100．

根据旋转的性质得AB=AD，∠BAD等于旋转角，再根据等腰三角形的性质得∠B=∠ADB=40°，然后根据三角形内角和定理计算∠BAD的度数．

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．14.【答案】12π

【解析】解：该圆锥的侧面面积==12π（cm2）．

故答案为12π．

由于圆锥的侧面展开图为扇形，所以根据扇形的面积公式计算即可，

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15.【答案】（2.5，5）

【解析】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，

∴B点与D点是对应点，又点D的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），

∴位似比为：5：2，

∵C（1，2），

∴点A的坐标为：（2.5，5）．

故答案为：（2.5，5）．

根据题意得到B点与D点是对应点，根据B点与D点的坐标求出位似比，根据位似变换的性质计算即可．

本题主要考查了位似变换的概念和性质，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．16.【答案】-1≤y＜3

【解析】解：∵抛物线的开口向上，顶点坐标为（2，-1），

∴a＞0，对称轴为直线x=2，

∴当x=0时的y值大于x=3时的y值，且y值最小值为-1，

∴当0＜x＜3时，-1≤y＜3．

故答案为：-1≤y＜3．

由抛物线的开口方向及顶点坐标，可得出a＞0且对称轴为直线x=2，观察图象结合二次函数的性质，即可找出当0＜x＜3时二次函数y的取值范围．

本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．17.【答案】解：（1）x2+10x+16=0，

（x+2）（x+8）=0，

∴x+2=0或x+8=0，

解得，x1=-2，x2=-8；

（2）x2−2x-14=0，

∵a=1，b=-2，c=-14，

∴△=(−2)2−4×1×(−14)=3＞0，

∴x=2±32×1=2±32，

∴x1=2−32，x2=2+32．

【解析】

（1）先把方程左边进行因式分解，然后求解即可；

（2）先找出公式中的a，b，c的值，再代入求根公式即可得出答案．

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】2π

【解析】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求，

A′的坐标为（-4，2）、B′的坐标为（-4，0）、C′的坐标为（0，3）；

（2）∵OB=4、∠BOB′=90°，

∴点B旋转到点B′所经过的路径长为=2π，

故答案为：2π．

（1）分别作出点A、B、C绕原点O顺时针旋转90°后得到的对应点，再顺次连接可得；

（2）根据弧长公式即可得．

本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义得出旋转后得到的对应点．19.【答案】解：画树状图得：

∴一共有6种等可能的结果，其中两个球都是黑球的有2种情况，

∴两个球都是黑球的概率为26=13．

【解析】

首先根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与两个球都是黑球的情况，再利用概率公式求解即可．

此题考查的是用树状图法求概率的知识．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】解：∵∠A=40°，∠D=50°，

∴∠C=180°-40°-50°=90°，

Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，AB=500m，

∴sinA=BCAB，

∴BC=AB•cosB

=500×sin40°

=500×0.745=372.5≈373（米）．

答：开挖点C到点B的距离约为373米．

【解析】

确定∠C=90°，然后在Rt△ABC中利用三角函数解答即可．

本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形，然后利用三角函数是解题的关键．21.【答案】解：设矩形的宽AB的长为xm，则BC的长为（32-2x）m，

根据题意得：x（32-2x）=120，

解得：x1=6，x2=10．

∵x＜32-2x，

解得：x＜1023，

∴x=6或10．

答：矩形的宽AB的长为6m或10m．

【解析】

设矩形的宽AB的长为xm，则BC的长为（32-2x）m，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.【答案】解：（1）把y=0代入y1=-x+3中，可得：x=3，

所以点B的坐标为（3，0），

把x=0代入y1=-x+3中，可得：y=3，

所以点C的坐标为（0，3）

把A（-1，0）B（3，0）C（0，3）分别代入y2=ax2+bx+c（a≠0）中，可得：

a−b+c=09a+3b+c=0c=3

解得：a=−1b=2c=3，

所以二次函数解析式为y2=-x2+2x+3，

（2）把x=1.5代入y2=-x2+2x+3中，可得：y=154，

所以点D的坐标为（1.5，154），

所以△BCD的面积=3×154−12×3×3−12×1.5×154−12×1.5×34=278．

【解析】

（1）根据一次函数解析式求出点B，C的坐标，再代入抛物线y2=ax2+bx+c（a≠0）中解答即可；

（2）根据△BCD的面积等于长方形面积减三个小三角形面积计算即可．

本题主要考查的是待定系数法求二次函数的解析式、一次函数与坐标轴的交点，△BCD的面积等于长方形面积减三个小三角形面积是解题的关键．23.【答案】（1）证明：连接OE．

∵∠ACE=∠BCE，

∴AE=BE，

∴OE⊥AB，

∵EF是切线，

∴OE⊥EF，

∴EF∥AB．

（2）解：作CH⊥AB于H．

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴BC=AB2−AC2=102−62=8，

∵12•AC•BC=12•AB•CH，

∴CH=245，

∵CH∥OE，

∴△CDH∽△EDO，

∴CDDE=CHOE=2425，

∵DB∥EF，

∴BCBF=CDDE=2425，

∴BF=253．

【解析】

（1）连接OE，只要证明OE⊥AB，OE⊥EF即可；

（2）利用面积法求出CH，由CH∥OE，推出△CDH∽△EDO，可得==，由DB∥EF，可得==，由此即可解决问题；

本题考查切线的性质、圆周角定理、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形以及相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】解：（1）∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵tan∠B=12，tan∠C=1，AD=6，

∴CD=AD=6，BD=2AD=12，

∴BC=BD+CD=18．

（2）①如图1中，当0＜x≤6时，重叠部分是△EFG，S=12×2x×x=x2．

②如图2中，当6＜x＜12时，重叠部分是五边形ACGM．

作BK∥GF交DF的延长线于K，作MH⊥BC于H．易知：AB=65，DB=DK=12，

∵FM∥BK，

∴AFAK=AMAB，

∴x−66=AM65，

∴AM=55（x-6），

∵MH∥AD，

∴MHAD=BMBA，

∴MH6=65−55(x−6)65，

∴MH=365-15x，

∴S=S△ABC-S△BMG=12×6×18-12×（12-x）×（365-15x）=-110x2+245x+545．

③当x≥12时，重叠部分是△ABC，S=54，

综上所述，S=x2(0＜x≤6)−110x2+245x+545(6＜x＜12)54(x≥12)．

【解析】

（1）解直角三角形求出BD，CD即可解决问题；

（2）分三种情形：①如图1中，当0＜x≤6时，重叠部分是△EFG．②如图2中，当6＜x＜12时，重叠部分是五边形ACGM．③当x≥12时，重叠部分是△ABC．分别求解即可解决问题；

本题考查旋转变换，中心对称，解直角三角形，平行线的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．25.【答案】解：【阅读理解】

如图1，过点E作EH∥BC交AC于H，

∴∠FEH=∠FDC，∠FHE=∠C，

∴△FEH∽△FDC，

∴EHDC=FEFD，

∵DE=EF，

∴EHDC=12，

∵BD=DC，

∴EHBC=14，

同理得：△AEH∽△ABC，

∴AEAB=EHBC=14，

∵AB=5，

∴AE=54；

【解决问题】

猜想：EPGH=m+1m+2，理由是：

如图2，过D作DM∥GH，交AC于M，

∴∠CMD=∠CGH，∠CDM=∠