2023考研数学模拟题完整版及参考答案（数一数二数三）

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2023考研数学模拟题完整版及参考答案（数一、数二、数

三通用）

一、选择题(1～8小题，每题4分，共32分．以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．)．．．(1)已知函数f(x)在x?0处可导，且f(0)?0，则limx?0x2f?x??2f?x3?x3=()

(A)?2f??0?.(B)?f??0?.(C)f??0?.(D)0.

(2)设D是第一象限由曲线2xy?1，4xy?1与直线y?x，y?3x围成的平面区域，函数f?x,y?在D上连续，则

?1sin2?12sin2???f?x,y?dxdy?()

D(A)

???d??34f?rcos?,rsin??rdr

(B)

??d??341sin2?12sin2?1sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdr

?(C)

??d??34f?rcos?,rsin??dr

?(D)

??d??341sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??dr

(3)设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得

?100??100?????10?，P2??001?，则A?()单位矩阵，记P1??1?001??010??????1?1(A)PP12．(B)P2P1．(D)P1P2．(C)P2P1．

??0?0(4)设I??40lnsinxdx，J??4lncotxdx，K??4lncosxdx，则I,J,K的大小关

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系是()

(A)I?J?K．(B)I?K?J．(C)J?I?K．(D)K?J?I．

222(5)设二次型f?x1,x2,x3?在正交变换为x?Py下的标准形为2y1，其中?y2?y3P??e1,e2,e3?，若Q??e1,?e3,e2?，则f?x1,x2,x3?在正交变换x?Qy下的标准形为

()

222(A)2y1?y2?y3222(B)2y1?y2?y3222(C)2y1?y2?y3222(D)2y1?y2?y3

?1??111?????（6）设矩阵A?12a，b??d?，若集合???1,2?，则线性方程组Ax?b有无

???14a2??d2?????穷多解的充分必要条件为()

(A)a??,d??(B)a??,d??(C)a??,d??(D)a??,d??

（7）设向量组?1,?2,?3线性无关，向量?1可由?1,?2,?3线性表示，而向量?2不能由

?1,?2,?3线性表示，则对于任意常数k必有

（Ａ）?1,?2,?3,k?1??2线性无关；(B)?1,?2,?3,k?1??2线性相关；（Ｃ）?1,?2,?3,?1?k?2线性无关；(D)?1,?2,?3,?1?k?2线性相关．

?0??0??1???1?????????（8）设?1??0?,?2??1?,?3???1?,?4??1?,其中C1,C2,C3,C4为任意常数，则

?C??C??C??C??1??2??3??4?以下向量组线性相关的为()

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(A)?1,?2,?3(B)?1,?2,?4(C)?1,?3,?4(D)?2,?3,?4

二、填空题：9?14小题,每题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.．．．(9)若函数f(x)满足方程f''(x)?f'(x)?2f(x)?0及f''(x)?f(x)?2e，则f(x)?(10)

?20x2x?x2dx=

z(11)grad(xy+)|(2,1,1)?y(12)设????x,y,z?x?y?z?1,x?0,y?0,z?0?，则??yds?

2?T(13)设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E?XX的秩为(14)设A,B,C是随机变量，A与C互不相容，p?AB??11,P?C??,pABC?23??三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解允许写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.

(15)(此题总分值10分)设函数f?x?在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0?I，由线

y=f?x?在点?x0,f?x0??处的切线与直线x?x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f?0??2，求f?x?的表达式.

(16)(此题总分值10分)已知函数f求f

(17)求函数f(x,y)?xe

?x2?y22曲线C：x2?y2?xy?3，?x,y??x?y?xy，

?x,y?在曲线C上的最大方向导数.

的极值

4n2?4n?32n(18)求幂级数x的收敛域及和函数

2n?1n?0??

（19）设0?xn?3，xn?1?xn(3?xn)（n＝１，２，３，…）．

证明：数列｛xn｝的极限存在，并求此极限．

（20）设函数f(x)在x＝０的某邻域具有二阶连续导数，且

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f(0)f?(0)f??(0)?0．证明：存在惟一的一组实数a,b,c，使得当h?0时，

af(h)?bf(2h)?cf(3h)?f(0)?o(h2)．

（21）已知四阶方阵A?(?1,?2,?3,?4)，?1,?2,?3,?4均为四维列向量，其中?2,?3,?4线性无关，?1?2?2??3．若???1??2??3??4，求线性方程组Ax??的通解．

（22）

（23）

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2023可锐考研数学模拟卷（二）答案

一、选择题

1.(B)．

limx2f?x??2f?x3?x?0x3

2?limxf?x??x2f?0??2f?x3??2f?0?x?0x3

?lim?f?x??f?0?f?x3??f?x?0???20????xx3???f??0??2f??0???f??0?．

故答案选(B).

2.（B）

此题考察将二重积分化成极坐标系下的累次积分先画出D的图形，

?1所以

??f(x,y)dxdy???3d?sin12?f(rcos?,rsin?)rdr，

D4?2sin2?应选（B）

3.(D)．

由于将A的第2列加到第1列得矩阵B，故

?A?100??110???B，??001??即AP?11?B，A?BP1．

由于交换B的第2行和第3行得单位矩阵，故

??100??001??B?E，??010??即PB?E,故B?P?1P?122?2．因此，A?P2P1，应选(D)．

4.(B)．

由于0?x??4时，0?sinx?cosx?1?cotx，

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又因lnx是单调递增的函数，所以lnsinx?lncosx?lncotx．故正确答案为(B)．5.(A)

222由x?Py，故f?xTAx?yT(PTAP)y?2y1.?y2?y3?200???T且PAP??010?.

?00?1????100???由已知可得:Q?P?001??PC

?0?10????200???TTT故有QAQ?C(PAP)C??0?10?

?001???222所以f?xTAx?yT(QTAQ)y?2y1.选（A）?y2?y36.(D)

?111?(A,b)??12a?14a2?1??1111????d???01a?1d?1?2??d??00(a?1)(a?2)(d?1)(d?2)??，

由r(A)?r(A,b)?3，故a?1或a?2，同时d?1或d?2.应选（D）7.A8.C二．填空题:9、e；10、

三、解答题15f(x)?x?33；11、?1,1,1?；12、；13、2；14、24128.4?x设f?x?在点x0,f?x0?处的切线方程为：y?f?x0??f??x0??x?x0?,令y?0，得到x????f?x0??x0，

f??x0?可锐教育官网http://.

故由题意，程，

f?x0?11f?x0???x0?x??4，即f?x0???4，可以转化为一阶微分方22f??x0?y211即y??，可分开变量得到通解为：??x?C，

8y8已知y?0??2，得到C?即f?x??163

由于f?x,y?沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.

1111，因此??x?；2y828.

?x?4fx'?x,y??1?y,fy'?x,y??1?x，

故gradf?x,y???1?y,1?x?，模为此题目转化为对函数g?x,y??的最大值.即为条件极值问题.

为了计算简单，可以转化为对d(x,y)??1?y???1?x?在约束条件

22?1?y???1?x?2222，

?1?y???1?x?在约束条件C:x2?y2?xy?3下

C:x2?y2?xy?3下的最大值.

构造函数：F?x,y,????1?y???1?x???x?y?xy?3

2222???Fx??2?1?x????2x?y??0??Fy??2?1?y????2y?x??0，得到M1?1,1?,M2??1,?1?,M3?2,?1?,M4??1,2?.?22?F???x?y?xy?3?0d?M1??8,d?M2??0,d?M3??9,d?M4??9

所以最大值为9?3.

??f??17解：???f??y?x,y??e?x?222?x2y2?x,y??xe?x?2??y??0?y?xe?x2?y22??x??e?x2?y22?1?x??02

得驻点

P,0?,P2?1,0?1??1

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x?yx?y??2f?x,y???2??2xe?e2?1?x2???x??2??x2x2?y2????f?x,y??e2?1?x2???y???x?y?x2?y2??2f?x,y??22??xey?1??2???y2222根据判断极值的其次充分条件，把P,0?,1??1

把P,0?2?1代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以

P,0?,1??1?12为微小值点，微小值为

f??1,0???e

代入二阶偏导数B=0，A可锐教育官网http://.

21.

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22.由于?i(i?1,2?s)是?1,?2,??s线性组合,又?1,?2,??s是Ax?0的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知?i(i?1,2?s)均为Ax?0的解.从?1,?2,??s是

Ax?0的基础解系,知s?n?r(A).

下面来分析?1,?2,??s线性无关的条件.设k1?1?k2?2???ks?s?0,即

(t1k1?t2ks)?1?(t2k1?t1k2)?2?(t2k2?t1k3)?3???(t2ks?1?t1ks)?s?0.由于

?1,?2,??s线性无关,因此有

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?t1k1?t2ks?0,?tk?tk?0,2112???t2k2?t1k3?0,

?????t2ks?1?t1ks?0.t100?0t2t2t10?00(*)由于系数行列式0t2t1?00?t1?(?1)ss?1s2,

t?????000?t2t1s所以当t1s?(?1)s?1t2?0时,方程组(*)只有零解k1?k2???