实变函数习题与解答(唐山师范张玲)

下列对象不能构成集合的是:（）A、全体自然数B、0,1之间的实数全体C、[0,1]上的实函数全体D、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:（）A、{全体实数}B、{全体整数}C、{全体小个子}D、{x：x>1}3、下列对象不能构成集合的是:（）A、{全体实数}B、{全体整数}C、{x：x>1}D、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:（）A、{全体实数}B、{全体整数}C、{x：x>1}D、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是:（）A、{全体小孩子}B、{全体整数}C、{x：x>1}D、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是:（）A、{全体实数}B、{全体大人}C、{x：x>1}D、{全体整数}7、设,I

为全体实数,则=()A、(-1,1)B、(-1,0)C、(-,+)D、(1,+)8、设,,则=()A、(-1,1)B、(-1,0)C、[0,1]D、[-1,1]9、设,,则=()A、(0,1)B、[0,1]C、[0,1]D、(0,+)10、设,,则=()A、[1,2]B、(1,2)C、(0,3)D、(1,2)11、设,,则=()A、(-1,1)B、[0,1]C、ΦD、{0}12、设,,则=()A、(-1,1)B、[0,1]C、ΦD、{0}13、设,,,则()A、[0,2]B、[0,2]C、[0,1]D、[0,1]14、设,,,则()A、[0,2]B、[0,2]C、[0,1]D、[0,1]15、设,,则()A、ΦB、[0,n]C、RD、(0,)16、设,,则()A、(0,1)B、(0,)C、{0}D、Φ17、设,,,则()A、ΦB、(0,)C、(0,n)D、(0,)18、设,,,则()A、ΦB、(0,)C、(0,n)D、(0,)19、设A、B、C是三个集合,则A-(A-B)=()A、BB、AC、ABD、AB20、设A、B、C是三个集合,则A-(BC)=()A、(A-B)(A-C)B、(A-B)(A-C)C、ABD、AC21、设A、B、C是三个集合,则A-(BC)=()A、(A-B)(A-C)B、(A-B)(A-C)C、ABD、AC22、设A、B、S是三个集合,且,,则=()A、B、C、D、23、设A、B、S是三个集合,且,,则=()A、B、C、D、24、设A、B、C是三个集合,则A-(B-C)=()A、AC-BB、A-B-CC、(A-B)(AC)D、C-(B-A)25、集合E的全体内点所成的集合称为E的()A、开核B、边界C、导集D、闭包26、集合E的全体聚点所成的集合称为E的()A、开核B、边界C、导集D、闭包27、集合E的全体边界点和内点所成的集合是E的()A、开核B、边界C、导集D、闭包28、E-E＇所成的集合是()A、开核B、边界C、外点D、{E的全体孤立点}29、E的全体边界点所成的集合称为E的()A、开核B、边界C、导集D、闭包30、设点P是集合E的边界点,则()A、P是E的聚点B、P是E的孤立点C、P是E的内点D、P是的边界点31、设,则下列那一个是G的构成区间:()A、(0,1)B、(,1)C、[0,1]D、(0,2)32、设,,则下列那一个是G的构成区间:()A、(0,1)B、(0,2)C、(-1,)D、(-1,2)33、设,,则下列那一个是G的构成区间:()A、(0,1)B、(3,4)C、(0,4)D、(1,4)34、设,,则下列那一个是G的构成区间:()A、(0,1)B、(0,3)C、(0,4)D、(1,4)35、设,,则下列那一个是G的构成区间:()A、(0,1)B、(0,2)C、(1,2)D、(1,4)36、设,,则下列那一个是G的构成区间:()A、(,)B、(1,2)C、(0,1)D、(-1,0)37、若，则下列命题错误的是：()A、B、A＇B＇C、D、38、若,则下列命题正确的是：（）A、B、A＇B＇=C＇C、D、{A的孤立点}{B的孤立点}={C的孤立点}39、若,则下列命题错误的是：（）A、B、C＇A＇B＇C、D、{A的孤立点}{B的孤立点}={C的孤立点}40、设是A的余集，则下列命题正确的是：（）A、B、C、C(A＇)＝（CA）＇D、41、设A－B=C,则下列命题正确的是：（）A、B、C、A＇－B＇＝C＇D、{A的孤立点}－{B的孤立点}={C的孤立点}42、(2-4-1-2)下列命题错误的是：（）A、是闭集B、A＇是闭集C、是闭集D、是闭集43、若A是闭集，B是开集，则A－B是：（）A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断44、若A是开集，B是闭集，则A－B是：（）A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断45、若是一开集列，则是：（）A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断46、若是一开集列，则是：（）A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断47、若是一闭集列，则是：（）A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断48、若是一闭集列，则是：（）A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断49、若，则（）A、0B、1C、2D、350、下述结论（）正确.A、B、C、D、51、下列说法正确的是（）A、在（0，1）有限B、在无界C、，在[0，1]有限D、，在[0，1]有界52、函数列在[0，1]上（）于0.A、a，e一致收敛B、收敛C、一致收敛D、基本上一致收敛53、设E是[0，1]中的不可测集，则下列函数在[0，1]上可测的是（）.A、B、C、D、54、若可测，则它必是（）.A、连续函数B、单调函数C、简单函数D、简单函数列的极限55、若，则（）A、0B、1C、2D、356、下列说法不正确的是（）A、E的测度有限，则E必有界B、E的测度无限，则E必无界C、有界点集的测度有限D、的测度无限57、（4-4-2-1）下述论断正确的是（）A、在无界B、在有限C、在有界D、在有限58、函数列在[0,2]上（）于0.A、收敛B、一致收敛C、基本上一致收敛D、a.e.一致收敛59、设其中E是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0,1]可测的是（）.A、B、C、D、60、一个函数在其定义域中的（）点处都是连续的.A、边界点B、内点C、聚点D、孤立点.61、是康托尔（cantor）集，则（）A、0B、1C、2D、362、设A是B的真子集，则（）A、B、C、D、63、下列说法正确的是（）A、在无界B、在有限C、在有界D、在有限64、函数列在上（）于0.A、收敛B、一致收敛、C、基本上一致收敛D、a.e.一致收敛65、设E是[0,1]上的不可测集，则下列函数在[0,1]可测的是（）.A、B、C、D、66、设E为可测集，则下列结论中正确的是（）A、若在E上a,e收敛于一个a,e有限的可测函数，则一致收敛于B、若在E上a,e收敛于一个a,e有限的可测函数，则基本上一致收敛于C、若在E上a,e收敛于一个a,e有限的可测函数，则D、若在E上基本上一致收敛于，则a,e收敛于67、G表示康托尔（cantor）集在[0,1]中的余集，则mG=（）A、0B、1C、2D、368、设都可测，则（）A、可测B、不可测C、可能可测也可能不可测D、以上都不对69、下列说法正确的是（）A、在上无界B、在上有限C、在上有限D、在上有界70、函数列在上（）于0A、收敛B、一致收敛C、基本上一致收敛D、a.e.一致收敛71、设，其中E是[0,1]上的不可测集，则（）在[0,1]可测.A、、B、C、D、72、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（）A、它们是同一概念B、a,e有限的可测函数是连续函数C、a,e有限的可测函数是基本上连续的函数D、a,e有限的可测函数是a,e连续的函数73、()A、1、B、2C、3D、474、A可测，B是A的真子集，则（）A、B、C、D、以上都不对75、下列说法正确的是（）A、在(0,1)有限、B、在无界C、在[0,1]有限D、在[0,1]有界76、函数列在上（）于0.A、收敛B、基本上一致收敛C、一致收敛D、a.e.一致收敛77、设其中E是[0,1]上的不可测集，则（）在[0,1]上是可测的.A、B、C、D、78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（）A、简单函数一定是可测函数B、简单函数列的极限是可测函数C、简单函数与可测函数是同一概念D、简单函数列的极限与可测函数是同一概念79、（）A、1B、2C、3D、480、L可测集类，对运算（）不封闭.A、可数和B、有限交C、单调集列的极限D、任意和.81、下列说法正确的是（）A、在无界B、在有限C、在[0,1]有限D、在[0,1]有界82、函数列在上（）于0.A、基本一致收敛B、收敛C、一致收敛D、a.e.一致收敛83、设E是中的不可测集，则下列函数在上可测的是（）.A、B、C、D、84、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（）A、依测度收敛不一定一致收敛B、依测度收敛不一定收敛C、若在E上a.e.收敛于a.e.有限的可测函数，则D、若，则存在子列a.e.收敛于85、设是可测集上的非负可测函数，则（）A、必可积B、必几乎处处有限C、必积分确定D、不一定积分确定86、设在可测集上可积，则在上（）A、与只有一个可积B、与皆可积C、与不一定可积D、与至少有一个不可积87、设（），是上的实函数，则下面叙述正确的是（）A、在上不一定可测B、在上可测但不一定可积C、在上可积且积分值为0D、在上不可积88、在可测集上可积的必要条件是，为（）A、连续函数B、几乎处处连续函数C、单调函数D、几乎处处有限的可测函数89、设为狄立克雷函数，则（）A、0B、1C、1/2D、不存在90、设为Cantor集的特征函数，则（）A、0B、1/3C、2/3D、11、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合；若=n,则=2、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合；若A是一可数集,则=3、若,,则4、若,B是一可数集,则5、若,,则6、若是一集合列,且,7、若是任意集族,其中I是指标集,则=8、若是任意集族,其中I是指标集,则=9、若是任意集族,其中I是指标集,S是一集合,则=10、若是任意集族,其中I是指标集,S是一集合,则=11、若是任意一个集合列,则12、若是任意一个集合列,则13、欧氏空间中,任意两点,的距离d(x,y)=14、C[a,b]空间中,任意两元素x(t),y(t)的距离d(x,y)=15、空间中,任意两元素,的距离d(x,y)=16、欧氏空间中,任意两点,的距离d(x,y)=17、欧氏空间中,任意两点,的距离d(x,y)=18、欧氏空间中,任意两点,的距离d(x,y)=19、设,,则=20、设,,则=21、设,,则=22、设,,则＇=23、设,,则=24、设,,则＇=25、设A=[0,1],B=[3,4],则d(A,B)=26、设C是康托完备集,G=[0,1]－C,则d(C,G)=27、设C是康托完备集,则C的半径=28、两个非空集合A,B距离的定义为d(A,B)=29、一个非空集合A的直径的定义为=30、设A=[0,1]Q,则=31、，对每一列覆盖E的开区间，定义________。32、设是一列递增的可测集合，则________。33、设是定义在可测集上的实函数，若，有_______，则称在E上可测。34、的定义为_________________________。35、设A=“开集类”，B=“波雷尔集类”，C=“可测集类”，D=“型集类”。那么A，B，C，D的关系是__________。36、I是区间，则mI=________37、[a,b]上的连续函数及单调函数都是________。38、叶果洛夫定理反映了_______与________的关系。39、设，E有界，I为任一包含E的开区间，则____40、称为测度的________41、可测集上的连续函数都是________。42、可测函数列的极限是_________。43、若，则，这称为外测度的________。44、若集合G能表示成________则称G为集。45、实变函数中的函数连续性是数学分析中函数连续性的______。46、几乎处处是与_______有关的概念。47、设，若对都有________则称E是L可测的。48、若集合F能表示成_______则称F为集。49、E上的简单函数，指的是对E进行有限不变可测分解后，每一个可测子集上都取_______的函数。50、鲁金定理反映了______与______的关系。51、设是一列递减可测集合，且，，则_________。52、L可测集和波雷尔集相差一个________。53、两个可测函数的四则运算（假定它们都有意义）结果______。54、函数列在不一致收敛于1，且不______收敛于1。55、设在可测集上可积，则（）56、（叙述积分的绝对连续性）设在上可积，则对任何可测集，有（）57、设为Cantor集，则（）58、设为Cantor集，则（）59、设为有理数集，则（）60、设为自然数集，则（）1、{0,1}={1,0}()理由：2、任意两个集合A、B,都有,或()理由：3、任意集合都有子集。（）理由：4、（）理由：5、Φ={Φ}()理由：6、Φ={0}()理由：7、若一个点不是E的聚点,则必然也不是

E的内点.()理由：8、{E的外点全体}和E的余集是相同的.()理由：9、E的内点必然属于E.()理由：10、E的孤立点必然属于E()理由：11、E的边界点一定不属于E()理由：12、E的聚点必然属于E()理由：13、若可测，则E和F都可测。（）理由：14、若，a.e.于E，在可测集E上可测，则也在E上可测（）。理由：15、两个集合的基数相等，则它们的外测度相等。（）理由：16、若在可测集E上可测，则也可测。（）理由：17、若，且，a,e于E（）理由：18、设都可测，则也可测，且。（）理由：19、若在可测集E上可测，则在E的任意可测子集上也可测（）。理由：20、无限集的外测度一定不为零。（）理由：21、若在可测集E上可测，则在E的任意子集上可测（）理由：22、若可测集A是可测集B的子集，且，则（）理由：23、若都可测，则f在可测集E上也可测（）理由：24、若E可测，A可测，且，则。（）理由：1、任意无穷集合包含一可数子集.2、若A是一个可数集合,B是一个有限集合,则是可数集.3、若A和B都是可数集合,则是可数集.4、有理数全体成一可数集。5、证明由直线上互不相交的开区间作为集A的元素，则A至多为可数集。6、空间中,{}是一个可数集合.7、证明：集合E可测的充要条件是对于任意，，总有8、设是上a.e.有限的可测函数，则对于任何及，存在连续函数，使9、证明：对，E可测的充要条件是可测。10、设函数列在E上依测度收敛于，且，a.e.于E，n=1,2,…，则在E上a.e.成立。11、证明：可数点集的外测度为零。12、（设函数列在有界集E上基本上一致收敛于，证明在E上a.e.收敛于13、设是n个互不相交的可测集合，，。证明：14、证明：若，，则在E上a.e.成立。15、若，则E可测。16、设，，，，试证。17、设A可测，B为任意集合，证明：18、设，证明：19、设是上的可积函数，则20、设，是上的有界可积函数，则对任何可测集，有21、设由中取出个可测子集，假定中任一点至少属于这个集中的个，试证必有一集，它的测度大于或等于。22、试从，求证：。23、设{}为上的可积函数列，a.e.于，且，为常数，则可积。24、设在上可积，且，则a.e.于1、构造{自然数全体}到{偶数全体}的一一映射.2、构造(0,1)到R的一一映射.3、构造(0,1)到[0,]的一一映射.4、构造{能被3整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射.5、构造(0,1)到(0,1)(2,3)的一一映射.6、构造{奇数全体}到{偶数全体}的一一映射.7、（请说明：在上的函数列，，不测度收敛于8、请叙述L测度的可列可加性。9、若在可测集E上可测，则，在E上也可测。10、请指出L可测集和集的关系。11、用可测函数的定义说明狄里克雷函数在[0,1]可测。12、从基数的角度请举出三种零测集的例子。1、设，计算。2、设，计算。3、设，计算。4、设为Cantor集，，计算。5、设为Cantor集，，计算。6、设为Cantor集，，计算。7、求。8、求。9、求。10、求。11、求。12、求。《实变函数》习题库参考答案一、选择题1、D2、C3、D4、D5、A6、B7、C8、A9、B10、C11、C12、D13、C14、B15、C16、D17、A18、D19、C20、A21、B22、C23、B24、C25、A26、C27、D28、D29、B30、D31、A32、B33、C34、A35、B36、D37、C38、B39、C40、B41、B42、D43、B44、A45、A46、D47、D48、B49、A50、B51、A52、D53、C54、D55、B56、A57、D58、C59、A60、D61、A62、B63、D64、C65、C66、D67、B68、A69、B70、C71、D72、C73、C74、B75、A76、B77、A78、C79、C80、D81、B82、A83、B84、C85、C86、B87、C88、D89、A90、A二、填空题1、；2、c；3、c；4、c；5、c；6、c；7、{x:对于任意的,有}；8、{x:存在,使得}；9、；10、；11、；12、；13、；14、；15、；16、；17、；18、；19、；20、；21、；22、；23、；24、；25、2；26、0；27、1；28、；29、；30、1；31、；32、；33、可测；34、有；35、；36、；37、可测函数；38、点态收敛与一致收敛；39、；40、次可数可加性；41、可测函数；42、可测函数；43、单调性；44、（开）；45、推广；46、测度；47、；48、，（闭集）；49、常数；50、可测函数，连续函数；51、；52、零测集；53、可测函数；54、依测度；55、0；56、0；57、0；58、0；59、0；60、0三、判断题1、(√)理由:集合具有无序性2、(×)理由:举一反例,比如:取A={1},B={2}3、（√）理由:空集Φ是任意集合的子集.4、（×）理由:符号表示集合间的关系,不能表示元素和集合的关系.5、(×)理由:Φ表示没有任何元素的集合,而{Φ}表示单元素集合,这个元素是Φ6、(×)理由:Φ表示没有任何元素的集合,而{0}表示单元素集合,这个元素是07、(√)理由:根据内点的定义,内点一定是聚点8、(×)理由:举一反例,比如:E=(0,1),元素1不是E的外点,但却属于E的余集分9、(√)理由:有内点的定义可得.10、(√)理由:有内点的定义可得.11、(×)理由:举例说明,比如:E=(0,1),元素1是E的边界点,但属于E.12、(×)理由:举一反例,比如:E=(0,1),元素1是E的内点,但不属于E13、（×）理由:因有若，E不可测，而可测14、（√）理由:因两可测集的并可测。15、（×）理由:因，但16、（√）理由:因分17、（×）理由:反例：，把是按n后按j的顺序形成的函数列18、（×）理由:因的测度可能无限19、（√）理由:因若（可测），则20、（×）理由:反例：自然数集外测度为零。21、（×）理由:若是E的不可测集就不行。22、（×）理由:反例：，23、（√）理由:因，存在单调下降趋于c的有理数列，则有，故可测。24、（√）理由:因四、简答题1、答:令f(2n)=2nf(2n－1)＝－2（n－１）其中n=1,2,下面验证f是{自然数全体}到{偶数全体}的一一映射.设m{自然数全体},n{自然数全体}且f(m)=f(n)若f(m)=f(n)>0,则m、n为偶数，f(m)=f(n)=m=n若f(m)=f(n)0,则m、n为奇数，f(m)=f(n)=1－m=1－n即m=n,故而f是单射。对于任意的m{偶数全体}若m=0,则有f(1)=0;若m>0,则有f(m)=m;若m<0,则有f(1－m)=m故而f是满射。有（1）（2）得f是一一映射。2、答：令f(x)=tg((x－))，下证f(x)是(0,1)到R的一一映射.由三角函数的性质可知f(x)是(0,1)上的严格单增连续函数，且f((0,1))=R所以f(x)是(0,1)到R的一一映射.3、答：令f(x)=tg((１－x))，下证f(x)是(0,1)到[0,]的一一映射.由三角函数的性质可知f(x)是(0,1)上的严格单减连续函数，且f((0,1))=[0,]所以f(x)是(0,1)到[0,]的一一映射.4、答：令f(3n)=nn=1,2,…下证f是{能被3整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射对于任意的3m,3n{能被3整数整除的正整数}若f(3m)=f(3n)则有m=n,所以f是单射(2)对于任意的n{正整数全体}显然有3n{能被3整数整除的正整数}且f(3n)=n即f是满射由（1）（2）得f是{能被3整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射.5、答:令f(x)=2x当x(0,);f(x)=2x+1当x(,1).由f(x)的单调性,易知f(x)是(0,1)到(0,1)(2,3)的一一映射.6、答:令f(x)=x+1,显然，f(x)是{奇数全体}到{偶数全体}的一一映射.7、答：因对。有这样，故。8、答：，可测9、答：因1°分2°时3°时故cf在E上可测。10、答：设E是L可测的，F是集，则存在零测集N，使E=F+N11、答：因而[0,1]，，均可测，故可测。12、答：有限集，可列集，康脱尔集。分五、计算题1、解：因为有理数集的测度为0，故在上几乎处处有这样利用积分的性质得：=。2、解：因为有理数集的测度为0，故在上几乎处处有这样利用积分的性质得：=。3、解：因为有理数集的测度为0，故在上几乎处处有。这样利用积分的性质得：=。4、解：因为，故在上几乎处处有这样利用积分的性质得：=。5、解：因为，故在上几乎处处有这样利用积分的性质得：=。6、解：因为，故在上几乎处处有。这样利用积分的性质得：=。7、解：令，则。而。故由Lebesgue控制收敛定理得：。8、解：令，则。而，且函数在上可积。故由Lebesgue控制收敛定理得：。9、解：令，则。而。故由Lebesgue控制收敛定理得：。10、解：令，则。而，且函数在上可积。故由Lebesgue控制收敛定理得：。11、解：令，则。而。故由Lebesgue控制收敛定理得：。12、解：令，则。而。故由Lebesgue控制收敛定理得：。六、证明题证明:设A为一无穷集合,A不空,任意取一元素,因为A是无穷集合,所以不空,任意取一元素,同理不空,任意取一元素,…，依次取下去,得一个集合。令f()=n，显然f是到N的一一映射。故而是A的可数子集.2、证明:令C=B－A,则CB,若C是空集，则＝A是可数集.若C