江苏省无锡一中2022学年度高二上学期期末测试：数学理

无锡市第一中学2022-2022年度第一学期期末考试卷高二数学（理科）一．解答题（本大题共14小题，每小题4分，共56分，请将正确答案直接填写在题后的横线上）1．命题“对”的否定是_________________________．2．已知质点运动方程为（的单位是，的单位是），则该质点在时刻的瞬时速度为______________________．3．曲线在处的切线方程是__________________________．4．直线l与圆相交于两点，弦的中点为，则直线l的方程为_________________________．5．若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为___________________．6．椭圆焦距为2，则实数＝_________________________．7．若双曲线的渐近线与圆相切，则=_________．8．经过点的抛物线的标准方程是_________________．9．函数的单调递减区间是____________________．10．棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为___________．11．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，现给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的序号为__________________．12．已知命题：，命题：，若是的必要不充分的条件，则实数的取值范围是．13．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C、D的坐标分别是，则的最大值为．14．设直线系,对于下列四个命题：①中所有直线均经过一个定点；②存在定点不在中的任一条直线上；③对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；④中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的代号是（写出所有真命题的序号）．二．解答题（本大题共6小题，共64分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分8分）设圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且直线被圆截得的弦长为，求圆的方程．16．（本题满分10分）已知函数是上的奇函数，且在时取得极小值．(1)求函数的解析式；(2)对任意，证明：．17．（本题满分10分）ABCC1A1BABCC1A1B1(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的体积．18．（本题满分12分）ABCDEFMN如图，已知正方形和矩形ABCDEFMN点是线段的中点．(1)求证：平面；(2)求锐二面角的大小；(3)试在线段上一点，使得与所成的角是．19．（本题满分12分）已知椭圆过点，离心率为，圆的圆心为坐标原点，直径为椭圆的短轴，圆的方程为．过圆上任一点作圆的切线，切点为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与圆的另一交点为，当弦最大时，求直线的直线方程；(3)求的最值．20．（本题满分12分）已知函数(a为实常数)．(1)求函数在上的最小值；(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．无锡市第一中学2022—2022年第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准一、填空题：（共14小题，每小题4分，共56分）1．；2．11；3．；4．；5．2或0；6．5或3；7．；8．或；9．；10．；11．①②；12．；13．2；14．②③；二、解答题：（共6题，共64分）15．（本题共8分）解：设所求圆的圆心C的坐标为，半径为，则有，①，②，③………………3分由①②③消去得，化简得，或，………………6分则所求圆的方程为或……………8分16．（本题共10分）解：（1）可知，…………2分所以可知，经检验知：…………4分（2）即证…………6分因为，所以时，从而函数在上单调递减，所以，，，所以，从而对任意，有…………10分17．（本题共10分）解：（1）直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥则BB1⊥AB，BB1⊥BC，又由于AC=BC=BB1=1，AB1=，则AB=，则由AC2+BC2=AB2可知，AC⊥BC，又由BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC，则AC⊥平面B1CB，所以有平面AB1C⊥平面B1CB……………（2）三棱锥A1—AB1C的体积．…………4分18．（本题共12分）解：（1）以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则,，，,,,,所以,又与不共线，所以,又平面，平面，所以平面；…………4分（2）平面的法向量,设平面的法向量，由得，取，则所以二面角大小为；…………8分（3）设，，，则，解得或（舍去）所以当点为线段的中点时，直线与所成的角为．………12分19．（本题共12分）解：（1）可知，＝，又，解得，，椭圆的方程为…………4分（2）可知，此时直线应经过圆心M，且直线的斜率存在，设直线的方程为：，…………5分因为直线与圆O：相切，所以，解得或，…………7分所以，直线的方程为或……8分（3）设，则＝10＝＝，………………10分因为OM＝10，所以，所以，的最大值为，的最小值为………12分20．（本题共12分）解：（1），当，．若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时．………………2分若，当时，；当时，，此时是减函数；当时，，此时是增函数．故．………………4分若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数在上是减函数，此时．……………