2023年初中中考数学第一轮复习第四单元四解直角三角形中常见的基本模型练习

方法技巧训练(四)解直角三角形中常见的基本模型模型1单一直角三角形1．(2023·宜宾)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB，CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B，E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高．(结果保留根号)解：作CH⊥AB于点H，则四边形HBDC为矩形，∴BD＝CH.由题意得，∠ACH＝30°，∠CED＝30°.设CD＝x米，则AH＝(30－x)米．在Rt△AHC中，HC＝eq\f(AH,tan∠ACH)＝eq\r(3)(30－x)，则BD＝CH＝eq\r(3)(30－x)．∴ED＝eq\r(3)(30－x)－10＝30eq\r(3)－eq\r(3)x－10.在Rt△CDE中，eq\f(CD,DE)＝tan∠CED，即＝eq\f(x,30\r(3)－\r(3)x－10)＝eq\f(\r(3),3)，解得x＝15－eq\f(5,3)eq\r(3).答：立柱CD的高为(15－eq\f(5,3)eq\r(3))米．模型2背靠背型及其变式2．(2023·眉山)知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大地方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩(用C表示)开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B，C两地的距离．(参考数据：sin53°≈eq\f(4,5)，cos53°≈eq\f(3,5)，tan53°≈eq\f(4,3))解：过点B作BD⊥AC于点D.由题意，知∠BAD＝60°，则∠ABD＝30°，∠CBD＝53°.在△BCD中，tan∠CBD＝eq\f(CD,BD)，即tan53°＝eq\f(CD,BD)＝eq\f(4,3).设CD＝4x，BD＝3x，则CB＝5x.又∵AC＝13，∴AD＝13－4x.在△ABD中，tan∠DAB＝tan60°＝eq\f(DB,AD)，即eq\f(3x,13－4x)＝eq\r(3)，解得x＝4－eq\r(3).∴BC＝5x＝20－5eq\r(3).答：B，C两地的距离是(20－5eq\r(3))千米．3．(2023·通辽)我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图，其中山脚A，C两地海拔约为1000米，山顶B处的海拔约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°.若在A，C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米．(结果保留整数，参考数据eq\r(3)≈1.732)解：作BD⊥AC于点D.由题意可得BD＝1400－1000＝400(米)．∠BAC＝30°，∠BCA＝45°.在Rt△ABD中，∵tan30°＝eq\f(BD,AD)，即eq\f(400,AD)＝eq\f(\r(3),3).∴AD＝400eq\r(3)米．∵tan45°＝eq\f(BD,CD)，即eq\f(400,CD)＝1.∴CD＝400米．∴AC＝AD＋CD＝400eq\r(3)＋400≈1093(米)．答：隧道最短为1093米．模型3母子型及其变式4．(2023·德州)如图，两座建筑物的水平距离BC为60m．从C点测得A点的仰角α为53°，从A点测得D点的俯角β为37°，求两座建筑物的高度．(参考数据：sin37°≈eq\f(3,5)，cos37°≈eq\f(4,5)，tan37°≈eq\f(3,4)，sim53°≈eq\f(4,5)，cos53°≈eq\f(3,5)，tan53°≈eq\f(4,3))解：过点D作DE⊥AB于点E，则DE＝BC＝60m.在Rt△ABC中，tan53°＝eq\f(AB,BC)，∴eq\f(AB,60)＝eq\f(4,3)∴AB＝80m.在Rt△ADE中，tan37°＝eq\f(AE,DE)，∴eq\f(3,4)＝eq\f(AE,60)，∴AE＝45m.∴CD＝BE＝AB－AE＝35m.答：两座建筑物的高度分别为80m和35m.5．(2023·桂林)如图，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC＝60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向．于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？(参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，eq\r(6)≈2.45，结果精确到0.1小时)解：延长AB交南北轴于点D，则AB⊥CD于点D.∵∠BCD＝45°，BD⊥CD，∴BD＝CD.在Rt△BDC中，∵cos∠BCD＝eq\f(CD,BC)，BC＝60，即cos45°＝eq\f(CD,60)＝eq\f(\r(2),2)，解得CD＝30eq\r(2).∴BD＝CD＝30eq\r(2).在Rt△ADC中，∵tan∠ACD＝eq\f(AD,CD)，即tan60°＝eq\f(AD,30\r(2))＝eq\r(3)，解得AD＝30eq\r(6).∴AB＝AD－BD＝30eq\r(6)－30eq\r(2)＝30(eq\r(6)－eq\r(2))．∴渔船在B处需要等待的时间为eq\f(AB,30)＝eq\f(30（\r(6)－\r(2)）,30)＝eq\r(6)－eq\r(2)≈1.0(小时)．答：渔船在B处需要等待1.0小时．模型4其他模型6．(2023·张家界)2017年9月8日～10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发(AB＝1000米)，沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC.解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.由题意知∠ADE＝30°，∠CDF＝30°，∴AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×1400＝700，DE＝AD·cos30°＝700eq\r(3).∴DF＝EB＝AB－AE＝1000－700＝30