2020-2021学年新教材高中数学第78章单元素养评价含解析苏教版必修第一册20210119114

单元素养评价(四)(第7、8章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.下列各个角中与2020°终边相同的是 ()A.-150° B.680° C.220° D.320°【解析】选C.因为2020°=5×360°+220°,所以与2020°终边相同的是220°.2.若扇形的圆心角α=120°,弦长AB=12cm,则弧长l=cm()

A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为扇形的圆心角α=120°,弦长AB=12cm,所以半径r=QUOTE=4QUOTE,所以弧长l=|α|r=QUOTE×4QUOTE=QUOTE.3.(2020·濮阳高一检测)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 ()x345.156.126y4.04187.51218.01A.y=QUOTE(x2-1) B.y=2x-2C.y=log2x D.y=loQUOTEx【解析】选A.对于选项A:各组数据都很接近,故y=QUOTE(x2-1)可以近似地表示这些数据的规律,对于选项B:当x=5.15时,y=8.3,与实际数据相差较大,当x=6.126时,y=10.252,与实际数据相差较大,故选项B不合适,对于选项C;当x=4时,y=2,与实际数据相差较大,故选项C不合适,对于选项D:y=loQUOTEx是减函数,显然不符合题意.4.已知θ∈QUOTE,则2sinθ+QUOTE= ()A.sinθ+cosθ B.sinθ-cosθC.3sinθ-cosθ D.3sinθ+cosθ【解析】选A.因为θ∈QUOTE,则cosθ>sinθ,由三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系得,2sinθ+QUOTE=2sinθ+QUOTE=2sinθ+cosθ-sinθ=sinθ+cosθ.5.已知tanα=2,则cos2α= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为cos2α=QUOTE=QUOTE,且tanα=2,所以cos2α=QUOTE=QUOTE.6.若x0=cosx0,则 ()A.x0∈QUOTE B.x0∈QUOTEC.x0∈QUOTE D.x0∈QUOTE【解析】选C.x0=cosx0,方程的根就是函数f(x)=x-cosx的零点,函数是连续函数,并且fQUOTE=QUOTE-cosQUOTE=QUOTE-QUOTE<0,fQUOTE=QUOTE-QUOTE>0,所以fQUOTE·fQUOTE<0,所以函数的零点在QUOTE之间,所以x0∈QUOTE.7.已知函数f(x)=2sin(πx+1),若对于任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为 ()A.2 B.1 C.4 D.QUOTE【解析】选B.由于函数f(x)=2sin(πx+1)的周期为QUOTE=2,对于任意x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,可知f(x1)是函数的最小值,f(x2)是函数的最大值,|x1-x2|的最小值就是函数的半周期QUOTE=1.8.已知f(α)=QUOTE,则fQUOTE的值为 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解题指南】已知关系式右边利用诱导公式化简确定出f(α),即可求出所求式子的值.【解析】选B.f(α)=QUOTE=cosα,则fQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE=QUOTE.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知角α的终边与单位圆交于点QUOTE,则QUOTE= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选AB.因为角α的终边与单位圆交于点QUOTE,所以QUOTE+QUOTE=1,所以y0=±QUOTE,所以tanα=QUOTE=±QUOTE.则当tanα=QUOTE时,QUOTE=QUOTE=QUOTE;当tanα=-QUOTE时,QUOTE=QUOTE=-QUOTE.10.有下列四种变换方式:①向右平移QUOTE个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变);②横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移QUOTE个单位长度;③横坐标变为原来的QUOTE(纵坐标不变),再向右平移QUOTE个单位长度;④向右平移QUOTE个单位长度,再将横坐标变为原来的QUOTE(纵坐标不变).其中能将正弦函数y=sinx的图象变为y=sinQUOTE图象的是 ()A.① B.② C.③ D.④【解题指南】结合选项中的各种变换顺序,求出经过相应的变换后的函数解析式,进行比较即可判断.【解析】选CD.①y=sinx向右平移QUOTE个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)可得y=sinQUOTE;②y=sinx横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移QUOTE个单位长度可得y=sinQUOTE;③y=sinx横坐标变为原来的QUOTE(纵坐标不变),再向右平移QUOTE个单位长度可得y=sinQUOTE;④y=sinx向右平移QUOTE个单位长度,再将横坐标变为原来的QUOTE(纵坐标不变)可得y=sinQUOTE.11.将函数y=3tanQUOTE的图象上所有点的横坐标缩短到原来的QUOTE倍(纵坐标不变),再把得到的图象向右平移QUOTE个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,下列结论正确的是 ()A.函数y=g(x)的图象关于点QUOTE对称B.函数y=g(x)的图象最小正周期为πC.函数y=g(x)的图象在QUOTE上单调递增D.函数y=g(x)的图象关于直线x=QUOTE对称【解析】选AC.函数y=3tanQUOTE的图象上所有点的横坐标缩短到原来的QUOTE倍(纵坐标不变),再把得到的图象向右平移QUOTE个单位长度,得到函数y=g(x)=3tanQUOTE的图象,当x=QUOTE时,gQUOTE=0,故选项A正确.函数的最小正周期为QUOTE,故B错误.由于函数在一个周期为单调递增,故C正确.对于正切型函数不存在对称轴,故D错误.12.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车、其他新能源汽车等.它是未来汽车的发展方向.一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装配流水线,这条流水线生产的新能源汽车数量x(辆)与创造的价值y(万元)之间满足二次函数关系.已知产量为0时,创造的价值也为0;当产量为40000辆时,创造的价值达到最大6000万元.若这家工厂希望利用这条流水线创收达到5625万元,则它可能生产的新能源汽车数量是辆. ()

A.30000 B.40000C.50000 D.60000【解析】选AC.设y=ax2+bx(a≠0),因为当产量为40000辆时,创造的价值达到最大6000万元,所以QUOTE解得QUOTE所以y=-QUOTEx2+QUOTEx,令y=5625得-QUOTEx2+QUOTEx=5625,解得:x=30000或50000.三、填空题(每小题5分,共20分)13.函数f(x)=cosQUOTE在[0,π]的零点个数为.

【解析】因为f(x)=cosQUOTE=0,所以3x+QUOTE=QUOTE+kπ,k∈Z,所以x=QUOTE+QUOTEkπ,k∈Z,当k=0时,x=QUOTE,当k=1时,x=QUOTEπ,当k=2时,x=QUOTEπ,当k=3时,x=QUOTEπ,因为x∈[0,π],所以x=QUOTE,或x=QUOTEπ,或x=QUOTEπ,故零点的个数为3.答案:314.已知函数f(x)=sinQUOTE(ω>0),若当x=QUOTE时,函数f(x)取得最大值,则ω的最小值为.

【解析】当x=QUOTE时,f(x)取得最大值,即fQUOTE=sinQUOTE=1,即QUOTEω-QUOTE=QUOTE+2kπ,k∈Z,即ω=12k+5,k∈Z,由于ω>0,所以当k=0时,ω的最小值为5.答案:515.若函数f(x)=tan(ωx+φ)QUOTE的一个单调区间为QUOTE,且f(0)=QUOTE,则fQUOTE=.

【解析】函数f(x)=tan(ωx+φ)QUOTE的一个单调区间为QUOTE,则T=QUOTE,解得ω=2,由于f(0)=QUOTE,则φ=QUOTE,故f(x)=tanQUOTE,则fQUOTE=tanQUOTE=QUOTE.答案:QUOTE16.(2020·朝阳高一检测)已知函数f(x)=QUOTE其中k≥0.(1)若k=2,则f(x)的最小值为;

(2)关于x的函数y=f(f(x))有两个不同零点,则实数k的取值范围是.

【解析】(1)若k=2,则f(x)=QUOTE作函数f(x)的图象如图所示,显然,当x=0时,函数f(x)取得最小值,且最小值为f(0)=-1.(2)令m=f(x),显然f(m)=0有唯一解m=1,由题意,f(x)=1有两个不同的零点,由图观察可知,k<1,又k≥0,则实数k的取值范围为0≤k<1.答案:(1)-1(2)[0,1)四、解答题(共70分)17.(10分)已知sinθ-2cosθ=0.(1)若θ∈QUOTE,求sinθ,cosθ及tanθ的值;(2)求QUOTE的值.【解析】(1)因为sinθ-2cosθ=0,所以tanθ=2,又因为sin2θ+cos2θ=1,所以5cos2θ=1,因为θ∈QUOTE,所以cosθ=QUOTE,sinθ=QUOTE.(2)QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1.18.(12分)已知函数f(x)=2QUOTEsinQUOTE,其中ω>0.(1)若f(x+θ)是最小正周期为2π的偶函数,求ω和θ的值;(2)若f(x)在QUOTE上是增函数,求ω的最大值.【解析】(1)由f(x)=2QUOTEsinQUOTE,其中ω>0,所以f(x+θ)=2QUOTEsinQUOTE,因为f(x+θ)是最小正周期为2π的偶函数,所以QUOTE=2π,所以ω=QUOTE,因为3ωθ+QUOTE=θ+QUOTE=kπ+QUOTE,k∈Z,即θ=kπ+QUOTE,k∈Z.综上可得,ω=QUOTE,θ=kπ+QUOTE,k∈Z.(2)f(x)=2QUOTEsinQUOTE在QUOTE上是增函数,在QUOTE上,3ωx+QUOTE∈QUOTE,所以ωπ+QUOTE≤QUOTE,所以ω≤QUOTE,即ω的最大值为QUOTE.19.(12分)已知函数f(x)=asinQUOTE+a+b,当x∈QUOTE时,函数f(x)的值域是[-QUOTE,2].(1)求常数a,b的值;(2)当a<0时,设g(x)=fQUOTE,判断函数g(x)在QUOTE上的单调性.【解析】(1)当x∈QUOTE时,2x+QUOTE∈QUOTE,所以sinQUOTE∈QUOTE.①当a>0时,由题意可得即QUOTE解得a=2,b=-2.②当a<0时,由题意可得即QUOTE解得a=-2,b=4-QUOTE.(2)当a<0时,f(x)=-2sinQUOTE+2-QUOTE,所以g(x)=fQUOTE=-2sinQUOTE+2-QUOTE=2sinQUOTE+2-QUOTE;由-QUOTE+2kπ≤2x+QUOTE≤QUOTE+2kπ,k∈Z,解得-QUOTE+kπ≤x≤QUOTE+kπ,k∈Z.当k=0时,由QUOTE∩QUOTE=QUOTE,所以函数g(x)在QUOTE上单调递增.同理,函数g(x)在QUOTE上单调递减.【补偿训练】已知函数f(x)=sinQUOTE,(1)填表并在坐标系中用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象:2x+QUOTE0π2πxf(x)(2)求f(x)的对称轴与对称中心;(3)求f(x)在区间QUOTE上的最大值和最小值以及对应x的值.【解析】(1)2x+QUOTE0π2πx-QUOTEf(x)010-10(2)令2x+QUOTE=QUOTE+kπ,即对称轴为:x=QUOTE+QUOTE(k∈Z).令2x+QUOTE=kπ,即对称中心为:QUOTE(k∈Z).(3)当x∈QUOTE时,2x+QUOTE∈QUOTE,由函数图象性质可有,当2x+QUOTE=-QUOTE,即x=-QUOTE时,f(x)max=fQUOTE=1.当2x+QUOTE=-QUOTE,即x=-QUOTE时,f(x)min=fQUOTE=-QUOTE.20.(12分)(2020·赤峰高一检测)某工厂生产某种产品,每日的成本C(单位:万元)与日产量x(单位:吨)满足函数关系式C=3+x,每日的销售额S(单位:万元)与日产量x的函数关系式S=QUOTE已知每日的利润L=S-C,且当x=2时,L=3.(1)求k的值;(2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大?并求出最大值.【解析】(1)由题意得L=QUOTE因为x=2时,L=3,所以3=2×2+QUOTE+2,所以k=18.(2)当0<x<6时,L=2x+QUOTE+2=2(x-8)+QUOTE+18=-QUOTE+18≤-2QUOTE+18=6,当且仅当2(8-x)=QUOTE,即x=5时取等号.当x≥6时,L=11-x≤5,所以当x=5时,L取得最大值6,所以当日产量为5吨时,每日的利润可以达到最大值6万元.21.(12分)滨海市政府今年加大了招商引资的力度,吸引外资的数量明显增加.一外商计划在滨海市投资两个项目,总投资20亿元,其中甲项目的10年收益额X(单位:亿元)与投资额x(单位:亿元)满足X=8+QUOTEx,乙项目的10年收益额Y(单位:亿元)与投资额y(单位:亿元)满足Y=QUOTEy2-10,并且每个项目至少要投资2亿元.设两个项目的10年收益额之和为f(x).(1)求f(10);(2)如何安排甲、乙两个项目的投资额,才能使这两个项目的10年收益额之和f(x)最大?【解析】(1)由题意可知甲项目投资为10亿元,乙项目投资20-10=10(亿元),所以f(10)=8+QUOTE×10+QUOTE×102-10=28(亿元).(2)由题意可知乙项目的投资额为20-x,且QUOTE解得2≤x≤18,所以f(x)=8+QUOTEx+QUOTE×(20-x)2-10=QUOTE