2010年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析

#/152010年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）(5分)（2010•安徽）i是虚数单位，V3+3i-A.1A-— 1412B.C.1D.【考点】复数代数形式的乘除运算. _【分析】通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数与一3i一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）(5分)（2010•安徽）i是虚数单位，V3+3i-A.1A-— 1412B.C.1D.【考点】复数代数形式的乘除运算. _【分析】通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数与一3i然后利用复数的代数运算，结合i2=-1得结论.11CVS-3i)V3i+31,- 3+9 --12'-14121【解答】解:,故选B.【点评】本题考查复数的分式形式的化简问题主要是乘除运算，是基础题.(5分)(2010•安徽)若集合A={xllciM[xW}，则CrA二(-ZA.(-000]U(考+8）B.亭，+0°)C.(-000]U[-工+8)D.,+8)【考点】补集及其运算;【专题】计算题.【考点】补集及其运算;【专题】计算题.【分析】欲求A的补集,对数函数的单调性与特殊点.必须先求集合A,利用对数的单调性求集合A,然后得结论，【解答】解:0]U,+8).0]U,+8).故选A.【点评】本题主要考查补集及其运算，这里要注意对数中真数的范围，否则容易出错.（5分）（2010•安徽）设向量二（1,0）,b二（£，£），则下列结论中正确的是

A.l^l=|b|B. C.；与与垂直 D.a//b【考点】向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系.【专题】计算题.【分析】本题考查的知识点是向量的模，及用数量积判断两个平面向量的垂直关系，由屋［1,0),二二弓，方)，我们易求出向量的模，结合平面向量的数量坐标运算，对四个答案逐一进行判断，即可得到答案. _解：:£(L口)，b=4，「.值1=1，耳1=£，故nl=|b|不正确，即A错误•・•々・£工二1，故B错误；22•••/-%与-1), (占-%)・%=0,.・.%_］与石垂直，故C正确;•••下〔1,o),b二(1,1)，易得与不成立，故D错误.故选C【点评】判断两个向量的关系(平行或垂直)或是已知两个向量的关系求未知参数的值，要熟练掌握向量平行(共线)及垂直的坐标运算法则，即“两个向量若平行，交叉相乘差为0,两个向量若垂直，对应相乘和为0”.4.(5分)(2010•安徽)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1,f(2)=2,则Uf(3)-f(4)=( )A.1B.2C.-2D.-1【考点】函数奇偶性的性质；函数的周期性.【专题】计算题.【分析】利用函数奇偶性以及周期性，将3或4的函数值问题转化为1或2的函数值问题求解即可.【解答】解：:若f(x)是R上周期为5的奇函数」.f(-x)=-f(x),f(x+5)=f(x),・•.f(3)=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,」.f(3)-f(4)=-2-(-1)=-1.故选D.【点评】本题考查函数奇偶性的应用，奇(偶)函数的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x))(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)是奇(偶)函数.5.(5分)(2010•安徽)双曲线方程为乂2-2丫2=1,则它的右焦点坐标为( )A.(―,。)B.(―:0)C.(返，0)D.仁辱0)【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题.

【分析】把双曲线方程化为标准方程可分别求得a和b,进而根据c川晓十匕2求得c，焦点坐标可得. _解：双曲线的相二1,y」，/旦c=-^,••・右焦点为（手，U）.故选C【点评】本题考查双曲线的焦点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用C2=a2+b2求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为b2=1或b2=2,从而得出错误结论.6.（5分）（2010•安徽）设abc>0,二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象可能是（ ）【考点】函数的图象.【专题】综合题；分类讨论.【分析】当a>0时，二次函数开口向上，判断C、D中c的符号，再确定b的符号，判断C、D的正误，当a<0时，同样的方法判断A、B的正误.【解答】解：当a>0时，因为abc>0,所以b、c同号，由（C）（D）两图中可知c<0,故b<0,「• >0,即函数对称轴在y轴右侧，C不正确，选项（D）符合题意.显然a<0时，开口向下，因为abc>0,所以b、c异号，对于A、由图象可知c<0,则b>0,对称轴-上>0,A不正确；2a对于B,c>0,对称轴-上<0，B选项不正确.2a故选D.【点评】根据二次函数图象开口向上或向下，分a>0或a<0两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.是常考题.

7.（5分）（20107.（5分）（2010•安徽）设曲线C的参数方程为[y=-1+3吕in9（0为参数），直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线1距离为1蒙的点的个数为（ ）10A.1B.2C.3D.4【考点】圆的参数方程.【专题】计算题；压轴题.【分析】由题意将圆C和直线l先化为一般方程坐标，然后再计算曲线C上到直线l距离为二』的点的个数.10【解答】解：化曲线C的参数方程为普通方程：（x-2）2+（y+1）2=9,圆心（2,-1）到直线x-3y+2=0的距离父第1）+21壬.^<3,直线和圆相交，过圆心、和l平行的直线和圆的2个交点符合要求，又rlo又10 10，在直线l的另外一侧没有圆上的点符合要求，故选B.【点评】解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线c上到直线1距离为竺&然后再判断知10匕*>弓-UP,进而得出结论.10 108.（5分）（2010.安徽）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（ ）A.372B.360C.292D.280【考点】由三视图求面积、体积.【专题】计算题；压轴题.【分析】三视图很容易知道是两个长方体的组合体，得出各个棱的长度.即可求出组合体的表面积.【解答】解：该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和.S=2（10x8+10x2+8x2）+2（6x8+8x2）=360.

故选B.【点评】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和.9.（5分）（2010.安徽）动点A（x,y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间t=0时，点A的坐标是【看，卒），则当0<t<12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）A. [0,1]B.[1, 7] C. [7, 12] D. [0, 1]和[7, 12]【考点】函数单调性的判断与证明.【专题】压轴题.【分析】由动点A（x,y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在[0,12]变化时，点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.，每秒钟旋转1，在，每秒钟旋转1，在【解答】解：设动点A与x轴正方向夹角为a,则t=0时S式都是单调递增的.，.]'，.]'在[7,12]上Q£[1等,胃]，动点A的纵坐标y关于tJ I」故选D.【点评】本题主要考查通过观察函数的图象确定函数单调性的问题.10.（5分）（2010.安徽）设｛an｝是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是（ ）A.X+Z=2YB.Y（Y-X）=Z （Z- X） C. Y2=XZ D. Y （Y-X） =X （Z-X）【考点】等比数列.【专题】压轴题.【分析】取一个具体的等比数列验证即可.【解答】解：取等比数列1,2,4,令n=1得X=1,Y=3,Z=7代入验算，只有选项D满足.故选D【点评】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11.（5分）（2010•安徽）命题“对任何xCR,使得反-2|+反-4|>3〃的否定是存在xER,使得|x-21+Ix-4|<3.【考点】命题的否定.【专题】阅读型.

【分析】全称命题的否定是特称命题，只须将全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并同时把“反-21+反-41>3”否定.【解答】解：全称命题的否定是特称命题，••・命题"对任何XCR,使得lx-21+lx-41>3”的否定是：存在xCR,使得lx-2l+lx-4K3.故填：存在xCR,使得lx-2l+lx-4K3.【点评】本题主要考查了命题的否定，属于基础题之列.这类问题常见错误是，没有把全称量词改为存在量词，或者对于“>"的否定改成了”<“，而不是"M..（5分）（2010•安徽）（W-上）6展开式中，x3的系数等于15vv7工【考点】二项式系数的性质.【专题】计算题.磊（-2=i5x3,即可得答案.【解答】解：根据题意，易得其二项展开式的通项为Tr+1=C6r•6-r.（--JL磊（-2=i5x3,即可得答案.【解答】解：根据题意，易得其二项展开式的通项为Tr+1=C6r•6-r.（--JL（八）r,当r=2时，有C62^磊（-2=15x3,则x3的系数等于15,故答案为15.【点评】本题考查二项式定理的应用，注意二项式的展开式的形式，特别要区分某一项的系数与二项式系数.’2耳-.（5分）（2010•安徽）设x,y满足约束条件*&-V-4之0，若目标函数z=abx+y（a>0,b>0）的最大值为8,则a+b的最小值为J.【考点】简单线性规划的应用.【专题】压轴题.【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件.8x-y-4<0,画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a>0,b>0）I的最大值为8,求出a,b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值.’2耳-y+2^0【解答】解：满足约束条件』取一了一4<口的区域是一个四边形，如下图k>0,y>0

4个顶点是（0,0）,（0,2）,（-,0）,（1,4）,2由图易得目标函数在（1,4）取最大值8,即8=ab+4,「.ab=4,a+b>2嬴=4,在a=b=2时是等号成立，・•・a+b的最小值为4.故答案为：4【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解.14.（5分）（2010.安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x为12（开始J1mlLXPC球）【考点】程序框图.【专题】图表型；算法和程序框图.【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的X的值，当x=12时满足条件x>8,退出循环，输出x的值为12.【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=1满足条件x是奇数，x=2不满足条件x是奇数，x=4,不满足条件x>8,x=5

满足条件X是奇数，X=6,不满足条件X>8,x=7满足条件x是奇数，x=8,不满足条件x>8,x=9满足条件x是奇数，x=10,不满足条件x是奇数，x=12,满足条件x>8,退出循环，输出x的值为12.【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基础题.15.（5分）（2010.安徽）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是②⑷（写出所有正确结论的编号）.①P（B）邛②P⑻AI卡③事件B与事件A1相互独立；@A1,A2,A3是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1,A2,A3中哪一个发生有关.【考点】互斥事件的概率加法公式.【专题】压轴题.【分析】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键.本题在A1,A2,A3是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化P（B）=P（BkA1）+P（B^A2）+P（B^A3）,可知事件B的概率是确定的.【解答】解：易见A1,A2,A3是两两互斥的事件，P⑻二p-P +P⑶kJ磊 鲁奇X**故答案为：②④【点评】概率的综合问题，需要对基本概念和基本运算能够熟练掌握.三、解答题（共6小题，满分75分）16.（12分）（2010.安徽）设^ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，并且siI12A二占边长，并且siI12A二占insin（4一B）+si

J（I）求角A的值;（口）若二1,a=2,求b，c（其中b<c）.【考点】余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数.【专题】计算题.【分析】（1）先根据两角和与差的正弦公式展开得到角A的正弦值，再由角A的范围确定角A的值. _（2）先根据向量数量积的运算和角A的值得到cb=24,再由a=2,〒和余弦定理可求出b,c的值.

【解答】解：(1)因为sin2A=(^ycosB-F-^sinB)(受己口用一gsinB)+sin2B3 2b__1.2b.2口_3^<os="^smB+sinB=%所以sinA=±F.又A为锐角，所以A=m2 3(2)由AB・AC=12可得，cbcosA=12①由(1)知A=-^-，所以cb=24②由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,将a=2中1及①代入可得c2+b2=52③③+②x2,得(c+b)2=100,所以c+b=i0因此，c,b是一元二次方程t2-10t+24=0的两根解此方程并由c>b知c=6,b=4【点评】本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦定理的应用.属基础题..(12分)(2010•安徽)设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a,xCR.(工)求f(x)的单调区间与极值；(口)求证：当a>ln2-1且x>0时，ex>x2-2ax+1.【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.【专题】导数的综合应用.【分析】(])由f(x)=ex-2x+2a,乂6区，知f‛(x)=ex-2,xCR.令f‛(x)=0,得x=ln2.列表讨论能求出f(x)的单调区间区间及极值.(口)设g(x)=ex-x2+2ax-1,xCR,于是g'(x)=ex-2x+2a,xCR.由(1)知当a>ln2-1时，g’(x)最小值为g’(ln2)=2(1-ln2+a)>0.于是对任意xCR,都有g’(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.由此能够证明ex>x2-2ax+1.【解答】([)解：:f(x)=ex-2x+2a,xCR,…f'(x)=ex-2,xGR.令f'(x)=0,得x=ln2.于是当x变化时，f‘(x),f(x)的变化情况如下表：x (-8,ln2)ln2 (ln2,+^)f'(x) - 0 +f(x) 单调递减 2(1-ln2+a) 单调递增故f(x)的单调递减区间是(-8,ln2),单调递增区间是(ln2,+8),f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a),无极大值.(口)证明：设g(x)=ex-x2+2ax-1,xGR,于是g'(x)=ex-2x+2a,xGR.由(1)知当a>ln2-1时，g’(x)最小值为g’(ln2)=2(1-ln2+a)>0.于是对任意xGR,都有g'(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.于是当a>ln2-1时，对任意xG(0,+8),都有g(x)>g(0).

而g(0)=0,从而对任意xG(0,+8),g(x)>0.即ex-x2+2ax-1>0,故当a>ln2-1且x>0时，ex>x2-2ax+1.【点评】本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用.解题时要认真审题，仔细解答..(12分)(2010•安徽)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFIIAB,EF±FB,AB=2EF,NBFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.(1)求证：FHII平面EDB；(2)求证：人^平面EDB；(3)求二面角B-DE-C的大小.【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题.【专题】综合题.【分析】(1)设AC于BD交于点G,则G为AC的中点，连接EG,GH,又H为BC的中点，可得四边形EFHG为平行四边形，然后利用直线与平面平行判断定理进行证明；(2)因为四边形ABCD为正方形，有AB±BC,XEFIIAB,可得EF^BC,要证FH±平面ABCD,FH，平面ABCD,从而求解.(3)在平面CDEF内过点F作FK±DE交DE的延长线与k,可知NFKB为二面角B-DE-C的一个平面角，然后设EF=1,在直角三角形中进行求证.【解答】证明：(1)设AC于BD交于点G,则G为AC的中点，连接EG,GH,又H为BC的中点，•.GHIIAB且GH^lAB，又EFIIAB且EF」AB，：EFIIGH且EF=GH,2 2••・四边形EFHG为平行四边形・••EGIIFH,W£65面EDB,「.FHII平面EDB.(2)由四边形ABCD为正方形，有AB±BC,XEFIIAB,AEF±BC而EF±FB,AEF，平面BFC,AEF±FH,AAB±FH,又BF=FC,H为BC的中点，AFH±BCA可，平面ABCD,AFH±BC,FH±AC,又FHIIEG,AAC±EG又AC±BD,EGnBD=G,AA—平面EDB,(3)EF±FB,NBFC=90°,ABF，平面CDEF,在平面CDEF内过点F作FK，DE交DE的延长线与k,则UNFKB为二面角B-DE-C的一个平面角，

设EF=1,贝ljAB=2,DE=f2,DE=\[3,又EFIIDC,「.NKEF=ZEDC,••sinZEDC=sinNKEF='，遭•.FK=EFsinZKEF=」，VstanZFKB=—=.3,FK•.NFKB=60°,•・二面角B-DE-C为60°.【点评】此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面垂直的判断，此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习.19.(13分)(2010•安徽)已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴，焦点F1,F2在X轴上，离心率巳弓.(1)求椭圆E的方程；(2)求NF1AF2的平分线所在直线l的方程；(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)设出椭圆方程，根据椭圆E经过点A(2,3),离心率匕得，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆E的方程；(2)求得AF1方程、AF2方程，利用角平分线性质，即可求得NF1AF2的平分线所在直线l的方程；

(3)假设存在B(x1,y1)C(x2,y2)两点关于直线l对称，设出直线BC方程代入TOC\o"1-5"\h\z2 2金+巳二1，求得BC中点代入直线2x-y-1=0上，即可得到结论.2 2解：(1)设椭圆方程为三十*1Ca>b>0)a2b2•••椭圆E经过点A(2,3),离心率=」••， ,b2-1I「.a2=16,b2=122 2••・椭圆方程E为：工+匕二i；1612(2)F1(-2,0),F2(2,0),:A(2,3),…AF1方程为：3x-4y+6=0,AF2方程为：x=2设角平分线上任意一点为P(x,y),则^——二_二|,-2|.5得2x-y-1=0或x+2y-8=0:斜率为正，「•直线方程为2x-y-1=0；(3)假设存在B(xi，ypC(x2,y2)两点关于直线1对称，「•如匚二一｝TOC\o"1-5"\h\z1 2 2••・直线BC方程为厂一工班1r代入£十二二1得x2-mx+m2-12=0,2 1612・••BC中点为—)2 4代入直线2x-y-1=0上，得m=4.「•BC中点为(2,3)与A重合，不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点.【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线方程，考查对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.20.(13分)(2010•安徽)设数列ai,a2，…，a「，…中的每一项都不为0.证明：｛a0｝为等差数列的充分必要条件是：对任何n<EN,都有「^+'-+...+—一=一」.ala2a2a3 anarL+lalarL+l【考点】等差数列的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断；数学归纳法.【专题】证明题；压轴题.【分析】先证必要性；设数列an的公差为d,若d=0,则所述等式显然成立.若dN0,则ala2a2a3ala2a2a3anan-blaaalan-bl.再用数学归纲法证明充分性：对任何nCN,都有ala21.%an4-Lnaiam-i，｛an｝是公差为d的等差数列U.【解答】证明：先证必要性设数列an的公差为d,若d=0,则所述等式显然成立.若dN0,则ala24Gala24Ga2：d311anan-bl)+(」」ala21_1alan+la;n

alan+l-)+…+(3 anan+l再证充分性：用数学归纳法证明：①设所述的等式对一切nGN都成立，首先在等式二^十二^二」一ala2a2a3a1a3两端同时乘a1a2a3，即得a1+a3=2a2，则Ua2=a]+d.所以a1，a2,a3成等差数列，记公差为d②假设ak=a1+（k-1）4，当则Ua2=a]+d.观察如下二等式ak-1a观察如下二等式ak-1akaiak②，…十十^a…十十^ala2a2a3ak_1akakak+lkalak+lk-k-1i将②代入③^得 +--alak21k41alak+l在该式两端同时乘a1akak+1，得（k-1）ak+1+a1=kak，把ak=ax+（k-1）d代入后，整理得ak+1=ax+kd.由数学归纳法原理知对任何nCN,都有二ala2所以，｛an｝是公差为d的等差数列.【点评】本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力.21.（13分）（2010.安徽）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们