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第三章：泊松过泊松过程泊松过程的数字非齐次泊松复合泊松泊松火车站某段时间 车票的旅客数机器称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程，若N(t)表 （1）N(t)（2）N(t)取正整数值以及若s<t，则N(s)当s<t时，N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生件A”的次数 计计数过程N(t)是平稳增量若计数过程N(t)在(t,t+s]内（S>0）， 的次数N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关，而与t无关X(t),t≥0λ>0泊松过程它满足下列条（2）X(t)是平稳独立增量（3）在任一长度为t的区间中， λ>0的泊松分布，即对任意s,t≥0，有P{X(ts)X(s)n}et

(t)n

n0,1,E[X(tt 程，若它满足下列条（1）X(0)=（3）X(t)满足下列两P{X(th)X(t)1}ho(hP{X(th)X(t)2}o(h 两个或两个以 同时发生证明定义3.2和定义3.3证明定义3.2和定义3.3泊松过程的数字设{X(t),t≥0}是泊松过程，对任意的t,s∈[0,s<t，有EE[X(t)X(s)]D[X(t)X(s)]t由于X(0)0(t)(t)E[(t)](t)D[(t)]RRX(s,t)E[X(s)X(t)]s(t一般情况下，泊松过程的协方差函数可表BBX(s,t)min(s,t顾客到来接受服务的时间间隔、顾客排队的等待等分时间等待时间间隔时间间隔n设{X(t),t≥0}是泊松过程，令X(t)表示t时 {X(t),t≥0为具有参数λ的泊松过程T,n}是对应的时间间隔序列，则随量T是独立同分布的均值为1/λ的即:对于任意n=1,2, A相继到达的时间间隔Tn的分布为1et tFT(t)P{Tnt}n其概率密度

et

0,t

tf (t) 0 t对于任意的n=1,2,…,

s1s2,...sn1 ，nFT(t)PTnt1PTnn1PTnt|T1s1,T2s2...,Tn－11PX(tsn1...s2s1)X(sn1...1PX(t)X(0)1

s1) 等待时间等待时间WnW nW

Tii=1因此W是n个相互独立的指数分布 ne (t)

(t)n(n1)!

tn n0, t定理3.3W是n相互独立的指数分布随量的和，故可假设在[0,t时间A经发生一次，我们要确定也就是对于s<t，我们要求P{W1s|X(t)1}P{W1s1,W2s2|X(t)2}...... s

(s)11

0sW1概率W1

|X(

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