基本不等式原理及其变通

基本不等式原理及其变通第1页，共40页，2023年，2月20日，星期四问题提出1.不等式有许多基本性质，同时还有一些显而易见的结论，如a2≥0，|a|≥0，|a|≥a等，这些性质都是研究不等式问题的理论依据.在实际应用中，我们还需要有相应的不等式原理.第2页，共40页，2023年，2月20日，星期四2.如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.在这个图案中既有一些相等关系，也有一些不等关系，对这些等与不等的关系，我们作些相应研究.第3页，共40页，2023年，2月20日，星期四基本不等式原理及其变通第4页，共40页，2023年，2月20日，星期四探究（一）:基本不等式的原理|a－b|

思考1：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形ABCD和EFGH的边长分别为多少？ABCDEFGH第5页，共40页，2023年，2月20日，星期四思考2：图中正方形ABCD的面积与4个直角三角形的面积之和有什么不等关系？由此可得到一个什么不等式？

a2＋b2≥2ab

思考3：从图形分析,上述不等式在什么情况下取等号？当直角三角形为等腰直角三角形，即a＝b时，a2＋b2＝2ab.ABCDEFGH第6页，共40页，2023年，2月20日，星期四思考4：在上面的图形背景中，a，b都是正数，那么当a，b∈R时，不等式a2＋b2≥2ab成立吗？为什么？

一般地，对于任意实数a，b，有:a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立.ABCDEFGH第7页，共40页，2023年，2月20日，星期四思考5：特别地，如果a＞0，b＞0，我们用、分别代替a、b，可得什么不等式?当且仅当a＝b时等号成立.第8页，共40页，2023年，2月20日，星期四思考6：不等式称为基本不等式，它沟通了两个正数的和与积的不等关系，在实际问题中有广泛的应用，你能用分析法证明吗？第9页，共40页，2023年，2月20日，星期四思考7：我们称和分别为a，b的算术平均数和几何平均数，如何用文字语言表述基本不等式？

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

第10页，共40页，2023年，2月20日，星期四思考8：如图，在直角三角形ABC中，CD为斜边上的高，CO为斜边上中线，你能利用这个图形对基本不等式作出几何解释吗？ABCDO第11页，共40页，2023年，2月20日，星期四探究（二）：基本不等式的变通思考1：将基本不等式两边平方可得什么结论？它与不等式a2＋b2≥2ab有什么内在联系？第12页，共40页，2023年，2月20日，星期四思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有什么特色？

它反映了两个实数的平方和与它们的和的平方的不等关系，称为平方平均不等式，其数学意义是：两个实数的平方的算术平均数不小于它们的算术平均数的平方.第13页，共40页，2023年，2月20日，星期四思考3:将不等式两边同乘以，可变通出一些什么结论？第14页，共40页，2023年，2月20日，星期四理论迁移

例1已知x、y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3

例2已知a2＋b2＋c2＝1，求证：(a＋b＋c)3≤3.第15页，共40页，2023年，2月20日，星期四小结作业2.基本不等式有多种形式，应用时具有很大的灵活性，既可直接应用也可变式应用.一般地，遇到和与积，平方和与积，平方和与和的平方等不等式问题时，常利用基本不等式处理1.不等式a2＋b2≥2ab与都是基本不等式，它们成立的条件不同，前者a、b可为任意实数，后者要求a、b都是正数，但二者等号成立的条件相同.第16页，共40页，2023年，2月20日，星期四3.当a、b都是正数时，有不等式链

作业：

P100习题3.4A组：1，2.第17页，共40页，2023年，2月20日，星期四第二课时

3.4基本不等式第18页，共40页，2023年，2月20日，星期四问题提出1.基本不等式有哪几种基本形式？（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R），当且仅当a＝b时等号成立；（2）(a＞0，b＞0)，当且仅当a＝b时等号成立；（3）(a＞0，b＞0)，当且仅当a＝b时等号成立；第19页，共40页，2023年，2月20日，星期四2.函数的最大值和最小值的含义分别是什么？3.在一定条件下，利用基本不等式可以求出变量的极端值，因此，利用基本不等式求最值就成为一种重要的数学方法.最大值:f(x)≤M，且等号成立;最小值:f(x)≥m，且等号成立.第20页，共40页，2023年，2月20日，星期四基本不等式与最值第21页，共40页，2023年，2月20日，星期四探究（一）：基本不等式与最值原理思考1：在基本不等式

(a＞0，b＞0)中，如果a·b＝P为定值，能得到什么原理？原理一：若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等时它们的和取最小值.第22页，共40页，2023年，2月20日，星期四思考2：在基本不等式

(a＞0，b＞0)中，如果a＋b＝S为定值，又能得到什么原理？原理二：若两个正数的和为定值，则当这两个正数相等时它们的积取最大值.第23页，共40页，2023年，2月20日，星期四思考3：能否由得函数的最小值是2吗？思考4：当x≥4时,能否由得函数的最小值是4吗？第24页，共40页，2023年，2月20日，星期四思考6：利用基本不等式求两个变量的和的最小值(或积的最大值)，应具备哪些基本条件？思考5：当x∈(0，π)时，能否由，得函数的最小值是吗？

一正二定三相等第25页，共40页，2023年，2月20日，星期四探究（二）基本不等式求最值的实际应用【背景材料】在农村，为防止家畜家禽对菜地的破坏，常用篱笆围成一个菜园.如果菜园的面积一定，为节省材料，就应考虑所用篱笆最短的问题；如果所用篱笆的长度一定，为了充分利用材料，就用考虑所围菜园面积最大的问题第26页，共40页，2023年，2月20日，星期四思考1：如果用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，所用篱笆的总长度是定值？还是变量？思考2：如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短的篱笆是40m.第27页，共40页，2023年，2月20日，星期四思考3：用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，所围成的矩形菜园的面积是定值？还是变量？思考4:如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使菜园的面积最大，最大面积是多少?矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2...第28页，共40页，2023年，2月20日，星期四思考5：若矩形菜园的一边靠墙，另外三边用一段长为36m的篱笆围成，如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使菜园的面积最大，最大面积是多少?..矩形的长为18m，宽为9m时，菜园的面积最大，最大面积是162m2.第29页，共40页，2023年，2月20日，星期四理论迁移

例1某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？当水池底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.第30页，共40页，2023年，2月20日，星期四

例2某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要购买面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运输费900元.问该厂每隔多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？最少费用是多少？每隔10天购买一次面粉，能使平均每天所支付的费用最少，最少费用是10989元.第31页，共40页，2023年，2月20日，星期四1.用基本不等式求函数的最值，是一种很重要的方法，应用时要注意下列三个条件：(1)函数解析式中各变量均为正数；(2)含变量的两项的和或积为定值；(3)含变量的两项可以相等，即“一正二定三相等”.小结作业第32页，共40页，2023年，2月20日，星期四2.在实际问题中求最值时，一般先要设定字母表示相关变量，再建立变量之间的函数关系，然后求最值.对形如：x＋y，xy，x2＋y2,等结构的最值问题，常用基本不等式求解.第33页，共40页，2023年，2月20日，星期四作业：P100练习：3，4.P101习题3.4A组：3，4.第34页，共40页，2023年，2月20日，星期四第三课时

3.4基本不等式第35页，共40页，2023年，2月20日，星期四1.基本不等式：（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R），当且仅当a＝b时等号成立；一般形式：（2）(a＞0，b＞0)，当且仅当a＝b时等号成立；（3）(a＞0，b＞0)，当且仅当a＝b时等号成立知识整理第36页，共40页，2023年，2月20日，星期四2.最值原理：（1）若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等时它们的和取最小值.（2）若两个正数的和为定值，则当这两个正数相等时它们的积取最大值.（3）环境条件：一正二定三相等.第37页，共40页，2023年，2月20日，星期四利用基本不等式求最值第38页，共40页，2023年，