第6章电容和开关电流网络的分析与设计放映

现代电路理论与设计第６章

开关电容和开关电流网络的分析与设计

第6章开关电容和开关电流网络的分析与设计6.1开关电容和开关电流网络简介6.2开关电容等效电阻的原理6.3开关电容积分器6.4寄生电容不敏感的开关电容积分器6.5开关电容积分器的信号流图分析6.6一阶开关电容滤波器的分析与设计6.7二阶开关电容滤波器的分析与设计6.8高阶开关电容滤波器的分析与设计6.9开关电流滤波器简介参考文献电路理论与设计引言

本章研究开关电容网络和开关电流网络，主要研究开关电容滤波器和开关电流滤波器的分析和设计。开关电容滤波器和开关电流滤波器需要在时域对信号进行取样，所以属于取样数据滤波器。但是由于它们所处理的信号没有被量化，仍然是模拟信号，所以仍然属于模拟滤波器。采用开关电容和开关电流技术可以用标准的CMOS工艺设计和制造高精度、高质量的集成滤波器，因而得到了很快的发展，形成了比较成熟的技术。但是，开关电容滤波器和开关电流滤波器因为需要时域取样，所以有可能产生混叠。为了避免产生混叠，这种滤波器取样时钟频率必须为最高工作信号频率的两倍以上，于是限制了开关电容滤波器和开关电流滤波器处理高频信号的能力。第6章开关电容和开关电流网络的分析与设计6.1开关电容和开关电流网络简介6.1.1什么是开关电容网络和开关电流网络电路理论与设计6.1.1什么是开关电容网络和开关电流网络6.1.1什么是开关电容网络和开关电流网络

由电容、运算放大器和受时钟控制的开关组成的有源网络称为开关电容网络。开关电容网络简称为SCN或SC网络。在MOS集成电路中，开关电容是一种技术，它是实现模拟信号处理的最流行的技术之一。用开关电容技术实现的滤波器称为开关电容滤波器，简称为SCF。SCF是开关电容网络的一个重要应用领域。用开关电容可以实现低通、高通、带通、带阻、幅度均衡和相位均衡等各种滤波功能。

为了进一步减小芯片的面积并且采用标准的CMOS工艺，20世纪80年代末在开关电容技术的基础上又发展了一种新的数据取样技术，这就是开关电流技术。这种技术依靠MOS管自身的电容而不是外部电容实现信号的存储，通过开关和电流镜而不是电容对输入信号进行处理和运算，并以电流而不是电压的形式将信号输出。用这种技术设计的电路的最大优点就是适合于采用标准的数字CMOS工艺进行集成，生产同样功能的电路所需的芯片面积比开关电容电路更小。电路理论与设计6.1.1什么是开关电容网络和开关电流网络6.1.2为什么要研究开关电容网络和开关电流网络电路理论与设计6.1.2为什么要研究开关电容网络和开关电流网络6.1.2为什么要研究开关电容网络和开关电流网络

开关电容网络和开关电流网络是适应高质量的集成滤波电路发展的需求而产生的。早期的滤波器都是用无源RLC电路实现的，这种滤波器的滤波性能可以做得很好。但由于无源RLC滤波器中的电感在体积、重量和线性等方面存在的问题，限制了无源滤波器的使用范围和进一步的发展。在20世纪60年代，随着集成有源器件和集成运算放大器的发展，人们开始用有源器件取代RLC滤波器中的电感，从而产生了有源RC滤波器。有源RC滤波器的出现是滤波器领域的一次革命性的变化，使滤波器技术得到了飞速的发展。

由于有源RC滤波器在体积、重量和增益方面的明显优点，使它的应用范围得到了很大的拓展。特别重要的是，有源RC滤波器的基本原理和一些基本电路仍然是目前实现大规模和超大规模集成电路的基础。但是，有源RC滤波器在集成实现时遇到很多问题，主要是：①不便于用MOS工艺直接集成。有源RC滤波器可以用混合集成技术集成，但这种技术与目前的主流集成技术不兼容。目前的主流集成工艺是MOS集成工艺。②体积较大，需占用较大的芯片面积。在MOS工艺中，为了不占用过大的芯片面积，很少能将MOS电容做到大于100pF。③元件的精度不高。用MOS工艺集成电阻和电容时，都会有5％～10％的误差。电路理论与设计6.1.2为什么要研究开关电容网络和开关电流网络

为了克服有源RC滤波器存在的缺点，人们设法在MOS电路中用开关和电容取代电阻。这就产生了开关电容电路。这种取代的意义正如20世纪60年代用有源器件取代电感一样重要，它是电路设计和制造中的又一次革命。用开关和电容取代电阻后，电路的组成只有MOS开关、MOS电容和MOS运放，电路的性能取决定于电容的比值。经过多年的发展，开关电容技术已经成为一种很成熟的技术，它在滤波器中的应用已十分广泛。开关电容滤波器具有很精确的频率响应、好的线性和大的动态范围。这主要是因为开关电容滤波器的精度是由电容的比值决定的，而集成电路中电容的比值可以做得非常精确。在稳定的MOS工艺条件下，虽然电容仍有5％～10％的制造误差，但电容比值的精度可以做到0.01％～0.1％。电路理论与设计6.1.2为什么要研究开关电容网络和开关电流网络

用开关电容技术可以很方便地实现大电阻。用开关和电容代替电阻以后，一个10MΩ的电阻可以用一个0.1pF的电容和切换频率为100kHz的开关代替。用MOS工艺集成实现这样一个等效电阻，大约需要0.01mm2的芯片面积。这大约是直接集成这样一个电阻所需芯片面积的不到百分之一。开关电容滤波器不仅克服了有源RC滤波器不便直接集成的主要缺点，同时还具有MOS电路的许多优点。因而得到了极其广泛的应用。开关电流网络除了具有开关电容网络的优点以外，用这种技术设计的电路的最大优点就是可以用标准的数字CMOS工艺而不是MOS工艺进行生产，而且同样功能的开关电流电路所需的芯片面积比开关电容电路更小，因而生产成本更低。电路理论与设计6.1.2为什么要研究开关电容网络和开关电流网络6.1.3开关电容和开关电流滤波器的分析与设计方法电路理论与设计6.1.3开关电容和开关电流滤波器的分析与设计方法6.1.3开关电容和开关电流滤波器的分析与设计方法

开关电容电路是一种取样数据电路，它不同于有源RC电路。但是它的基本思想还是基于对有源RC电路中电阻R的替换。因此，开关电容和开关电流电路基本的设计方法还是以有源RC电路为基础进行的。

开关电容和开关电流网络的分析方法与有源RC网络的分析方法有很多不同之处。这主要是由于开关电容和开关电流网络中存在周期开闭的开关，所以开关电容和开关电流网络的拓扑是随时间而变化的周期时变网络。因此，对开关电容和开关电流网络的分析是对周期时变网络的分析。而这种网络的分析比非时变网络的分析要困难得多。在需要进行精确分析的场合，通常采用计算机辅助分析。这方面有许多新的分析方法，目前占主流的是改进节点法、状态变量法和等效电路法等。在开关电容和开关电流网络的分析中，对开关电容网络的非理想特性进行分析也是一个重要的研究课题。这种非理想特性通常包括运放的有限增益和带宽，开关有限闭合电阻等。电路理论与设计6.1.3开关电容和开关电流滤波器的分析与设计方法

开关电容和开关电流滤波器的主要设计方法有两类：—类是变换设计法，另一类是直接设计法。变换设计法就是在原来设计的连续时间滤波器的基础上，通过一定的变换，将连续时间滤波器转化为开关电容滤波器。变换法的优点是简单、直观。它的另外一个极其重要的优点就是能够充分应用连续时间滤波器的研究成果来设计取样数据滤波器，从而大大加快了开关电容滤波器的发展。直接设计法是直接从滤波器的z域转移函数出发，以开关电容双二阶基本电路和各种基本单元电路为基础，通过级联法、信号流图等方法直接综合z域转移函数，得到所需要的开关电容滤波器。开关电容和开关电流电路处理的是离散时间信号，所以，这种电路的分析与设计一般都在z域进行。电路理论与设计6.1.3开关电容和开关电流滤波器的分析与设计方法6.1.4开关电容和开关电流网络的应用电路理论与设计6.1.4开关电容和开关电流网络的应用6.1.4开关电容和开关电流网络的应用

开关电容和开关电流网络的应用主要分为滤波领域的应用和非滤波领域的应用两类。其中最重要应用领域就是开关电容和开关电流滤波器。除实现滤波功能外，开关电容和开关电流网络在非滤波领域也获得到了广泛的应用。主要有：开关电容和开关电流A/D转换器、D/A转换器、振荡器、放大器、调制器和锁相环等多种非滤波电路。目前，凡是使用有源RC技术的场合均可以用开关电容和开关电流技术实现。6.2开关电容等效电阻的原理电路理论与设计6.2开关电容等效电阻的原理6.2开关电容等效电阻的原理

开关电容网络是由受时钟控制的开关、电容以及运算放大器组成的网络。其核心是用开关和电容组成的等效电阻去替代实际的电阻。本节主要研究开关电容等效电阻的原理。6.2.1开关电容并联等效电阻电路电路理论与设计6.2.1开关电容并联等效电阻电路6.2.1开关电容并联等效电阻电路1.开关电容并联等效电阻电路用开关和电容组成的与一个实际电阻等效的电路称为开关电容等效电阻电路。开关电容等效电阻电路有多种形式，我们首先讨论开关电容并联等效电阻电路。它的基本电路和等效关系如下图(a)和图(b)所示。它的实际电路如图(c)所示。图中，两个开关K1和K2在实际电路中是两个由时钟脉冲φ1和φ2控制的MOS管T1、T2实现的。电路理论与设计6.2.1开关电容并联等效电阻电路K1K2CV1V2φ1φ2(a)(b)V1T1T2φ1CV2φ2φ2VonVoffVonVofft/Tt/TTφ1(c)(d)开关电容并联等效电阻电路电路理论与设计6.2.1开关电容并联等效电阻电路

在开关电容电路中，对两个时钟脉冲φ1和φ2是有一定要求的。（1）两个时钟脉冲的频率相同，但不能有重叠。这样的两个脉冲称为两相脉冲。要求两相脉冲不能有重叠，是为了保证在任何情况下都不会使图中的两个管子T1和T2同时导通。为了保证两相脉冲不重叠，脉冲的占空比一般小于或等于50％。在以后对开关电容电路的分析中，为了方便，都选占空比等于50％的时钟脉冲进行分析。占空比等于50％的两相时钟脉冲φ1和φ2的波形如上图(d)所示。电路理论与设计6.2.1开关电容并联等效电阻电路

（2）时钟脉冲的频率主要由开关电容电路的精度要求来决定，但是受到电路中运算放大器的建立时间和其他因素的限制，一般为8kHz至256kHz。有些高速运算放大器的建立时间可达微秒数量级，在这种开关电容电路中，开关频率可以取1MHz以上。不过，随着时钟频率的提高，开关电容电路中的电容比值增大，电容所需的芯片面积也随之增大。因此，时钟频率不宜选得太高，只要能使电路的性能指标达到要求就可以了。（3）时钟脉冲的幅度要达到MOS开关管T1、T2所需驱动电压的要求，一般要求大于1伏。电路理论与设计6.2.1开关电容并联等效电阻电路（4）时钟脉冲一般以时间t为横坐标来标定，有时以时间t对时钟周期T的归一化值t/T来标定。在上图(d)中，时钟脉冲的横坐标就是采用这种方法标记的。为了方便，取样数为整数，如φ1为高电平的时间标记为(n－2)，(n－1)，(n)，(n+1)等。标定为(n－1)处，对应的时间为t＝(n－1)T。φ2和φ1差半个周期，φ2为高电平的时间标记为(n－3/2)，(n－1/2)，(n＋1/2)等。（5）在具体分析开关电容电路时，初始时刻的选择都是根据实际需要，以便于分析为原则。不同的电路，可以选择不同的初始时刻进行分析。电路理论与设计6.2.1开关电容并联等效电阻电路2.开关电容并联等效电阻的原理分析(1)在上图(c)中，设初始时刻为t=(n－1)T。这时φ1为高电平，φ2为低电平；MOS管T1导通，T2截止；电压V1通过MOS管T1给电容C充电。C中的电荷为CV1。(2)在t=nT时刻，φ1为低电平，φ2为高电平。这时MOS管T2导通，T1截止。电容C通过MOS管T2放电，C中的电荷为CV2。(3)在从t=(n－1)T到t=nT的一个时钟周期T内，由V1端向V2端传送的电荷为：电路理论与设计6.2.1开关电容并联等效电阻电路若定义平均电流为一个周期T内流动的电荷ΔQ则有：(4)从上式可以看出，V1和V2之间的伏安关系可以等效为一个电阻，其等效电阻如上图(b)所示。等效电阻的阻值为：

上式中，fc是用来控制开关的时钟脉冲的频率。在该电路中，由于电容C和电路的输出端是并联的，所以称为开关电容并联等效电阻电路。从上式可以看出，开关电容等效电阻Req的大小与电容值和时钟频率成反比。电路理论与设计6.2.1开关电容并联等效电阻电路例6.1在上图中，若电容C=10pF，时钟频率fC=100kHz，求等效电阻。解：

这就是说，如果电容取10pF，时钟频率取100kHz，上图所示的电路就等效于一个阻值为1MΩ的电阻。在以上的分析过程中，我们假设电压V1和V2在开关导通时是不变的。实际上只要时钟频率远大于信号频率，这个假设就可以基本满足。电路理论与设计6.2.1开关电容并联等效电阻电路

只有满足这个假设条件，开关电容电路中的电荷传输过程就好象是连续的，电荷传输的过程才能由V1和V2之间流过的连续电流来模拟。

从原理上来讲，这个电流也可以通过在V1和V2之间接入一个实际的电阻R来产生。因此，上图(c)所示的开关电容电路在V1和V2之间传输电荷的效果和在V1和V2之间接入一个实际的电阻R是等效的。也就是说，开关电容电路可以用来实现一个电阻的功能。这就是开关电容等效电阻的原理。电路理论与设计6.2.1开关电容并联等效电阻电路

用开关和电容构成的电路取代电阻，其原理和电路都很简单，但其意义却非常重大。它使我们从传统的模拟电阻的概念下解放出来，能够利用取样数据系统的等效电阻来实现一个实际的模拟电阻的功能，从而使滤波器的集成实现成为可能。除了前面讨论的开关电容并联等效电阻电路外，下面再讨论三种常用的开关电容等效电阻电路。6.2.2开关电容串联等效电阻电路电路理论与设计6.2.2开关电容串联等效电阻电路6.2.2开关电容串联等效电阻电路

开关电容串联等效电阻电路如下图所示。V1T1CT2V2t1t2t1+Tφ1φ2电路理论与设计6.2.2开关电容串联等效电阻电路

求等效电阻的方法和前面一样，可通过以下几步求得：①通过电容的充电回路和放电回路，求电容中的电荷变化量设初始时刻为t1，这时φ1为高电平，φ2为低电平。在这两个信号的作用下，MOS管T1导通，T2截止。电压V1通过MOS管T1给电容C充电。C中的电荷为：

在t2时刻，MOS管T2导通，T1截止。电容C通过MOS管T2放电。C中的电荷为：电路理论与设计6.2.2开关电容串联等效电阻电路电荷变化量为：②求通过电容的平均电流对该电路而言，在一个时钟周期内，平均电流为：③根据欧姆定律求等效电阻的阻值从上式可以看出，V1和V2之间等效电阻的阻值为：

在该电路中，由于电容C和电路的输出端是串联的，所以称为开关电容串联等效电阻电路。6.2.3寄生电容不敏感的开关电容串联等效电阻电路电路理论与设计6.2.3寄生电容不敏感的开关电容串联等效电阻电路6.2.3寄生电容不敏感的开关电容串联等效电阻电路

寄生电容不敏感的开关电容串连等效电阻电路如下图(a)所示。该电路由四个开关和一个电容组成。下面分析它的工作原理。V1φ1φ1φ2φ1φ1t1t2t1+Tφ2T1CT2V2T3T4φ2φ2V1T1CT2V2T3T4φ1φ2(a)(b)(c)电路理论与设计6.2.3寄生电容不敏感的开关电容串联等效电阻电路

在t1时刻，时钟φ1为高电平，MOS管T1、T2闭合，C被充电到

在t2时刻，时钟φ2为高电平，MOS管T2、T4导通，T1、T3截止。电容C通过MOS管T2放电。C中的电荷为：

这样在一个时钟周期内，平均电流为：

从上式可以看出，V1和V2之间等效电阻的阻值为：电路理论与设计6.2.3寄生电容不敏感的开关电容串联等效电阻电路

上图(b)的电路与图(a)电路的结构是一样的。不过，两个电路时钟的配置不同。这两个电路所实现的开关电容等效电阻的阻值的大小也是一样的。只不过图(b)所实现的开关电容等效电阻是负电阻，即R=－1/(fcC)。在开关电容网络设计中经常用改换时钟配置的方法来实现不同功能的电路。上图所示的开关电容电路的一个最大优点是它对电路中的寄生电容不敏感。这对于设计高精度的滤波器是非常重要的。有关这方面的内容还要在后面进行讨论。6.2.4开关电容双线性等效电阻电路电路理论与设计6.2.4开关电容双线性等效电阻电路6.2.4开关电容双线性等效电阻电路

开关电容双线性等效电阻电路如下图所示，该电路也是由四个开关和一个电容组成的。

φ1V1T1T2Cφ1T3T4V2φ1t1t2t1+Tφ2φ2

φ2

上图的电路中，在t1时刻，时钟φ1为高电平，φ2为低电平，MOS开关管T1、T4导通，T2、T3截止。C被充电，电荷为：电路理论与设计6.2.4开关电容双线性等效电阻电路

在t2时刻，时钟φ1为高电平，φ2为低电平，MOS管T2、T3导通，T1、T4截止。电容C先通过MOS管T2、T3放电，然后接着反向充电。C中的电荷为反向充电电荷，其值为：

这样在一个时钟周期内，平均电流为：

从上式可以看出，V1和V2之间的等效电阻阻值为：6.3开关电容积分器6.3.1有源RC积分器和开关电容积分器电路理论与设计6.3.1有源RC积分器和开关电容积分器6.3.1有源RC积分器和开关电容积分器

有源RC积分器是实现有源滤波器最基本的功能块。同样，开关电容积分器是实现开关电容滤波器最基本的功能块。在讨论了开关电容（SC）等效电阻电路以后，自然要研究开关电容积分器。实现开关电容积分器的具体方法是将有源RC积分器中的电阻R用开关电容等效电阻取代，就可以得到开关电容积分器。下图(a)是一个有源RC反相积分器，下图(b)就是用开关电容并联等效电阻实现的一个开关电容反相积分器。两相开关驱动脉冲φ1和φ2采用图(c)所示的脉冲。

电路输出端的右边多画了一个φ1相开关，表明这个积分器后面所接的电路在φ1相脉冲时对积分器的输出电压Vout取样，我们称这样的电路是在φ1相脉冲时输出。C2R1Vin+VoutC2T1T2φ1C1Vinφ2+Voutφ1（a）有源RC积分器

(b)开关电容积分器

上图(a)所示的有源RC反相积分器电路输入和输出之间的关系为：电路理论与设计6.3.1有源RC积分器和开关电容积分器

对上式进行Laplace变换得：

求得电路的转移函数为：

将上图(a)所示的有源RC反相积分器中的电阻R1用开关电容等效电阻替换，所得到的电路如上图(b)所示。为了求该电路的s域转移函数，将开关电容等效电阻值代入上式得到上图(b)所示该电路的转移函数为：电路理论与设计6.3.1有源RC积分器和开关电容积分器

为了求开关电容积分器的频域转移函数，以s=jω代入上式，得：(n+1/2)Tt=nT(n+1)Tφ1φ2(n+3/2)T(n+2)T(c)开关驱动脉冲电路理论与设计6.3.1有源RC积分器和开关电容积分器

从上式可以看出，将上图(a)所示的有源RC反相积分器中的电阻R1用开关电容等效电阻替换，所得到的电路就是一个开关电容反相积分器。当时钟频率fc一定时，开关电容积分器转移函数仅是电容比C1/C2的函数。由于开关电容等效电阻仅是一个近似的关系，所以，上式所示的开关电容积分器s域的转移函数也只是一个近似的转移函数。要得到该积分器精确的转移函数，需要研究电路中所发生的物理过程，根据电路中的电荷平衡关系求出转移函数。电路理论与设计6.3.1有源RC积分器和开关电容积分器6.3.2开关电容积分器的z域转移函数电路理论与设计6.3.2开关电容积分器的z域转移函数6.3.2开关电容积分器的z域转移函数

下面以上图(b)的开关电容反相积分器为例，通过研究电路中所发生的物理过程，从电荷守恒原理出发，推导出该积分器精确的转移函数。分析条件：在以下讨论中，均假设电路中的运放和开关都是理想的。也就是假设电路中开关导通时的电阻为0，因此电容的充放电过程都是在开关导通的瞬间完成的。分析方法：设初始时刻电容C1、C2上的电压为零，初始电荷为零，开关脉冲的周期为T。由于电路的状态每间隔T/2变化一次，我们每间隔T/2分析一次电路的工作状态。电路理论与设计6.3.2开关电容积分器的z域转移函数

当t=nT时，φ1为高电平，φ2为低电平。φ1使T1导通，φ2使T2截止。输入电压Vin通过T1对电容C1充电，而运算放大器被隔离。此时的等效电路图如下图所示。C2T1T2C1Vin(nT)+Vout(nT)电路的输出电压为电路理论与设计6.3.2开关电容积分器的z域转移函数

经过半个时钟周期之后，在t=(n+1/2)T时刻，φ1为低电平，φ2为高电平。φ1使T1截止，φ2使T2导通，C1与运放的反相输入端相连通。由于运放的反相输入端为虚地，C1经运放的虚地端放电。此时的等效电路图如下图所示。C2

T1T2C1Vin（nT+T/2）+Vout（nT+T/2）电路理论与设计6.3.2开关电容积分器的z域转移函数

由于理想运放的输入电流为零，所以C1的放电电流就流过C2。由于电路中的电阻为零，于是电容C1的电荷瞬间传给电容C2。也就是说，C2中现在的电荷C2Vout[(n+1/2)T]是C2中原来的电荷与C1中原来的电荷之代数和C2Vout(nT)－

C1Vin(nT)。在φ2的高电平结束时的电荷关系可表示为：

需要注意的是，当输入电压Vin为正时就会在C2两端产生一个负的电压。所以，C2中原来的电荷与C1中的电荷是相减的。电路理论与设计6.3.2开关电容积分器的z域转移函数

由于t=nT时电路的输出电压Vout(nT)=0，所以C2中的实际电荷为：电路的输出电压为：

由上式的差分方程可以看出，该电路是一个积分器。式中的负号表示该积分器是一个反相积分器。电路理论与设计6.3.2开关电容积分器的z域转移函数

再经过半个时钟周期之后，从t=(n+1)T时刻开始，电路重复以前的工作过程。所不同的是，电容C1上的初始电压不再为零。具体过程是：

φ1使T1再一次导通，C1充电。φ2使T2再一次截止。一旦φ2使T2再一次截止，C2中的电荷就保持不变直到下一个周期φ2再次上升为高电平。所以，在t=(n+1)T时，C2中的电荷C2Vout[(n+1)T]与(n+1/2)T时刻C2中的电荷C2Vout[(n+1/2)T]相等，没有电荷传给C2，即：电路理论与设计6.3.2开关电容积分器的z域转移函数于是有：

将上式两端同除以C2，并使用离散时间变量Vi(n)=Vin(nT)和Vo(n)=Vout(nT)，可得到6.3.1中图(b)所示开关电容积分器电路的电压关系为：对上式取拉氏变换得：可得到开关电容积分器电路的Z域转换函数为：电路理论与设计6.3.2开关电容积分器的z域转移函数

一般情况下，转移函数z的负幂都要消去，因此，上式通常表示为：

由上面的分析可知，该电路总是在φ1为高电平时对输入电压Vin取样，输出电压Vout

也在φ1为高电平时输出。输入电压Vin经过一个时钟周期后传到输出端。其中，转移函数H的上标11表示电路的输入在φ1控制时取样，在φ1控制时输出。电路理论与设计6.3.2开关电容积分器的z域转移函数

需要注意的是，当输入电压为Vin为正时，就在C2两端产生一个负的电压，从而使积分器产生一个负的输出。所以，该积分器是一个反相积分器。上式中的负号就说明该积分器是一个反相积分器。积分器的增益为－C1/C2。如果电路在φ2为高电平时输出，则输入电压Vin经过半个时钟周期后传到输出端。电路的输出为：电路在φ2为高电平时输出的转移函数为：电路理论与设计6.3.2开关电容积分器的z域转移函数

需要注意的是，当输入电压Vin为正时，就在C2两端产生一个负的电压，从而使积分器产生一个负的输出。所以，该积分器是一个反相积分器。上式中的负号就说明该积分器是一个反相积分器。积分器的增益为－C1/C2。如果电路在φ2为高电平时输出，则输入电压Vin经过半个时钟周期后传到输出端。电路的输出为：电路在φ2为高电平时输出的转移函数为：

其中，上标21表示电路的输入在φ1为高电平时取样，在φ2相为高电平时输出。电路理论与设计6.3.2开关电容积分器的z域转移函数

设电路的输入电压为1V，输出在φ2相取样，则电路的输出波形如下图所示：t=nT(n+1)T(n+1/2)T(n+3/2)T(n+2)TVinVout1Vtt00有源RC积分器的理想积分曲线开关电容积分器的积分曲线6.3.3开关电容积分器的频域转移函数电路理论与设计6.3.3开关电容积分器的频域转移函数6.3.3开关电容积分器的频域转移函数

令z=eјωT，可以得到相应的开关电容积分器的频域转移函数为：电路理论与设计6.3.3开关电容积分器的频域转移函数

在ω<<1的条件下，即时钟频率比信号频率高得多的情况下，ejωT可用Taylor级数展开为：

将ejωT的Taylor级数展开代入，忽略高次项可得：电路理论与设计6.3.3开关电容积分器的频域转移函数例6.2试证明在信号频率f远小于开关时钟频率fc的条件下，6.3.1中图(b)所示的开关电容积分器电路的Z域转移函数与连续时间信号的转移函数式近似相等。解：电路的Z域转移函数转移函数H(z)可表示为：为了计算上式的频率相应，可利用如下关系：电路理论与设计6.3.3开关电容积分器的频域转移函数于是有

上式分子中的z-1/2只表示取样的延迟，可以忽略。于是，该转移函数近似等于一个增益常数为(－C1/C2)的连续时间积分器的转移函数。则6.3.4寄生电容对开关电容积分器的影响电路理论与设计6.3.4寄生电容对开关电容积分器的影响6.3.4寄生电容对开关电容积分器的影响

下面分析开关电容电路中的寄生电容对电路转移函数的影响，主要讨论寄生电容对开关电容积分器的影响。开关电容积分器中的寄生电容如下图中虚线部分所示。

+φ1Cp3Cp4C2C1VinVout

Cp1

Cp2T1T2电路理论与设计6.3.4寄生电容对开关电容积分器的影响

上图中Cp1代表由电容器C1顶板产生的寄生电容以及两个开关管T1和T2产生的非线性寄生电容。Cp2代表电容器C1底板的寄生电容，Cp3代表电容器C2的顶板产生的寄生电容、运放的输入电容和开关管T2的电容。Cp4代表电容器C2的底板产生的寄生电容以及运放输出端接的负载电容。电路理论与设计6.3.4寄生电容对开关电容积分器的影响

仔细考察各个寄生电容，我们看到，Cp2的两端总是接地的，Cp3总是接在虚地和地之间，所以它们的充放电过程对电路的工作没有影响。Cp4接在运放的输出端，它对运放的工作速度有影响，但不影响运放的输出。然而，因为寄生电容Cp1和开关电容C1是并联的，因而它影响电路的转移函数。考虑Cp1的影响以后电路的转移函数为：

由上式可以看出，积分器的增益系数与寄生电容Cp1有关。为了克服Cp1的影响，就要采用寄生电容不敏感的积分器。6.4寄生电容不敏感的开关电容积分器电路理论与设计6.4寄生电容不敏感的开关电容积分器

前面在讨论寄生电容对开关电容积分器的影响时看到，开关电容反相积分器的寄生电容对电路特性的影响较大，也就是说这种电路对寄生电容是敏感的。在实际应用中，总是希望采用对寄生电容不敏感的开关电容积分器，从而减小寄生电容对电路性能的影响。从开关电容积分器的组成原理我们知道，如果用前面导出的任一种开关电容等效电阻取代有源积分器中的电阻，都可以构成开关电容积分器，从这样实现的开关电容积分器中可以筛选出一些对寄生电容不敏感的电路。下面介绍几种常用的对寄生电容不敏感积分器。6.4寄生电容不敏感的开关电容积分器6.4.1对寄生电容不敏感的开关电容反相积分器电路理论与设计

6.4.1对寄生电容不敏感的开关电容反相积分器6.4.1对寄生电容不敏感的开关电容反相积分器1.电路下图是一个反相开关电容积分器。它是由寄生电容不敏感的开关电容串连等效电阻电路取代有源RC反相积分器中的电阻而组成的。该积分器的优点是对寄生电容不敏感。nT-TnTnT-T/2φ1φ2ViVoφ1T1T2φ2

φ2C2φ1φ1

T5C1T3T4电路理论与设计

6.4.1对寄生电容不敏感的开关电容反相积分器2.转移函数由于该积分器的输入端的MOS管T1是由φ1相时钟控制的，所以该积分器总是在φ1时钟为高电平时对输入信号Vi进行取样。该积分器的转移函数只与下一级电路对该积分器输出电压的取样时刻有关，即与MOS管T5的控制脉冲是φ1还是φ2有关。下面分析当T5的控制脉冲的相位是φ1时（如上图所示），该积分器的转移函数。电路理论与设计

6.4.1对寄生电容不敏感的开关电容反相积分器

在(nT－T/2)时刻，φ2时钟为高电平。由φ2时钟控制的MOS开关管T3、T4导通，使电容C1中的电荷放电至零。这时，由于T2没有导通，电容C2中的电荷保持不变，为CVo(nT－T)。电荷平衡方程为：

在(nT)时刻，φ1时钟为高电平。由它控制的MOS开关管T1、T2导通。C1被充电到Vi，C1的充电电流也流过C2，影响C2中的电荷。当φ1的高电平快结束的时候，C2中的电荷量C2Vo(nT)等于φ1还没有达到高电平时的值C2Vo(nT-T/2)减去φ1为高电平时C1被充的电荷C1Vi(nT)。电路理论与设计

6.4.1对寄生电容不敏感的开关电容反相积分器电荷方程如下：

注意，在上式中，C1中的电荷为C1Vi(nT)而不是C1Vi(nT-T)。这是因为在φ1高电平之前C2中的电荷与该时刻的输入电压Vi(nT)有关，所以该积分器的输出和输入之间没有延时。将上述两式整理，采用离散时间变量，得：电路理论与设计

6.4.1对寄生电容不敏感的开关电容反相积分器

对上式两端取z变换，得到寄生电容不敏感的反相积分器的z域转移函数为：

上式的分子为纯实数，说明该积分器没有延迟。该式常表示为：

用同样的分析方法可以得到输出端在φ2相取样时该积分器的转移函数为：电路理论与设计

6.4.1对寄生电容不敏感的开关电容反相积分器3.寄生电容的影响为了分析寄生电容不敏感的积分器的特性，考虑积分器的寄生电容如下图所示。Cp3Cp4ViVoφ1T1T2φ2

φ2C2φ1φ1

T5Cp1Cp2C1T3T4nT-TnTnT-T/2φ1φ2寄生电容对开关电容反相积分器的影响电路理论与设计

6.4.1对寄生电容不敏感的开关电容反相积分器

下面分别分析几个寄生电容对该积分器的影响：

Cp3：总是接在虚地和地之间，所以它们对电路的工作没有影响；

Cp4：接在运放的输出端和地之间，它对运放的工作速度有影响，但不影响运放的输出；

Cp1：当φ1为高电平时，Cp1和C1同时被充电到Vi而不影响C1中的电荷。当φ2为高电平时，Cp1被开关管T3短路放电，它的放电电流不会通过C1而影响C2中的电荷积累。所以它也不影响积分器的工作。电路理论与设计

6.4.1对寄生电容不敏感的开关电容反相积分器Cp2：要么通过开关管T4接地，要么是通过T2接运放的虚地端，所以它也不影响积分器的工作；总之，上图中所有的寄生电容会影响积分器的建立时间，但不影响离散时间的差分方程，从而不影响积分器的工作。所以该开关电容积分器是一个寄生电容不敏感的积分器。又由于它的输出和输入的相位是相反的，所以称为寄生电容不敏感的开关电容反相积分器。电路理论与设计

6.4.1对寄生电容不敏感的开关电容反相积分器

由上面的分析可以看到，如何判断一个开关电容电路是对寄生电容不敏感的电路？具体方法是：如果一个寄生电容在开关切换时无充放电作用，则该电容不影响电路的工作。如果一个寄生电容在开关切换时有充放电作用，但该寄生电容是并接在电压源、运放输入端或地之间，则该电容不参与电荷的传输过程，从而不影响电路的工作。如果一个开关电容电路中的所有寄生电容都不影响电路的工作，则该电路是对寄生电容不敏感电路。6.4.2对寄生电容不敏感的开关电容同相积分器电路理论与设计

6.4.2对寄生电容不敏感的开关电容同相积分器6.4.2对寄生电容不敏感的开关电容同相积分器1.电路前面介绍了寄生电容不敏感的开关电容反相积分器，对开关控制信号进行适当的变化，就可以得到寄生电容不敏感的开关电容同相积分器，如下图所示。就电路结构而言，这两个积分器是完全一样的，只是时钟的配置不同。在开关电容网络设计中经常用改换时钟配置的方法来实现不同功能的电路。电路理论与设计

6.4.2对寄生电容不敏感的开关电容同相积分器2.转移函数在(nT－T)时刻，时钟φ1为高电平。由φ1时钟控制的MOS开关管T1、T4导通，使电容C1被充电至C1Vi(nT－T)，电容C2中的电荷为C2Vo(nT－T)。nT-TnTnT-T/2φ1φ2ViVoφ1T1T2φ2

φ1C2φ2φ1

T5C1T3T4对寄生电容不敏感的开关电容同相积分器电路理论与设计

6.4.2对寄生电容不敏感的开关电容同相积分器

在(nT－T/2)时刻，时钟φ2为高电平。由φ2时钟控制的MOS开关管T2、T3导通，使电容C1向电容C2反向充电，由于电容C1接在虚地和地之间，它上面的电荷为零。电容C2中的电荷为C2Vo(nT－T/2)。电荷守恒方程为：

在(nT－T)时刻，运放的输出电压值V0(nT-T)与前半个周期(nT-T-T/2)时刻输出电压值Vo(nT－T－T/2)一样。即电路理论与设计

6.4.2对寄生电容不敏感的开关电容同相积分器将上述两式整理，得电荷守恒方程为：

在nT时刻，输入电压又向C1充电，而输出Vo维持不变，即相应的z变换为：经整理可求得转移函数为：6.4.3对寄生电容不敏感的开关电容阻尼积分器电路理论与设计

6.4.3对寄生电容不敏感的开关电容阻尼积分器6.4.3对寄生电容不敏感的开关电容阻尼积分器1.电路有源RC阻尼积分器如下图(a)所示。它的转移函数是：

φ2R2VinT-TnTnT-T/2φ1φ2+CR1Vo+CT1T2φ1α1CViVoφ1φ2T3T4α2C（a）有源RC阻尼积分器

(b)开关电容阻尼积分器

(c)时钟信号其中，R1/R2代表阻尼项。电路理论与设计

6.4.3对寄生电容不敏感的开关电容阻尼积分器

将图中的电阻用开关电容等效电阻取代，则可以得到开关电容阻尼积分器。由于开关电容等效电阻有多种形式，所以开关电容阻尼积分器也有多种形式。用开关电容并联电阻取代上图(a)中的电阻，可以得到上图(b)所示的开关电容阻尼积分器。2.转移函数在(nT－T)时刻，由φ1时钟控制的MOS开关管T1、T4导通，使电容α1C被充电至α1CVi(nT－T)，电容C中的电荷为CVo(nT－T)。电容α2C被充电至α2CVo(nT－T)。电路理论与设计

6.4.3对寄生电容不敏感的开关电容阻尼积分器

在(nT－T/2)时刻，由φ2时钟控制的MOS开关管T2、T3闭合，C中的电荷为：

由上图可以看到，由于开关管T4由φ1时钟控制，于是有：整理得：

在(nT)时刻，由φ1时钟控制的MOS管T1、T4重新导通，电荷守恒方程为：电路理论与设计

6.4.3对寄生电容不敏感的开关电容阻尼积分器对上式取z变换，并整理可求得转移函数为：

可以看出，上图(b)实现的是一个反相阻尼积分器电路。上式分母中的α2z-1项代表由电容α2C和MOS管T3、T4组成的开关电容等效电阻所产生的阻尼作用。

很明显，该积分器是一个寄生电容敏感的阻尼积分器。寄生电容不敏感的反相阻尼积分器电路如下图所示。电路理论与设计

6.4.3对寄生电容不敏感的开关电容阻尼积分器

φ1

φ1

+CVoVi

φ1T1T2

φ2

φ2α1CT3T4T5T6

φ2

φ2T7T8α2C

φ1

对寄生电容不敏感的开关电容阻尼积分器6.5开关电容积分器的信号流图分析电路理论与设计6.5开关电容积分器的信号流图分析6.5开关电容积分器的信号流图分析

从前面的研究可以清楚地看到，利用列写一个开关电容电路电荷平衡方程的方法研究开关电容网络的优点是概念清楚，其缺点是分析过程比较麻烦。特别是对于比较复杂的电路更是如此。实际上我们也可以不用列电荷平衡方程的方法，而通过一些规律用信号流图的方法来分析和研究开关电容电路。为了研究信号流图的方法，考虑下图所示的三输入端相加积分器电路。根据叠加原理可知，以Vi1(z)作为输入信号而其他两个输入信号Vi2(z)和Vi3(z)都为零时时，其输入－输出关系为简单的反相比例关系。电路理论与设计6.5开关电容积分器的信号流图分析C1+CA

Vo(z)T6

φ1T5φ2φ2T7T8φ1Vi1φ1T1φ2φ1C2T3T4φ2Vi2Vi3C3φ1

T5T2三输入开关电容相加/积分器

该电路通过比例因子(C1/CA)对电平进行调整，当(C1/CA)>1时，电路具有放大的作用；当(C1/CA)<1时，电路具有衰减信号的作用。其输出为：电路理论与设计6.5开关电容积分器的信号流图分析

当Vi2(z)单独作为输入信号而其他两个输入信号Vi1(z)和Vi3(z)都为零时，该电路的输入－输出的关系为同相积分器。其输出为：

当Vi3(z)单独作为输入信号而其他两个输入信号Vi1(z)和Vi2(z)都为零时，该电路的输入－输出的关系为反相积分器。其输出为：

因为电路的右端有一个φ1相的开关T5，所以以上三个输出都在φ1为高电平时取样。电路理论与设计6.5开关电容积分器的信号流图分析

根据上述三式，利用叠加原理可得上图电路的输出电压V0(z)为：该式的电压关系可以利用下图的信号流图表示。+电路理论与设计6.5开关电容积分器的信号流图分析

可以看出，电路中与运放有关的部分在信号流图中用方框图(1/CA)[1/(1－z-1)]表示。电路的三个不同输入支路在信号流图中用三个不同的因子表示。对于包含电容C1的输入支路，其增益因子为－C1(1－z-1)。对于有延迟的开关电容C2输入支路，其增益因子为C2z-1。对于没有延迟的开关电容C3输入支路，其增益因子为－C3。一般情况下，转移函数z的负幂都要消去，因此，上式的转移函数通常写成以下形式：电路理论与设计6.5开关电容积分器的信号流图分析

上图是开关电容的典型电路。根据上述的电路图和信号流图以及上述式子的对应关系，就可以不用写电荷平衡方程，直接写出相应电路的转移函数，以简化对一般的开关电容电路进行分析。例6.3求下图所示电路的转移函数。

φ1

φ1

+

C3

VoVi

φ1T1T2φ2

φ2

C1T3T4T5T6φ2

φ2T7T8

C2

φ1电路理论与设计6.5开关电容积分器的信号流图分析

解：我们可以把该电路看成是一个具有两输入端的积分器：第一个输入是Vi，它通过开关电容C1加到运放的反相输入端；第二个输入是Vo，它通过开关电容C2加到运放的反相输入端。根据该电路和上述的信号流图以及上述转移函数表达式的对应关系，就可以得到该电路的输出为：合并Vo项，可以求得该电路的转移函数为：电路理论与设计6.5开关电容积分器的信号流图分析

由此可以看出，该电路是一个反相阻尼积分器电路。其中，(C2/C3)是阻尼项。从电路结构看，由于该电路的输入支路和反馈支路中的开关电容电路都产生等效的正电阻，它们和运算放大器以及电容一起组成反相阻尼积分器电路。6.6一阶开关电容滤波器的分析与设计6.6.1离散时间滤波器的频率响应电路理论与设计6.6.1离散时间滤波器的频率响应6.6.1离散时间滤波器的频率响应

为了设计开关电容滤波器，需要了解离散时间滤波器的频率响应。离散时间滤波器的转移函数H(z)与连续时间滤波器的转移函数H(s)很相似，只不过H(z)是离散复频率z的多项式，而H(s)是复频率s的多项式。例如，一个低通连续时间滤波器的转移函数为：

该滤波器的极点位于s平面的1.0±ј1.7321处，两个零点位于s平面的∞处，如下图(a)所示。电路理论与设计6.6.1离散时间滤波器的频率响应

为了研究该滤波器的频率响应，需要将s=jω代入上式以求得它的幅频特性和相频特性。这相当于沿s平面的整个jω轴去考察转移函数H(s)。×s平面×××-1z平面(a)(b)

s平面和z平面的频率映射

电路理论与设计6.6.1离散时间滤波器的频率响应又例如，一个低通离散时间滤波器的转移函数为：

该滤波器的极点位于z平面的0.8±j0.1处，两个零点位于z平面的∞处，如上图(b)所示。为了研究该滤波器的频率响应，需要将z=eјω代入上式以求得它的幅频特性和相频特性。这相当于沿z平面的整个单位圆去考察转移函数H(z)。注意，z=0处的零点或极点都不影响H(z)的幅度响应，而只影响H(z)的相位。这是因为从原点到单位圆上的长度总是1。电路理论与设计6.6.1离散时间滤波器的频率响应

从上图(b)可以看到，在离散时间域，z=1相应于ω=0和ω=2π处的频率响应。z域的频率响应是以2π为周期重复的。

例6.4已知一个一阶开关电容滤波器的转移函数如上式所示，取样率fc=100kHz。求频率为0Hz，100Hz，1kHz，10kHz，50kHz，90kHz和100kHz时转移函数的幅度。解：（1）为了求频率为0Hz，100Hz，1kHz，10kHz，50kHz，90kHz和100kHz时转移函数的幅度，首先需要求出这些频率在z平面的对应值。电路理论与设计6.6.1离散时间滤波器的频率响应

因为fc=100kHz对应于z平面上的2π，于是f=50kHz对应于z平面上的(f/fs)×2π=(50/100)×2π=π。依次类推，其计算结果如下表中所示。频率(kHz)Z=X+jY|H(z)|00.11105090100ej0ej0.002πej0.02πej0.2πejπej1.8πej2π1.0+j0.00.9999803+j0.006283140.9980267+j0.062790520.809+j0.5878-1.0+j0.00.809-j0.58781.0+j0.01.00.99970.9680.1490.01540.1491.0电路理论与设计6.6.1离散时间滤波器的频率响应（2）将上述频率在z平面的对应值化成复数的表示形式，代入上式，即可求得对应于该频率的转移函数的幅值。

例如，

时，则

可求得：电路理论与设计6.6.1离散时间滤波器的频率响应由上表可见：（1）在f=0Hz和f=100kHz时，H(z)的值是相同的。这是因为它们在z平面上的位置是相同的。（2）在f=10kHz和f=90kHz时，H(z)的值是相同的。这是因为它们在z平面上的位置是共轭的。（3）最小增益发生在f=50kHz=fc/2即z=-1处。（4）最大增益发生在f=0Hz和f=100kHz即z=1处。6.6.2开关电容滤波器的设计方法电路理论与设计6.6.2开关电容滤波器的设计方法6.6.2开关电容滤波器的设计方法

开关电容滤波器的设计可分为变换设计法和直接设计法两种。所谓变换设计法就是首先根据满足滤波要求的s域转移函数H(s)设计出s域滤波器的电路。再根据s域到z域的变换关系，将s域滤波器变换为z域的滤波器，从而实现开关电容滤波器。s域与z域的变换关系有多种，最基本的变换方法就是开关电容等效电阻的方法。另外还有更严格的变换方法如双线性变换法、LDI变换法等等。电路理论与设计6.6.2开关电容滤波器的设计方法

所谓直接设计法就是首先设计出符合要求的s域滤波器的转移函数H(s)，再将s域的转移函数H(s)变换为z域的转移函数H(z)。然后利用开关电容基本模块电路通过级联法、信号流图法等方法对H(z)直接进行综合，实现开关电容滤波器。电路理论与设计6.6.2开关电容滤波器的设计方法变换设计法主要有以下几种：（1）用开关电容等效电阻概念设计开关电容滤波器在本章的开始，介绍了开关电容与电阻等效的概念。利用开关电容等效电阻电路，可以直接将有源或无源RC网络中的电阻R用开关电容等效电阻取代，从而得到开关电容滤波器。这是开关电容滤波器设计中最方便、最直观的方法。由于有源RC滤波器已比较成熟，各种有效的有源电路都可以被转换为开关电容电路。这种设计方法适用于一般对精度要求不高的滤波器设计。但对于精度要求高的滤波器设计，就要考虑这种设计方法所产生的误差，采用更严格的变换方法如双线性变换法、LDI变换法等方法进行设计。电路理论与设计6.6.2开关电容滤波器的设计方法（2）用双线性变换法设计开关电容滤波器当有了滤波器s域的转移函数H(s)或已经设计好了连续时间滤波器以后，就可以通过某种变换将s域的转移函数H(s)变换为z域的转移函数H(z)，或者将连续时间滤波器变换为开关电容滤波器。实现s域到z域的变换必须满足以下条件：第一，变换到z域的滤波器的稳态响应特性与原s域滤波器的稳态响应特性一致。该条件用s域和z域的映射关系可以描述为：s平面上的虚轴映射为z平面上的单位圆上。第二，变换到z域的滤波器特性仍然是稳定的。该条件用s域和z域的映射关系可以描述为：s平面左半平面映射到z平面单位圆内。电路理论与设计6.6.2开关电容滤波器的设计方法

实现由模拟域到离散域的各种变换中，双线性变换是能够满足上述两个条件的变换。双线性变换的关系如下：设H(s)是s域转移函数。通过将H(s)中的s用下面的式子进行代换，就可以将s域的转移函数H(s)变换为相应的z域转移函数H(z)：这种变换称为双线性变换。它的反变换为：

由于上述两式都是线性分式变换，而且这种变换是双向的，所以称为双线性变换。电路理论与设计6.6.2开关电容滤波器的设计方法

双线性变换是一种非线性变换。双线性变换中连续时间滤波器的角频率（变换前的角频率）Ω与离散域的角频率（变换后的角频率）ω之间的非线性关系为：双线性变换中Ω与ω的关系如下图所示。ωΩ－ππ

可见，双线性变换不是线性变换，而是非线性变换。它使得频率轴发生畸变。电路理论与设计6.6.2开关电容滤波器的设计方法

双线性变换具有一一对应的函数关系，即z平面上的每一点恰好与s平面上的一个点对应，反之也是这样。这种唯一性的结果，使得双线性变换法不会产生混迭效应，并且完全保留了连续时间滤波器的频率特性和稳定性。这是双线性变换的优点。但是，在双线性变换中，模拟频率与数字频率之间不是线性关系，它使得频率轴发生畸变，这是双线性变换的缺点。因此，在高精度的滤波器设计中，需要首先对连续时间滤波器的频率特性进行预畸变，然后按照这样的畸变特性设计连续时间滤波器，最后再将连续时间滤波器变换为开关电容滤波器。利用双线性变换的基本原理，可以导出基本电路元件电阻、电感、电容和LC并联谐振回路的SC双线性模型。通过将连续模拟滤波器中的这些元件用相应的SC模型取代，从而得到SC滤波器。这就是双线性设计法。电路理论与设计6.6.2开关电容滤波器的设计方法（3）用LDI变换法设计开关电容滤波器采用双线性变换法设计的开关电容滤波器在具体集成实现时会遇到一些实际问题。如当时钟频率较高时，电容值太小、电容的比值偏大。另外，用双线性变换法设计出的开关电容滤波器的寄生电容比较大，影响滤波器的性能。采用LDI变换设计的开关电容滤波器能保持原连续时间滤波器的特性，具有较低的灵敏度和较合适的电容比值。电路理论与设计6.6.2开关电容滤波器的设计方法LDI变换的关系如下：设H(s)是s域转移函数。通过将H(s)中的s用下面的式子进行代换，就可以将s域的转移函数H(s)变换为相应的z域转移函数H(z)：

这种变换称为无耗离散积分器变换，简称LDI双线性变换。

LDI变换也是非线性变换。它也使得频率轴发生畸变。LDI变换中连续时间滤波器的角频率Ω与离散域开关电容滤波器的角频率ω之间的非线性关系为：电路理论与设计6.6.2开关电容滤波器的设计方法

在高精度的滤波器设计中也需要根据上式对频率进行预畸变，求出连续域的频率特性，然后按这些要求设计连续时间滤波器，最后再将连续时间滤波器变换为开关电容滤波器。（4）用梯形网络工作模拟法设计开关电容滤波器双端接载的LC梯形滤波器具有较低的灵敏度。所以设计者常常以LC梯形滤波器作为原型滤波器，然后通过对梯形网络工作模拟的方法设计和实现开关电容滤波器。具体设计方法和步骤与有源RC滤波器的相似。6.6.3一阶开关电容滤波器的分析与设计电路理论与设计6.6.3一阶开关电容滤波器的分析与设计6.6.3一阶开关电容滤波器的分析与设计

从开关电容等效电路的原理我们知道，一个电阻可以用一个开关电容等效电路实现。根据这样的等效关系，我们可以将一个有源RC滤波器转换成一个相应的开关电容滤波器。这样得到的开关电容滤波器在信号频率远低于开关的时钟频率时，其滤波特性与相应的有源RC滤波器的特性相近。下面以下图所示的一阶有源RC滤波器为例，说明如何使用开关电容等效电路的方法设计开关电容滤波器。电路理论与设计6.6.3一阶开关电容滤波器的分析与设计R3Vi(s)+CAR2Vo(s)C1一阶有源RC滤波器

为了得到与上图具有相同频率特性的开关电容滤波器，可将其中的电阻用与之等效的开关电容电路替换，电容CA保持不变。这样得到的一阶开关电容滤波器和相应的信号流图分别如下图(a)和图(b)所示。电路理论与设计6.6.3一阶开关电容滤波器的分析与设计Vi(z)φ1φ1

φ1φ1+CAVo(z)φ2

φ2C2φ2

φ2C3C1φ1+（a）一阶开关电容滤波器（b）对应的信号流图根据信号流图可写出电路的方程如下：电路理论与设计6.6.3一阶开关电容滤波器的分析与设计该电路实现的Z域转移函数为：令上式分母等于零，可求得极点为：若令分子等于零，可求得零点为：电路理论与设计6.6.3一阶开关电容滤波器的分析与设计

下面通过一个例题来说明如何采用双线性变换法设计开关电容滤波器。例6.5已知上图所示的一阶开关电容滤波器的3dB频率为10kHz，在频率为50kHz处的增益为0，直流增益为1。设时钟频率为100kHz，积分电容CA=10pF，采用双线性变换来设计开关电容滤波器。解：(1)求z域转移函数H(z)

该滤波器在频率为50kHz处的增益为0，也就是s域有一个零点位于50kHz处。由于时钟频率为100kHz，则对应的z域有一个零点位于z=-1处。电路理论与设计6.6.3一阶开关电容滤波器的分析与设计

为了采用双线性变换来设计开关电容滤波器，需要对相应的s域频率参数进行预畸变。3dB频率为10kHz，即ω=0.2πrad/s。该频率预畸变为：

于是，满足题目设计要求的连续时间滤波器的性能参数为：3dB频率为0.3249弧度/秒，零点位于∞处。极点频率为

连续时间域的极点频率通过双线性变换变为z域的极点为：电路理论与设计6.6.3一阶开关电容滤波器的分析与设计于是得到该滤波器的离散转移函数为：

其中，k可根据题目给出的条件直流增益等于1求出，k=0.24525。H(z)变为：(2)求滤波器的元件值采用上图(a)的电路，设CA=10pF。可求得各电容的值为：6.7二阶开关电容滤波器的分析与设计电路理论与设计6.7二阶开关电容滤波器的分析与设计6.7二阶开关电容滤波器的分析与设计

本节介绍开关电容滤波器的直接设计法。就是直接综合滤波器z域转移函数的方法。重点介绍开关电容双二次型滤波器。因为任何高阶滤波器都可以由双二次型滤波器经过级联实现。与一阶滤波器一样，开关电容双二次型滤波器的结构也可以通过模拟连续时间滤波器结构的方法获得。得到开关电容双二次型滤波器的基本结构以后，其精确的频率响应可以通过离散时间信号流图获得。双二次型开关电容滤波器的基本电路结构有两种。一种适合于低Q电路的设计，称为低Q双二次型开关电容滤波电路结构。另一种适合于高Q电路的设计。称为高Q双二次型开关电容滤波电路结构。6.7.1低Q双二次型开关电容滤波器电路理论与设计6.7.1低Q双二次型开关电容滤波器6.7.1低Q双二次型开关电容滤波器1.低Q双二次型开关电容滤波器的电路结构一般的双二次型滤波器的s域转移函数的形式为

其中，ω0为极点频率，Q是极点Q值。k0、k1、k2是用来确定转移函数零点的系数。上式也可表示为：电路理论与设计6.7.1低Q双二次型开关电容滤波器

上式可以表示成以下两个基于积分器的方程：

上式所对应的信号流图如下图所示。Vin(s)Vout(s)k1+k2s+-1/sk0/ω0+-ω0-1/sω0/Qω0Vc1(s)电路理论与设计6.7.1低Q双二次型开关电容滤波器

与上图所示连续时间双二次型滤波器的信号流图对应的有源RC电路如下图所示。注意，图中有负电阻(－1/ω0)。为了方便，电容CA和CB设为单位1。Vin(s)+CA=1k0/ω0Vout(s)+-1/ω01/k1k2CB=1Q/ω0