黑龙江省齐齐哈尔市龙江县九年级上学期期末数学试题解析版

九年级上学期期末数学试题一、单选题1．已知关于

的方程的一个根为，则实数

的值为A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．“学习强国”APP

是一款提供优质学习资源的客户端应用，下面是应用内的几个子频道图标，其中图案是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．）把抛物线

y＝x2向右平移

1

个单位长度，再向上平移

3

个单位长度，得到的抛物线解析式是（A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3如图，已知⊙O

的直径 ， 是⊙O

的弦， ，垂足为 ， ，则 的长为（ ）A．2 B．5．下列事件中是必然事件的是( )C．4D．小明买一张体育彩票中奖某人的体温是

100

℃抛掷一枚骰子朝上的面的点数是偶数D．我们小组的十三位同学中至少有两位同学是同月出生的6．关于

x

的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0

有两个不相等的实数根，则

k

的取值范围是（）A．k＞﹣3B．k＜3C．k＜3且

k≠0 D．k＞﹣3且

k≠07．2019

年

12

月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病．感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠”初期，有

1

人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有

144

人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了( )A．10人 B．11人 C．12

人8．如图，四边形

ADBC

内接于⊙O，∠AOB＝122°，则∠ACB

等于（D．13

人）A．131°B．119°C．122°绕 的锐角顶点，则旋转角是（ ）D．58°9．如图，将含有、 相交于点锐角的三角板逆时针旋转一个角度到，若，A． B． C． D．10．对称轴为直线

x＝1的抛物线

y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且

a≠0）如图所示，现有结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③3a＋c＞0，④ac﹣bc＋c2＜0，其中结论正确的有（ ）A．1

个B．2

个C．3

个D．4

个二、填空题点 和点 关于原点对称，则

．若方程

ax2+2x-1=2x2

是关于

x

的一元二次方程，则

a

的取值范围是

．将圆心角为 的扇形围成底面圆的半径为 的圆锥，则圆锥的母线长为

．如图，PA、PB

分别与⊙O相切于点

A、B，直线

EF

与⊙O相切于点

C，分别交

PA、PB于

E、F，且

PA＝8cm，则△PEF的周长为

cm．15．如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是

.（结果保留）16．如图，已知正方形， ，则，将边 绕点 顺时针旋转

45°，得到线段的长为

．，连接、17．如图，在平面直角坐标系中，边长为

1

个单位长度的正六边形

ABCDEF

的对角线

AD

在

x

轴上，AO＝DO，将该正六边形绕原点

O

逆时针旋转，第

1

次与原正六边形重合时，点

A

落在原正六边形的顶点

B

处，三、解答题18．计算：（π﹣3）0+（﹣ ）﹣2﹣|1﹣ |+．19．用适当方法解下列方程：（1）3x2﹣2x﹣1＝0；（2）x（x+2）＝2x+4．20．2021

年是“十四五”规划开局之年，也是中国共产党建党

100

周年，为加强党史学习教育，学校决定在周二、周三、周四的活动课分别组织三场“从小学党史，永远跟党走”的演讲活动．小红和小明打算随机选择时间去观摩演讲，已知，小红和小明选择上述三天中哪一天去观摩演讲的可能性是相同的．（1）小红选中周四去观摩演讲的概率是

．（2）请你用列表法或画树状图法，求小红和小明选择同一天去观摩演讲的概率．21．如图，以等边三角形

ABC

的

BC

边为直径画圆，交

AC

于点

D， 于点

F，连接

OF，且．求证：DF是 的切线；求线段

OF的长度．22．某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第

天与日销售量的相关信息如下表：第

天售价/（元/件）日销售量/件第

2次与原正六边形重合时，点

A落在原正六边形的顶点

C处，第

3次与原正六边形重合时，点

A落在原正六边形的顶点

D处，…，第

2021次重合时点

A的坐标为

．已知商品的进价为

20元/件，设该商品的日销售利润为 元．（1） 与

的函数关系式为

；（2）在销售该商品的第几天时，日销售利润为

2250

元？（3）当售价为多少元时，日销售利润最大？最大利润为多少？23．综合与实践动手操作：利用“正方形纸片的折叠和旋转”开展数学活动，探究体会图形在正方形折叠和旋转过程中的变化及其蕴含的数学思想方法．折一折：如图

1，已知正方形

ABCD

的边长

AB＝6，将正方形

ABCD

沿过点

A

的直线折叠，使点

B

的对应点

M

落在

AC上，展开正方形

ABCD，折痕为

AE，延长

EM交

CD于点

F，连接

AF．思考探究：图

1中，与△ABE

全等的三角形有

个，∠EAF＝

°，BE、EF、DF

三者的数量关系是

，BE的长为

．转一转：将图

1

中的∠EAF

绕点

A

旋转到图

2

所示位置，与

BC、CD

的交点分别为

E、F，连接

EF．证明推理：图

2中，BE、EF、DF

三者的数量关系是 ▲

，并给出证明．开放拓展：如图

3，在旋转∠EAF的过程中，当点

F

为

CD的中点时，BE

的长为

．24．已知抛物线

y＝ax2+bx+3的图象与

x轴相交于点

A和点

B（1，0），与

y轴交于点

C，连接

AC，有一动点

D

在线段

AC上运动，过点

D

作

x

轴的垂线，交抛物线于点

E，交

x

轴于点

F，AB＝4，设点

D

的横坐标为

m．（1）求抛物线的解析式；（2）当

m＝﹣1

时，在

x

轴上找一点

P，使

PE+PC

的值最小，求出此时点

P

的坐标；（3）连接

AE、CE，当△ACE

的面积最大时，点

D的坐标是

；（4）当

m＝﹣2

时，在平面内是否存在点

Q，使以

B，C，E，Q

为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点

Q

的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】A【知识点】一元二次方程的根【解析】【解答】解： 关于

的方程，解得 ．故答案为：A．的一个根为，【分析】将代入求出

k

的值即可。2．【答案】A【知识点】中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故答案为：A．【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。3．【答案】D【知识点】二次函数图象的几何变换【解析】【解答】解：把抛物线

y＝x2

向右平移

1

个单位长度，再向上平移

3

个单位长度，得到的抛物线解析式为

y＝（x﹣1）2+3，故答案为：D【分析】根据解析式平移的特征：左加右减，上加下减的原则求解即可。4．【答案】D【知识点】勾股定理；垂径定理【解析】【解答】连接

OB，∵直径，，∴BM=== ，根据垂径定理，得AB=2BM= ，故答案为：D．【分析】连接

OB，利用勾股定理求出

BM

的长，再利用垂径定理可得

AB=2BM=。5．【答案】D【知识点】事件发生的可能性【解析】【解答】解：A.

小明买一张体育彩票中奖，是随机事件，故该选项不符合题意；B.

某人的体温是

100

℃，是不可能事件，故该选项不符合题意；C.

抛掷一枚骰子朝上的面的点数是偶数，是随机事件，故该选项不符合题意；D.

我们小组的十三位同学中至少有两位同学是同月出生的，是必然事件，故该选项符合题意.故答案为：D.【分析】根据必然事件的定义逐项判断即可。6．【答案】D【知识点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：∵关于

x

的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0

有两个不相等的实数根，∴△＞0

且-k≠0，∴36-4×（-k）×3＞0且

k≠0，∴k＞﹣3且

k≠0，故答案为：D．【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，由根的判别式求出

k

的值即可。7．【答案】B【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题【解析】【解答】解：设在每一轮中平均一个人传染了

x

人，根据题意可得，（1+x）2=144解得，x1=11，x2=-13（舍去）。故答案为：B.【分析】根据题意，列出方程，求出答案即可。8．【答案】B【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵同弧所对的圆心角是圆周角的一半；∴根据圆内接四边形对角互补故答案为：B.【分析】由圆周角定理可得∠ADB=∠AOB=61°，由圆内接四边形的性质可得∠ACB+∠ADB=180°，据此求解.9．【答案】B【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；旋转的性质【解析】【解答】解：由旋转的性质得出

AC=EC，∠ECA

为旋转角，∴∠AEC=∠EAC= ，∵AE=AF，∴∠AEC=∠EFA=∠EAC= ，∵∠EFA=∠ECA+∠BAC=∠ECA+ ，∴∴∠ECA=故答案为：B【分析】由旋转的性质得出

AC=EC，根据等腰三角形的性质及三角形内角和，可求出∠AEC=∠EAC=，由

AE=AF，可得∠AEC=∠EFA=∠EAC= ，根据三角形外角的性质得出∠EFA=∠ECA+∠BAC=∠ECA+，从而列出方程求出∠ECA

即可.10．【答案】C【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数

y=ax^2+bx+c

的性质【解析】【解答】解：根据函数图象可得：开口向上， ，对称轴为 ，∴ ，函数图象与

y轴的交点在

y轴负半轴，∴ ，∴ ，①不符合题意；根据图象可得，函数图象与

x轴有两个交点，∴对应方程有两个根，∴ ，即 ，②符合题意；当 时，结合图象可得：，③符合题意；当时，，∵，∴，即 ，④符合题意；综上可得：②③④符合题意，故答案为：C．【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得

a、b、c

的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。11．【答案】-7【知识点】关于原点对称的坐标特征【解析】【解答】解： 点， ，则 ．故答案为： ．和点关于原点对称，【分析】根据关于原点对称的点坐标的特征可得

m=-4，n=-3，再将

m、n

的值代入计算即可。12．【答案】a≠2【知识点】一元二次方程的定义及相关的量【解析】【解答】解：ax2+2x-1=2x2，（a-2）x2+2x-1=0，∵关于

x

的方程

ax2+2x-1=2x2是一元二次方程，∴a-2≠0，即

a≠2，故答案为：a≠2．【分析】根据一元二次方程的定义列出不等式求解即可。13．【答案】3cm【知识点】圆锥的计算【解析】【解答】解：设母线长为

xcm，，解得

r=3，故答案为：3cm．【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长列出方程求解即可。14．【答案】16【知识点】切线长定理【解析】【解答】解：∵PA、PB

分别与⊙O

相切于点

A、B，∴PA＝PB，∵直线

EF

与⊙O

相切于点

C，∴EA＝EC，FC＝FB，∴C△PEF＝PE+EF+PF＝PE+EC+CF+PF＝PE+EA+FB+PF＝PA+PB＝2PA＝2×8＝16（cm）故答案为：16．【分析】根据切线长定理可得

EA＝EC，FC＝FB，再利用三角形的周长公式及等量代换可得答案。15．【答案】【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算【解析】【解答】解：∵ ，∴ ，∴S

阴影=S

扇形

AOB－，故答案为：.【分析】利用圆周角定理求出∠AOB

的度数，再根据

S

阴影=S

扇形

AOB－S△AOB

，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式可求解.16．【答案】【知识点】勾股定理；正方形的性质【解析】【解答】如图，延长

AD，与

CE

的延长线相交于点

F，过点

E

作于点

G；延长

GE，和BC

延长线相交于点

H∴∴∵正方形∴∴四边形为矩形∴，将边绕点顺时针旋转

45°，即∴又∵∴，∴又∵∴∴，∴设∴∴，∵∴∴，即∴∴∴故答案为：．【分析】延长

AD，与

CE的延长线相交于点

F，过点

E作 于点

G；延长

GE，和

BC

延长线相交于点

H，证出四边形 为矩形，将边 绕点 顺时针旋转

45°，即 ，设，利用勾股定理得到 ，再将数据代入计算即可。17．【答案】【知识点】探索数与式的规律；正多边形的性质【解析】【解答】解：如图，连接

OF，设

EF

与

y

轴交于点

G．由题意可得，OF＝1，GF＝ ，∠OGF＝90°，∠FOG＝30°，∴OG＝GF＝ ，∴F（ ，）．∵将该正六边形绕原点

O

逆时针旋转，第

1

次与原正六边形重合时，点

A

落在原正六边形的顶点

B

处，第

2次与原正六边形重合时，点

A

落在原正六边形的顶点

C

处，第

3

次与原正六边形重合时，点

A

落在原正六边形的顶点

D处，…，∴6

次一个循环，∵2021÷6＝336……5，∴经过第

2021次旋转后，顶点

A的坐标落在第

5次旋转时的

F处，∴第

2021次重合时点

A的坐标为（ ，）．故答案为：（ ，）．【分析】先求出规律

6

次一个循环，再结合

2021÷6＝336……5，可得经过第

2021

次旋转后，顶点

A

的坐标落在第

5

次旋转时的

F

处，最后求出点

F

的坐标即可。18．【答案】解：（π﹣3）0+（﹣ ）﹣2﹣|1﹣ |+＝1+9﹣（ ﹣1）+＝10﹣ +1+＝11+【知识点】实数的运算【解析】【分析】先利用

0

指数幂、负指数幂、绝对值和二次根式的性质化简，再计算即可。19．【答案】（1）解：3x2﹣2x﹣1＝0方程左边因式分解得（3x+1）（x﹣1）＝0，∴3x+1＝0或

x﹣1＝0，解得

x1＝﹣ ，x2＝1（2）解：x（x+2）＝2x+4，移项得

x（x+2）﹣2（x+2）＝0，则（x+2）（x﹣2）＝0，∴x+2＝0或

x﹣2＝0，∴x1＝﹣2，x2＝2【知识点】因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】（1）利用十字相乘法求解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法求解一元二次方程即可。20．【答案】（1）（2）解：周二、周三、周四分别用

A、B、C

表示，根据题意画图如下：共有

9

种等可能的情况数，其中小红和小明选择同一天去观摩演讲的有

3

种，则小红和小明选择同一天去观摩演讲的概率是 ．【知识点】列表法与树状图法；概率公式【解析】【解答】(1)解：从周二、周三、周四三天中抽得周四观摩演讲的概率为 ；故答案为： ；【分析】（1）利用概率公式求解即可；（2）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。21．【答案】（1）证明：连接

OD∵是等边三角形∴∵∴是等边三角形∴∴OD//AB∵∴∴∴DF

是 的切线；（2）解：∵OD//AB，∴OD为 的中位线∴∵ ，∴∴由勾股定理，得：∴在 中， ．【知识点】勾股定理；切线的判定；三角形的中位线定理【解析】【分析】（1）连接

OD，得出 是等边三角形，即可证出

DF

是（2）OD//AB， ，得出

OD为 的中位线，由勾股定理得出长度．的切线；的值，从而得出线段

OF

的22．【答案】（1）（2）解：依题意得：，整理得：解： ，，即第

5

天或第

25

天时，日销售利润为

2250

元（3）解：即当 时日销售利润有最大值为

2450

元，此时，售价应为 元．【知识点】二次函数的实际应用-销售问题【解析】【解答】解：（1），【分析】（1）根据“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式即可；（2）将

y=2250代入 可得，再求出

x

的值即可；（3）将函数变形为 ，再利用二次函数的性质求解即可。23．【答案】（1）3；45；EF＝BE+DF；6 ﹣6（2）EF＝DF+BE；证明：延长

CB到

T，使得

BT＝DF，连接

AT，∵四边形

ABCD

是正方形，∴∠D＝∠ABE＝∠ABT＝90°，AD＝AB，∵DF＝BT，∴△ADF➴△ABT（SAS），∴AF＝AT，∠DAF＝∠BAT，∴∠FAT＝∠DAB，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠EAT，∵AE＝AE，∴△EAF➴△EAT（SAS），∴EF＝ET＝DF+BE；（3）2【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】(1)解：如图

1

中，由翻折的性质可知，△EAB➴△EAM，∴∠B＝∠AME=∠AMF=90°，AB=AM，∵四边形

ABCD

是正方形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∵CM=CM，∠CME=∠CMF=90°，∴△EMC➴△FMC，∴EM=FM，∴△AEM➴△AFM，∵四边形

ABCD

是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∵∠B＝∠AME=90°，AB=AM，∴∠D＝∠AME=90°，AD=AM，AF=AF，∴Rt△AFM➴Rt△AFD（HL），∴△EAB➴△EAM➴△FAM➴△FAD，∵△EAB➴△EAM，∴∠BAE=∠MAE，BE=ME，∵Rt△AFM➴Rt△AFD，∴∠FAD＝∠FAC，FM＝DF，∴∠EAF＝ ∠BAD＝45°，∴EF＝DF+BE，∵AB＝AD，CB＝CD，∠B＝∠D，∴△ACB➴△ACD（SAS），设

BE＝DF＝m，则

CE＝CF＝6﹣m，EF＝2m，∵EF2＝EC2+CF2，∴（2m）2＝（6﹣m）2+（6﹣m）2，∴m1＝6 ﹣6，m2=-6 ﹣6（舍弃），∴BE＝6 ﹣6；∴与△ABE全等的三角形有

3

个，∠EAF=45°，BE、EF、DF

三者的数量关系是

EF＝BE+DF，BE

的长为

6﹣6；故答案为：3；45；EF＝BE+DF；；结论：EF＝DF+BE．如图

3

中，设

BE＝x，则

EC＝6﹣x，EF＝x+3，∵∠C＝90°，CD＝BC＝6，DF＝FC＝3，∴EF2＝CF2+EC2，∴（x+3）2＝32+（6﹣x）2，∴x＝2，∴BE

的长为

2．【分析】（1）利用正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理求解即可；（2）延长

CB

到

T，使得

BT＝DF，连接

AT，先利用“SAS”证明△ADF➴△ABT

可得

AF＝AT，∠DAF＝∠BAT，再证明△EAF➴△EAT，最后利用线段的和差及等量代换可得

EF＝ET＝DF+BE；（3）设

BE＝x，则

EC＝6﹣x，EF＝x+3，利用勾股定理可得

EF2＝CF2+EC2，所以（x+3）2＝32+（6﹣x）2，再求出

x

的值即可。24．【答案】（1）解：∵点

B（1，0），AB＝4，∴A（﹣3，0），将

B（1，0），A（﹣3，0）代入

y＝ax2+bx+3，∴，∴，∴y＝﹣x2﹣2x+3（2）解：∵m＝﹣1，∴E（﹣1，4），作

C

点关于

x

轴的对称点

C'，连接

EC