2023高考数学（人教A文）多考点综合练统计统计案例与概率

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多考点综合练(七)

测试内容：统计、统计案例与概率

(时间：120分钟总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．一个容量为100的样本，其频数分布表如下组别频数(0,10]12(10,20]13(20,30]24(30,40]15(40,50]16(50,60]13(60,70]7则样本数据落在(10,40]上的频率为()A．0.13B．0.39C．0.52D．0.64

解析：由题意可知样本在(10,40]上的频数是：13＋24＋15＝52，由频率＝频数÷总数，可得样本数据落在(10,40]上的频率是0.52.答案：C

2．为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重状况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是()A．50B．47C．48D．52

解析：依题意得，前3个小组的频率总和是1－(0.0375＋0.0125)×5＝0.75，则第2小组的2

频率是0.75×＝0.25，故报考飞行员的学生人数是12÷0.25＝48.

1＋2＋3

答案：C

3．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；由于射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：

57270293714098570347437386369647141746980371623326168045601136619597742467104281据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为()A．0.85B．0.8192C．0.8D．0.75

15

解析：由随机数表可以看出，20次射击中至少击中3次的有15次，故所求概率为P＝＝200.75.答案：D

4．(2023年山东)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的以下数字特征对应一致的是()A．众数B．平均数

C．中位数D．标准差

解析：由众数、平均数、中位数、标准差的定义知：A样本中各数据都加2后，只有标准差不改变，应选D.答案：D

5．(2023年哈尔滨模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是()

A．13,12B．13,13C．12,13D．13,14

解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a3＝8，a1a7＝(a3)2＝64，(8－2d)(8＋4d)＝64，(4－d)(2＋d)＝8,2d－d2＝0，又d≠0，故d＝2，故样本数据为4、6、8、10、12、14、16、18、4＋22×512＋14

20、22，样本的平均数为＝13，中位数为＝13，应选B.

102

答案：B

6．(2023年辽宁大连四所重点中学联考)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，收集数据如下：

零件数x(个)加工时间y(min)1062206830754081508960957010280108^^^^^

设回归方程为y＝bx＋a，则点(a，b)在直线x＋45y－10＝0的()A．左上方B．左下方C．右上方D．右下方

11

解析：依题意得，x＝8×(10＋20＋30＋40＋50＋60＋70＋80)＝45，y＝8×(62＋68＋75^^

＋81＋89＋95＋102＋108)＝85.由于样本中心点(x，y)在回归直线上，所以85＝45b＋a，^^

所以a＋45b＝85>10，因此点(a，b)必位于直线x＋45y－10＝0的右上方，选C.

答案：C

7．(2023年宝鸡模拟)为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的人数是()

A．32B．27C．24D．33

解析：位于(80,100)之间人数所占的比例为5＋611

＝20，

2＋3＋5＋6＋3＋1

11

∴共有人数×60＝33人．

20答案：D

→→→

8．已知P是△ABC所在平面内一点，PB＋PC＋2PA＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC内，则黄豆落在△PBC内的概率是1A.42C.3

1B.31D.2

()

解析：由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．S△PBC1

记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝＝.

S△ABC2答案：D

9．(2023年豫南九校联考)从

x2y2

－＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲mn

线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为()1A.22C.3

4B.73D.4

解析：当m＝－1，n＝－1时，表示焦点在y轴上的双曲线；当m＝2，n＝2,3时，表示焦点在x轴上的双曲线；

当m＝3，n＝2,3时，表示焦点在x轴上的双曲线；当m＝2，n＝－1时，表示椭圆；当m＝3，n＝－1时，表示椭圆．

4

∴方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为P＝7.答案：B

10．(2023年汉中模拟)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是()1A.61C.2

1B.33D.4

??a>bsinA，

解析：要使△ABC有两个解，需满足的条件是?

?b>a?

?ba

＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种状况，所以满足条件的三角形有两个

61

解的概率是＝.

366

答案：A11．(2023年石家庄名校联考)以下命题：①若函数f(x)＝x2－2x＋3，x∈[－2,0]的最小值为2；^^^

②线性回归方程y＝bx＋a对应的直线至少经过其样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点；③命题p：?x∈R，使得x2＋x＋1

解析：由频率分布直方图可知年龄在[25,30)岁的频率是1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2，故可以估计年龄在[25,30)岁的司机约占该市司机总数的20%.答案：20%

三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解允许写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

17．(2023年湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量顾客数(人)结算时间(分钟/人)1至4件x15至8件301.59至12件25213至16件y2.517件及以上103已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为

1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10

＝1.9(分钟)．100

(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟〞，A1，A2，A3分别表示事件“该

顾客一次购物的结算时间为1分钟〞，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟〞，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟〞．将频率视为概率得153

P(A1)＝100＝20，303

P(A2)＝100＝10，251

P(A3)＝＝.1004

由于A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)3317＝20＋10＋4＝10.7

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为10.

18．关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：

使用年限x维修费用y(1)请画出表中数据的散点图；^^^

(2)求线性回归方程y＝bx＋a.

22.233.845.556.567.0

解：(1)由图中所给数据，画散点图如下图．2＋3＋4＋5＋6

(2)x＝＝4，

52.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0y＝＝5，5i＝22＋32＋42＋52＋62＝90，?x2i＝155

?xiyi＝2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7.0＝112.3，

i＝1

5

^i＝1∴b＝

5

?xiyi－5xy

＝i－5x2?x2

112.3－5×4×5

＝1.23，

90－5×42

i＝1

^^

a＝y－bx＝5－1.23×4＝0.08，^

∴线性回归方程为y＝1.23x＋0.08.

19．(2023年江西)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．

(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；(2)求这3点与原点O共面的概率．

解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：

x轴上取2个点的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4种；y轴上取2个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4种；z轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4种．所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．(1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A1B1C1，A2B2C2，共2种．

21

因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1＝20＝10.(2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有：A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12123

种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P2＝＝.

205

20．(2023年山东)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.

(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；

(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．

解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：

(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．

由于每一张卡片被取到的机遇均等，因此这些基才能件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．

3

所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.10

(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．

由于每一张卡片被取到的机遇均等，因此这些基才能件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．8

所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.15

21．(2023年石家庄质检)某工科院校对A，B两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：

女生男生总计专业A123850专业B44650总计1684100(1)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为工科院校中“性别〞与“专业〞有关系呢？(2)从专业B的女生中随机抽取2名，代表该专业参与文艺汇演，求女生甲和女生乙至少一人参与的概率．

注：K2＝

nad－bc2

＋bc＋da＋cb＋da

P(K2≥k0)k00.251.3230.152.0720.102.7060.053.8410.0255.024解：(1)根据列联表中的数据100×12×46－4×382

K2＝16×84×50×50≈4.762，

由于4.762>3.841，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为工科院校中“性别〞与“专业〞有关系．

(2)设4名女生分别为甲、乙、丙、丁，从4名女生中选取2名的基才能件：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，共6个，女生甲和女生乙至少一人参与的基才能件：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，共5个，所以女生甲和女生乙5

至少一人参与的概率P＝.

6

22．(2023年北京)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三