线性代数 第七章

第七章久矩阵§1 ^矩阵的概念前面我们介绍的矩阵，它的元素都是一个数，这种矩阵也可称作数字矩阵，下面给出A矩阵的定义.的多项式，那么以a(人)为元素的定义1设七(人)(顷2…,mj=12…,n均为人的多项式，那么以a(人)为元素的mXn矩阵A(X)=a(人)11a(X)21a(X)12aA(X)=a(人)11a(X)21a(X)12a (X) .22a(X)1na(X)2n(7.1)a(X)m1a(X).m2a(X)mn称为人矩阵或多项式矩阵.显然，数字矩阵是特殊的^矩阵.A矩阵的加法、数乘和乘法与数字矩阵的运算相同，并且具有相同的运算规律，这些不再重复叙述和证明.由于A矩阵的每一个元素都是A的多项式，所以任何A-矩阵(7.1)可以惟一地表成以数字矩阵为系数的A的多项式A(X)=AXi+AXi-1其中A,A，…,A均为mXn数字矩阵.A(X)=X2-X+2(A)可以写成A(X)2X2X2-3X-1-1-30-1定义2如果^矩阵A(A)中有一个r(r31)阶子式不为零，而所有r+1阶子式(假若有的话)全为零，则称A(A)的秩为r.零矩阵的秩规定为0.例如，数字矩阵A=(ajnX的特征矩阵人E-A的秩是n，因为仇E-A|尹0.定义3对于n阶A矩阵A(A)，如果有一个n阶人矩阵B(A)，使得A(A)B(A)=B(A)A(A)=En, (7.2)贝0称4(人)是可逆的，此时B(A)就称为A(A)的逆矩阵，记为A-1(A).关于A矩阵可逆的条件有定理1n阶A矩阵A(A)可逆的充分必要条件为它的行列式A(A)|是一个非零的常数.证明先证必要性.设NQ)可逆，则在(7.2)式两边取行列式得A(义)|•|B(2)|=1.因为A(2)|与|B(2)|都是2的多项式，并且它们的乘积等于1，所以它们都是零次多项式，此即|A(2)|是一个非零的数.再证充分性.设d=A(2)|是一个非零常数，A*(2)是A(2)的伴随矩阵，它也是一个n阶2矩阵，有1 \A(k)-A*(X)=-A*(X)A(X)=E,k21故A(X)可逆，且A-15)=,A*M).d例2X矩阵.「人+1人+3一

4(")=、 ¥ 、罚TI，X2+3""2+5"+4、「X+1X+3B(X)=() _X2+3X+2X2+5X+4中，A(X)是可逆的，但B(X)不可逆.这是因为|A(X)|=4,|B(X)|=-2(X+1).§2、.矩阵的标准型定义4下列三种变换称为X-矩阵的初等变换：互换矩阵的某两行(列).用非零的数c乘矩阵的某一行(列).把矩阵中某一行(列)的0(X)倍加到另一行(列)上，其中0(X)是一个4的多项式.由单位矩阵En经过一次上述初等变换得到的X矩阵称为初等矩阵.与数字矩阵的讨论相类似，用E(i,j)E(i(c))E(i+j(3))分别表示由单位矩阵En互换i,j两行(列)；第i行(列)乘以非零常数c；第j行(i歹U)的0(X)倍加到第i行(访)上所得到的初等矩阵.我们有结论：(A)初等矩阵都是可逆的，并且E(j)T=E(i，j)E(i(c))T=E(i(cT))E(i+/(0))T=E(i+/(-0D(B)对一切矩阵A(X)作一次初等行(列)变换，相当于A(X)左(右)乘一个相应的初等矩阵.定义5如果4矩阵A (X )经过有限次初等变换而化为B(X )，则称A(X )与B(X )等价，记为A(X)=B(X).定理2两个X矩阵A(X)与B(X)等价的充分必要条件是存在可逆矩阵P(X)和Q(X)，使得B(X)=P(X)A(X)Q(X).证明由定义5及(B)知A(X)与B(X)等价的充分必要条件是存在一系列初等矩阵P1，P2，…，[与Q1，Q2，…，Q,，使得B(X)=PP…P1A(X)Q]Q2'2

令P(A)=PP…P1，Q5)=QQ…Qt，因为初等矩阵都是可逆的，它们的乘积还是可逆的，所以P(A)和Q(A)均为可逆的，故定理得证.由(A)，(B)，容易证明，A矩阵的等价关系具有下列性质：自反性每一个^矩阵与自己等价.对称性若A(A)三B(A)，则B(A)三A(A).传递性若A(A)三B(A)，且B(A)三C(A)，则A(A)三C(A).A矩阵具有多种形式的标准型，在这里我们只介绍其中最基本的一种，即施密斯标准型.为此先证明一个引理.引理若A矩阵A(A)=("A))mXn的左上角元素a11(A)尹0，并且A(A)中至少有一个元素不能被a11(A)整除，则必存在一个与A(A)等价的矩阵B(A)，它的左上角元素B11(A)也不为零，且外］(A)的次数小于a11(A)的次数.证明根据A(A)中不能被a11(A)整除的元素所处位置，分三种情况讨论.(1)若A(A)的第一列有一个元素az1(A)不能被a11(A)整除，则用气(A)去除aa(A)可得an(A)=q(A)%(A)+r(A)，这里r(A)(尹0)的次数小于％(A)的次数.此时7A(k)—兀A(k)—兀-10(人))]>a(X)11.••.\r(X).•••…r(X)…….•••. r(1,i)-.a(X)11......….....上面右端矩阵B(A)即为所求.(2)若A(A)的第一行有一个元素况(1)类似.(3)若A(A)中第一行与第一列的元素都能被a11(A)整除，但A(A)中另有元素ajA)(z>157>1)不能被a11(A)整除.此时可设a，x(A)=a11(A)0(A)，则有a(X)…11a1j(A)不能被a11(A)整除，则这种情况的证法与情a(X)ijA(X)A(X)―思-1(甲)]>a(人)11a(X)一a(X帅(X) ..ij1ja(X)+a(X)(1—中(X))ij1j巾+i巾+i]>a(X)一a(X帅(X)i) 1j=M(人)上面右端矩阵M(A)中第一行有一个元素ajA)+a顼(A)(1-q(A))=fA)不能被a11(A)整除，这就化到了已经证明的情况(2). 〃 7定理3任一非零的mXn的A-矩阵A(A)都等价于一个如下形式的矩阵：

J(k)J(k)=d(k)1d(k)2d(k)r0(7.3)0Jmxn其中r^1,d(A)(i=1,2,・・・,r)均为首项系数为1的多项式，且d(k)di(k);i=1,2,…,r-1.证明不妨设/A)尹。，否则总可以经过适当的行、列交换，使得/M)的左上角元素不为零.如果气]^)不能整除A(A)的所有元素，由引理，可以找到与A(A)等价的矩阵鸟(4)，它的左上角元素b](A片0，且力四)的次数小于。")的次数.如果by)还不能整除Eg)的所有元素，再由引理，可以找到与B]M)等价的矩阵B2(A)，它的左上角元素b2(A)尹0，且b2(A)的次数小于by)的次数.如此作下去，将会得到一系列彼此等价钏-矩阵AM)B]M),B2M),•••.B(k)三ib(k)s0:0这些矩阵的左上角元素均不为零，而且次数越来越低.由于非零多项式的次数总是非负整数，因此在有限步后，必将得到一切矩阵Bs(A)，它的左上角元素bs(A)尹0,且bs以)能整除B(A)的所有元素.可设b〃M)=bB(k)三ib(k)s0:0TOC\o"1-5"\h\z0 0A(k)1显然，A](A)的元素都是Bs(A)中元素的组合，而bs(A)能整除B(A)的所有元素，所以bs(A)也能整除A](A)的所有元素. ' S'如果A](A)尹0,则对于A](A)重复上述过程，进而可把矩阵化为Fd1(k) 0 ... 0一‘0d(k)…0:':A1(k)0 0 '其中d](A ), d2 (A )都是首项系数为]的多项式，且d] (A )| d2 (A )(因d] (A )= bs (A )能整除A](A)的所有元素)，d2(A)能整除A2(A)的所有元素. '如此一直做下去，最后终将A(A)化为所要求的形式.(7.3)式中的J(A)称为A(A)的施密斯标准型.例3 求A-矩阵「一k+1 2k-1 kA(k)=k k2 —kk2+1k2+k—1—k2的施密斯标准型.解对A(A)作初等变换:「12X-1入］「12X-1入］A(k)—0人2—人—^[3-1]>0人2-人1人2+人一1―人20人2-人-人2-人「1 0X_「10 0- 「2—1(2X—11「3—1(E_LL [」,|_— 矿0X2-X—^「23],「3(-1)]>0X X20X2-X-X2-X_0-X2+XX2+X「10 0-「100一—^「32(X)]>0X X2—^—2(X—>0X0_0-X,2+XX3+X_00X3+X上式最后一个矩阵就是所求的施密斯标准型.§3入■矩阵的不变因子定义6设A矩阵A(A)的秩为r*是不大于r的正整数，那么A(A)中所有k阶子式的首项系数为1的最大公因式DRA)称为A(A)的k阶行列式因子.由定义6知，一个秩为r(31)的A矩阵有且仅有r个行列式因子.关于行列式因子有下面重要结论.定理4等价的A矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子.证明我们只需证明，经过一次初等变换后A矩阵的秩和行列式因子是不变的.设A矩阵A(A)经过一次初等变换变成B(A),fA)与g(A)分别是A(A)与B(A)的k阶行列式因子.下面分三种情况证明fA)=g(A).A(A)0刀＞B(A).这时B(A)的任一k阶子式或者等于A(A)的某一个k阶子式，或者与A(A)的某一个k阶子式反号，因此fA)是g(A)的因式，即fA)|g(A).A(A)—B(A)(c尹0).这时B(A)的任一k阶子式或者等于A(A)的某一个k阶子式，或者等于A(A)的某一个k阶子式的c倍，因此川)是g(A)的因式，即fA)|g(A).A(A )心j(甲)］＞B (A ).这时B(A)中那些包含z•行与J行的k阶子式和不包含z行的k阶子式都等于A(A)中对应的k阶子式，而B(A)中那些包含/行但不包含j行的k阶子式，恰好等于A(A)中对应的k阶子式与另一个k阶子式的0(A)倍之和，因此fA)是g(A)的因式，即fA)|g(A).对于列变换可以完全一样地讨论.于是经过一次初等变换将A(A)变成B(A)，总有fA)|g(A).由于初等变换具有可逆性，所以B(A)也可以经过一次初等变换变成A(A)，同样也有g(A)fA)，故fA)=g(A).根据上述讨论和秩的定义可知，A(A)与B(A)既有相同的各阶行列式因子，又有相同的秩.设A(A)的Smith标准型为(7.3),则A(A)=J(A).由定理4得A(A)的各阶行列式因子为D(人)=d(人),D(人)1 1 2=d(k)d(人)，…,D(人) (7.4)=《(人)d(k).••d(k),于是有d(k)=D(k),d(k)1 1 2d(k)=D(kM" g1_D(k) r ,D (k)r-1这表明任一人矩阵的施密斯标准型是惟一的.定义7在A(A)的施密斯标准型(7.3冲，多项式dy),d2M),•••,d”)称为AM)的不变因子.关系式(7.4)或(7.5)给出了A(A)的不变因子与行列式因子的关系，其不变因子完全由行列式因子所惟一确定，它们都是在初等变换下AM)的不变量.于是得到定理5AM)=B(A)的充分必要条件是AM)与B(A)有相同的行列式因子，或者说有相同的不变因子.例4在例3中，A(A)的不变因子为A(A)的行列式因子为d](A)=1,d2(A)=A,d3(A)=A(A2+1).D1(A)=1D2(A)=AD3(A)=A2(A2+1).§4矩阵的若当标准型本节在复数范围内介绍n阶矩阵的若当标准型.设A是一个n阶复矩阵，A(A)=AE-A是A的特征矩阵，则A(A)必有n个非零的不变因子，把每一个次数大于零的不变因子都分解为互不相同的一次因式的方幕之积，所有这些一次因式的方幕(相同的必须按出现的次数计算)称为A(A)的初级因子.由于特征矩阵A(A)=AE-A完全由矩阵A所确定，因此这里A(A)的不变因子及初级因子也常常称之为A的不变因子及初级因子.例5求矩阵「1 I-2的全部不变因子和初级因子.解因为A的特征矩阵为

X-2X+1x+2所以人E-A的行列式因子为D4(A)=\AE-A|=CA2-1)(A2-4),D3(A)=D2CA)=D1CA)=1；A的不变因子为d(X)=d(X)=d(X)=1,1 2 3d(x)=J「=(X-1)(X+1)(x—2)(x+2)4 D(X)3而次数大于零的不变因子只有d4(A)，因此A的全部初级因子为A-1,A+1,A-2A+2.定义8形如TOC\o"1-5"\h\z椅 ]“ 、1aJ(a,s)= . . (7.6), ,1asxs的矩阵称为若当(Jordan)块，其中。是复数.由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵.比如——「0 _1- -1i310,1i,13101i1——|_ 10」都是若当块，而11-52+「1 2+i1 2+i是一个若当形矩阵.不难算出若当块J(a,s)的初级因子是(A-a)s.事实上，因为J(a,s)的特征矩阵为XE—JXE—J(a,s)=X-a-1X-a显然它的行列式为U-a)%且它的左下角那一个食1阶子式为(-1)si,所以J(a,)的行列式因子为D]U)=・・=Ds-1U)=1DsU)=U-a)s,因此它的不变因子为号(U)=・二七](U)=1,ds(U)=U-a)s,由此即得J(a,)的初级因子是(U-a)s. S下面我们叙述矩阵相似的判别定理.定理6两个n阶矩阵A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵UE-A与UE-B等价，或者说A与B有相同的不变因子，或者说A与B有相同的初级因子.证明(略).有了以上的一些概念和结论，现在来介绍矩阵的若当标准型设n阶复矩阵A的全部初级因子为(U-U])k1,(U-U2)k2,・・・，(U-Ut)kt,每一个初级因子(U-U|)K对应一个K阶若当块i1i1iJ1J1J2JJi称为矩阵A的若当形矩阵，或A的若当标准型.不难证明，矩阵A与它的若当标准型具有相同的初级因子于是我们得到定理7任一n阶复矩阵A都与它的若当标准型J相似，即存在可逆矩阵P,使P-1AP=J,并且除了其中若当块的排列次序外，这个若当标准型是由A惟一确定的.由于|UE-A|=UE-J|=U-U1)k1(U-U2)k2•…(U-Ut)kt所以若当形矩阵J的主对角线上的元素U],U2，…,Us(可能有些相同)全为A的特征值.因为对角矩阵是特殊的若当形矩阵，即它是由n个一阶若当块构成的若当形矩阵，因此我们有推论n阶复矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是它的初级因子全为一次的.例6