多项式插值与数值逼近

多项式插值与数值逼近第1页，共19页，2023年，2月20日，星期四

实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题： （1）如果函数表达式本身比较复杂，且需要多次重复计算时，计算量会很大；（2）有的函数甚至没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的函数值可能不在该表格中。对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单的函数来近似代替，这就是数值逼近问题。

问题背景第2页，共19页，2023年，2月20日，星期四§1插值问题

/*InterpolationProblem*/（插值的定义）已知定义于区间上的实值函数在个互异节点

处的函数值，若函数集合中的函数满足则称为在函数集合中关于节点的一个插值函数，并称为被插值函数,[a,b]为插值区间，为插值节点，（*）式为插值条件。设外插法：内插法：用计算被插值函数在点处的近似值用计算被插值函数在点处的近似值第3页，共19页，2023年，2月20日，星期四插值类型代数插值：集合为多项式函数集x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)几何意义：有理插值：集合为有理分式函数集三角插值：集合为三角函数集第4页，共19页，2023年，2月20日，星期四截断误差插值余项设在区间[a,b]上连续，在区间[a,b]上存在,

是满足插值条件（*）的不超过n次的插值多项式，则对存在，满足其中。且当在区间[a,b]有上界时，有代数插值的插值余项/*Remainder*/第5页，共19页，2023年，2月20日，星期四§2代数插值多项式的构造方法一、拉格朗日多项式

/*LagrangePolynomial*/niyxPiin,...,0,)(==求n

次多项式使得条件：无重合节点，即n=1已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求使得111001)(,)(yxPyxP==可见P1(x)是过(x0

,y0)和(x1,y1

)两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl称为拉氏基函数

/*LagrangeBasis*/，满足条件li(xj)=ij第6页，共19页，2023年，2月20日，星期四与有关，而与无关n

1希望找到li(x)，i=0,…,n

使得

li(xj)=ij；然后令==niiinyxlxP0)()(，则显然有Pn(xi)=

yi

。li(x)每个li(x)

有n

个根x0…

xi-1

、

xi+1…xn-==jijiiiixxCxl)(11)(LagrangePolynomial节点f第7页，共19页，2023年，2月20日，星期四例如也是一个插值多项式，其中可以是任意多项式。（2）Lagrange插值多项式结构对称，形式简单.（3）误差估计注：（1）若不将多项式次数限制为n

，则插值多项式不唯一。（4）当插值节点增加时，拉氏基函数需要重新计算，

n较大时，计算量非常大,故常用于理论分析。第8页，共19页，2023年，2月20日，星期四§3埃尔米特插值

/*HermiteInterpolation*/不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。即：要求插值函数满足，注：

N

个条件可以确定次多项式。N

1要求在1个节点x0处直到m0阶导数都重合的插值多项式即为Taylor多项式其余项为一般只考虑与的值。第9页，共19页，2023年，2月20日，星期四§4分段插值

/*piecewiseInterpolation*/一、高次插值评述1、从插值余项角度分析为了提高插值精度，一般来说应该增加插值节点的个数，这从插值余项的表达式也可以看出，但不能简单地这样认为，原因有三个：插值余项与节点的分布有关；余项公式成立的前提条件是有足够阶连续导数（即函数足够光滑），但随着节点个数的增加，这个条件一般很难成立；随着节点个数的增加，可能会增大。随着节点个数增加到某个值，误差反而会增加。第10页，共19页，2023年，2月20日，星期四注意下面图中曲线的变化情况！例3：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

越大，端点附近误差越大，称为Runge

现象Ln(x)

f(x)第11页，共19页，2023年，2月20日，星期四二、分段插值的构造方法将插值区间划分为若干个小区间（通常取等距划分）采用低次插值在区间上得到分段函数第12页，共19页，2023年，2月20日，星期四分段线性插值基函数(1)、分段线性插值

/*piecewiselinearinterpolation*/在每个区间上，用1阶多项式

(直线)逼近

f(x):第13页，共19页，2023年，2月20日，星期四(2)分段二次插值

/*piecewiselinearinterpolation*/在每个区间上，用2次多项式

(抛物线)逼近

f(x):分段二次插值基函数第14页，共19页，2023年，2月20日，星期四§5三次样条插值/*CubicSplineInterpolation*/

许多实际工程技术中一般对精度要求非常高，（1）要求近似曲线在节点连续；（2）要求近似曲线在节点处导数连续，即充分光滑。

分段插值不能保证节点的光滑性，而Hermite插值需要知道节点处的导数值，实际中无法确定。

问题背景第15页，共19页，2023年，2月20日，星期四一、三次样条函数的力学背景

在工程技术和数学应用中经常遇到这样一类数据处理问题：在平面上给定了一组有序的离散点列，要求用一条光滑曲线把这些点按次序连接起来。........压铁弹性木条.数据点形象地称之为样条曲线第16页，共19页，2023年，2月20日，星期四二、三次样条函数定义及求法设在区间上给定一个分割，定义在上的函数如果满足下列条件：(1)在每个小区间内是三次多项式(2)在整个区间上，为二阶连续可导函数，即在每个节点处则称为三次样条函数第17页，共19页，2023年，2月20日，星期四假设现在已知函数在节点处的函数值：如果三次样条函数满足则称为插值于的三次样条函数，简称三次样条插值函数。如何求