2023中考一次函数与反比例函数的综合应用

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应用

一、选择题

12，4分）1.（2023四川凉山，二次函数y?ax2?bx?c的图象如下图，反比列函数y?与正比列函数y?bx在同一坐标系内的大致图象是（）

yO第1题xyyyyOA

xOB

xOC

xOD

xa

x

考点：二次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象．专题：数形结合．分析：由已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口方向可以知道a的取值范围，对称轴

可以确定b的取值范围，然后就可以确定反比例函数y?a与正比例函数y＝bx在x同一坐标系内的大致图象．

解答：解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口方向向下，∴a＜0，

对称轴在y轴的左边，∴x＝－∴反比例函数y?b＜0，∴b＜0，2aa的图象在其次四象限，x正比例函数y＝bx的图象在其次四象限．应选B．

点评：此题主要考察了从图象上把握有用的条件，确凿选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a＜0；对称轴的位置即可确定b的值．

2.（2023?青海）一次函数y=﹣2x+1和反比例函数y=错误！未找到引用源。的大致图象是（）

A、B、

第1页

C、D、

考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。

分析：根据一次函数的性质，判断出直线经过的象限；再根据反比例函数的性质，判断出反比例函数所在的象限即可．

解答：解：根据题意：一次函数y=﹣2x+1的图象过一、二、四象限；反比例函数y=错误！未找到引用源。过一、三象限．应选：D．

点评：此题主要考察了一次函数的图象及反比例函数的图象，重点是注意y=k1x+b中k1、b及y=错误！未找到引用源。中k2的取值．

k3.（2023山东青岛，8，3分）已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=错误！未找到

x引用源。在同一直角坐标系中的图象如下图，则当y1＜y2时，x的取值范围是（）

A．x＜﹣1或0＜x＜3B．﹣1＜x＜0或x＞3C．﹣1＜x＜0D．x＞3考点：反比例函数与一次函数的交点问题。专题：数形结合。

分析：根据图象知，两个函数的图象的交点是（﹣1，3），（3，﹣1）．由图象可以直接写出当y1＜y2时所对应的x的取值范围．

k解答：解：根据图象知，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的交点是（﹣1，3），（3，

x﹣1），∴当y1＜y2时，﹣1＜x＜0或x＞3；应选B．

点评：此题主要考察了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了―数形结合‖的数学思想．

（2023杭州，6，3分）如图，函数y1=x-1和函数y2=2x的图象相交于点M（2，m），N

（-1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（）

第2页

A．x＜-1或0＜x＜2B．x＜-1或x＞2C．-1＜x＜0或0＜x＜2D．-1＜x＜0或x＞2考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．

分析：根据反比例函数的自变量取值范围，y1与y2图象的交点横坐标，可确定y1＞y2时，x的取值范围．

解答：解：∵函数y1=x-1和函数y2=2x的图象相交于点M（2，m），N（-1，n），∴当y1＞y2时，-1＜x＜0或x＞2．应选D．

点评：此题考察了反比例函数与一次函数的交点问题的运用．关键是根据图象的交点坐标，两个函数图象的位置确定自变量的取值范围．

4.（2023浙江台州，9，4分）如图，双曲线y=错误！未找到引用源。

m与直线y=kx+bx交于点M．N，并且点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为﹣1．根据图象信息可得关于x的方程错误！未找到引用源。=kx+b的解为（）

A．﹣3，1B．﹣3，3C．﹣1，1D．﹣1，3考点：反比例函数与一次函数的交点问题．

分析：首先把M点代入y=错误！未找到引用源。中，求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出N点坐标，求关于x的方程错误！未找到引用源。=kx+b的解就是看一次函数与反比例函数图象交点横坐标就是x的值．解答：解：∵M（1，3）在反比例函数图象上，∴m=1×3=3，∴反比例函数解析式为：y=错误！未找到引用源。，∵N也在反比例函数图象上，点N的纵坐标为﹣1．∴x=﹣3，∴N（﹣3，﹣1），∴关于x的方程错误！未找到引用源。=kx+b的解为：﹣3，1．应选：A．点评：此题主要考察了反比例函数与一次函数交点问题，关键把握好利用图象求方程的解时，就是看两函数图象的交点横坐标．.

5.（2023?丹东，6，3分）反比例函数y=错误！未找到引用源。次函数y=kx+k的图象大致是（）

k的图象如下图，则一x第3页

yyyyyOxOxOxOxOx

A、B、C、D、

考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。专题：数形结合。

分析：根据反比例函数y=错误！未找到引用源。的图象所在的象限确定k＞0．然后根据k＞0确定一次函数y=kx+k的图象的单调性及与y轴的交点的大体位置，从而确定该一次函数图象所经过的象限．

解答：解：根据图示知，反比例函数y=错误！未找到引用源。的图象位于第一、三象限，∴k＞0，∴一次函数y=kx+k的图象与y轴的交点在y轴的正半轴，且该一次函数在定义域内是增函数，∴一次函数y=kx+k的图象经过第一、二、三象限；应选D．

点评：此题考察了反比例函数、一次函数的图象．反比例函数y=

k的图象是双曲线，当kx＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于其次、四象限．

6.（2023?宜昌，15，3分）如图，直线y=x+2与双曲线y=

m?3在其次象限有两个交点，x那么m的取值范围在数轴上表示为（）

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；在数轴上表示不等式的解集。

A、

B、

第4页

C、

D、

分析：由于直线y=x+2与双曲线y=错误！未找到引用源。在其次象限有两个交点，联立两

方程求出m的取值范围即可，然后在数轴上表示出m的取值范围．

解答：解：根据题意知，直线y=x+2与双曲线y=错误！未找到引用源。在其次象限有两个交点，

即x+2=错误！未找到引用源。有两根，

即x+2x+3﹣m=0有两解，△=4﹣4×（3﹣m）＞0，解得m＞2，∵双曲线在二、四象限，∴m﹣3＜0，∴m＜3，∴m的取值范围为：2＜m＜3．故在数轴上表示为．

2

应选B．点评：此题主要考察反比例函数与一次函数的交点问题和在数轴上表示不等式的解集的知识点，解答此题的关键是联立两方程解得m的取值范围．

7.（2023贵州毕节，9，3分）一次函数y?kx?k(k?0)和反比例函数y?同一直角坐标系中的图象大致是()

k(k?0)在x

考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。专题：探究型。

分析：分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可．

解答：解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象过二、四象限可知k＜0，两结论相矛盾，故本选项错误；B、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知k＞0，两结论相矛盾，故本选项错误；C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知k＜0，两结论一致，故本选项正确；D、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴可知k＜0，两结论相矛盾，故本选项错

第5页

误．应选C．

点评：此题考察的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．

8.（2023?贵阳10，分）如图，反比例函数y1=

k1错误！未找到引用源。和正比例函数y2=k2xxk1＞k2x错误！未找到引用源。，则x的取x的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若值范围是（）

A、﹣1＜x＜0B、﹣1＜x＜1C、x＜﹣1或0＜x＜1D、﹣1＜x＜0或x＞1考点：反比例函数与一次函数的交点问题。专题：数形结合。

分析：根据题意知反比例函数和正比例函数相交于A、B两点，若要错误！未找到引用源。，只须y1＞y2，在图象上找到反比例函数图象在正比例函数图象上方x的取值范围．解答：解：根据题意知：若错误！未找到引用源。，则只须y1＞y2，

又知反比例函数和正比例函数相交于A、B两点，从图象上可以看出当x＜﹣1或0＜x＜1时y1＞y2，应选C．

点评：此题主要考察了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y=

k错x误！未找到引用源。中k的几何意义．这里表达了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

9.（2023广东湛江,12,3分）在同一坐标系中，正比例函数y=x与反比例函数y?象大致是（）2的图x第6页

A、B、C、D、考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．分析：根据正比例函数与反比例函数图象的性质进行选择即可．解答：解：∵正比例函数y=x中，k=1＞0，∴此图象过一、三象限；∵反比例函数y?2中，k=2＞0，x∴此函数图象在一、三象限．应选B．点评：此题主要考察了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要把握它们的性质才能灵活解题．10.（2023广西百色，10，4分）二次函数的图象如图，则反比例函数y=﹣

a错误！未找x到引用源。与一次函数y=bx+c的图象在同一坐标系内的图象大致是（）

A．B．

C．D．

考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．

分析：根据二次函数的图象，推出a＜0，c＜0，顶点坐标都为正值，即可推出，b＞0，﹣a＞0，根据反比例函数和一次函数的图形的性质推出反比例函数在第一、三象限，一次函数经过第一、三，四象限，所以图象大致为B项中的图象．

第7页

解答：解：∵二次函数图象的开口向下，∴a＜0，

∵顶点坐标都为正值，∴?b错误！未找到引用源。＞0，2a∴b＞0，∴﹣a＞0，

∴反比例函数在第一、三象限，一次函数经过第一、三、四象限．应选B．

点评：此题主要考察反比例函数的图象的性质．二次函数图象的性质．反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a、b的取值范围．11.（2023?恩施州5,3分）一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=

k2错误！未找到引用源。x（k1?k2≠0）的图象如下图，若y1＞y2，则x的取值范围是（）

A、﹣2＜x＜0或x＞1B、﹣2＜x＜1C、x＜﹣2或x＞1D、x＜﹣2或0＜x＜1考点：反比例函数与一次函数的交点问题。专题：数形结合。

分析：根据图象可以知道一次函数y1=k1x+b和反比例函数错误！未找到引用源。（k1?k2≠0）的图象的交点的横坐标，若y1＞y2，则根据图象可以确定x的取值范围．解答：解：如图，依题意得一次函数y1=k1x+b和反比例函数错误！未找到引用源。（k1?k2≠0）的图象的交点的横坐标分别为x=﹣2或x=1，若y1＞y2，则y1的图象在y2的上面，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1．应选A．点评：此题主要考察了反比例函数与一次函数的图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合的方法解决问题．

12.（2023年山东省东营市，10，3分）如图，直线l和双曲线y?k(k＞0)交于A、B两x点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、0P，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则（）第8页

A、S1＜S2＜S3B、S1＞S2＞S3C、S1=S2＞S3D、S1=S2＜S3考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题．专题：几何图形问题．分析：根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=1|k|．2k上，x解答：解：结合题意可得：AB都在双曲线y=则有S1=S2；而AB之间，直线在双曲线上方；故S1=S2＜S3．应选D．点评：此题主要考察了反比例函数y=k中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、yx轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考察的一个知识点；这里表达了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．13.（2023陕西，8，3分）如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别

42与反比例函数y??和y?的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接

xxAC、BC，则△ABC的面积为（）

A．3B．4C．5D．6

考点：反比例函数综合题。专题：计算题。

分析：先设P（0，b），由直线APB∥x轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在

反比例函数错误！未找到引用源。的图象上，可得到A点坐标为（﹣错误！未找到

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引用源。，b），B点坐标为（错误！未找到引用源。，b），从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．解答：解：设P（0，b），∵直线APB∥x轴，∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比

例函数y=﹣错误！未找到引用源。的图象上，∴当y=b，x=﹣错误！未找到引用源。，即A点坐标为（﹣错误！未找到引用源。，b），又∵点B在反比例函数y=错误！未找到引用源。的图象上，∴当y=b，x=错误！未找到引用源。，即B点坐标为（错误！未找到引用源。，b），∴AB=错误！未找到引用源。﹣（﹣错误！未找到引用源。）=错误！未找到引用源。，∴S△ABC=错误！未找到引用源。?AB?OP=错误！未找到引用源。?b=3．应选A．

点评：此题考察了点在函数图象上，点的横纵坐标满足函数图象的解析式．也考察了与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点以及三角形的面积公式．二、填空题

1.（2023XX南京，15，2分）设函数y=错误！未找到引用源。与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，B），则错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。的值为﹣错误！未找到引用源。．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题。专题：计算题。

分析：把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a，B的解，整理求得错误！未找到引用源。﹣错误！未找到引用源。的值即可．解答：解：∵函数y=

2错误！未找到引用源。与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，B），x∴B=错误！未找到引用源。，B=a﹣1，∴=a﹣1，a﹣a﹣2=0，（a﹣2）（a+1）=0，解得a=2或a=﹣1，∴B=1或B=﹣2，

2

2a111?错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。的值为错误！未找到引用源。．ab21故答案为：错误！未找到引用源。．

2∴则

点评：考察函数的交点问题；得到2个方程判断出a，B的值是解决此题的关键．2.（2023XX苏州，18，3分）如图，已知点A的坐标为（3，3），AB丄x轴，垂足

为B，连接OA，反比例函数

y?

k

x（k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若

5AB=3BD，以点C为圆心，CA的4倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是

__________（填‖相离‖，―相切‖或―相交―）．

第10页

????a?b??23?a?3∴错误！未找到引用源。?，∴错误！未找到引用源。?，

???2a?b?3?b??3∴直线AB的解析式为y=错误！未找到引用源。x﹣错误！未找到引用源。，

令y=0，解得x=1，∴点C的坐标是（1，0）．故答案为（1，0）．点评：此题考察了反比例函数和一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；求一次函数和x轴的交点坐标．

8.（2023浙江宁波，18，3）正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y＝

2错误！x未找到引用源。（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y＝

2（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正x半轴上，则点P3的坐标为（错误！未找到引用源。+1，3－1）．．

考点：反比例函数综合题。专题：综合题。

分析：作P1⊥y轴于C，P2⊥x轴于D，P3⊥x轴于E，P3⊥P2D于F，设P1（a，

2错误！a未找到引用源。），则CP1＝a，OC＝错误！未找到引用源。，易得Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，则OB1＝P1C＝A1D＝a，所以OA1＝B1C＝P2D＝错误！未找到引用源。－a，则P2的坐标为（错误！未找到引用源。，坐标代入反比例函数y＝为（b，

2－a），然后把P2的a2，得到a的方程，解方程求出a，得到P2的坐标；设P3的坐标x22），易得Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，则P3E＝P3F＝DE＝，通过OE＝OD+DE＝bb2+错误！未找到引用源。＝b，这样得到关于b的方程，解方程求出b，得到P3的坐标．解答：解：作P1⊥y轴于C，P2⊥x轴于D，P3⊥x轴于E，P3⊥P2D于F，如图，

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设P1（a，错误！未找到引用源。），则CP1＝a，OC＝错误！未找到引用源。，∵四边形A1B1P1P2为正方形，∴Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，∴OB1＝P1C＝A1D＝a，∴OA1＝B1C＝P2D＝错误！未找到引用源。－a，∴OD＝a+错误！未找到引用源。－a＝错误！未找到引用源。，∴P2的坐标为（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。－a），把P2的坐标代入y＝错误！未找到引用源。（x＞0），得到（错误！未找到引用源。－a）?错误！未找到引用源。＝2，解得a＝－1（舍）或a＝1，

∴P2（2，1），

设P3的坐标为（b，错误！未找到引用源。），又∵四边形P2P3A2B2为正方形，∴Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，∴P3E＝P3F＝DE＝错误！未找到引用源。，∴OE＝OD+DE＝2+错误！未找到引用源。，∴2+错误！未找到引用源。＝b，解得b＝1－错误！未找到引用源。（舍），b＝1+错误！未找到引用源。，∴错误！未找到引用源。＝

21?3

错误！未找到引用源。＝3－1，

∴点P3的坐标为（错误！未找到引用源。+1，3－1）．

故答案为：（错误！未找到引用源。+1，错误！未找到引用源。－1）．点评：此题考察了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考察了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法．

9.（2023浙江衢州，15，4分）在直角坐标系中，有如下图的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO=10，sin∠AOB=错误！未找到引用源。，反比例函数错误！未找到引用源。的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则点D的坐标为（8，错误！未找到引用源。）．

考点：反比例函数综合题。专题：综合题。分析：由斜边AO=10，sin∠AOB=错误！未找到引用源。，根据三角函数的定义可得到AB=6，再由勾股定理得到OB=8，即得到A点坐标为（8，6），从而得到AO的中点C的坐标，代入反比例函数解析式确定k，然后令x=8，即可得到D点的纵坐标．

第17页

解答：解：∵斜边AO=10，sin∠AOB=错误！未找到引用源。，∴sin∠AOB=错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

ABAB3??，OA105∴AB=6，∴OB=错误！未找到引用源。=8，∴A点坐标为（8，6），而C点为OA的中点，∴C点坐标为（4，3），

k(k>0)错误！未找到引用源。的图象经过点C，x12∴k=4×3=12，即反比例函数的解析式为y=错误！未找到引用源。，

x又∵反比例函数y?∵D点在反比例函数的图象上，且它的横坐标为8，∴当x=8，y=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，所以D点坐标为（8，错误！未找到引用源。）．故答案为（8，

3错误！未找到引用源。）．2点评：此题考察了用待定系数法确定反比例的解析式；也考察了正弦的定义和勾股定理以及求线段中点坐标．

10.（2023浙江丽水，16，4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为错误！未找到引用源。．在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′．（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是（4，0）；（2）设P（t，0），当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是4≤t≤25错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。≤t≤﹣4．

考点：反比例函数综合题；解二元一次方程组；根的判别式；解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形；勾股定理。专题：计算题。分析：（1）当点O′与点A重合时，即点O与点A重合，进一步解直角三角形AOB，利用

第18页

轴对称的现在解答即可；（2）求出∠MP′O=30°，得到OM=错误！未找到引用源。t，OO′=t，过O′作O′N⊥X轴于N，∠OO′N=30°，求出O′的坐标，同法可求B′的坐标，设直线O′B′的解析式是y=kx+b，代入

?31t?tk?b??22得得到方程组?错误！未找到引用源。，求出方程组的解即可得到解?3t?23?t?2k?b??2析式y=（

3233）x﹣错误！未找到引用源。t+错误！未t?23错误！未找到引用源。2243错误！未找到引用源。，代入上式整理得x2

找到引用源。t，求出反比例函数的解析式y=出方程（23错误！未找到引用源。t﹣8错误！未找到引用源。）x+（﹣3错误！未找到引用源。t+6错误！未找到引用源。t）x﹣43错误！未找到引用源。=0，求出方程的判别式b﹣4ac≥0，求出不等式的解集即可．解答：解：（1）当点O′与点A重合时∵∠AOB=60°，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′．AP′=OP′，∴△AOP′