初中数学每日一题练习题（含答案）

星期一(三角)2020年____月____日【题目1】(本小题满分12分)已知a，b分别是△ABC内角A，B的对边，且bsin2A＝eq\r(3)acosAsinB，函数f(x)＝sinAcos2x－sin2eq\f(A,2)sin2x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)求A；(2)求函数f(x)的值域.星期二(数列)2020年____月____日【题目2】(本小题满分12分)已知递增数列{an}，a1＝2，其前n项和为Sn，且满足3(Sn＋Sn－1)＝aeq\o\al(2,n)＋2(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足log2eq\f(bn,an)＝n，求其前n项和Tn.

星期三(立体几何)2020年____月____日【题目3】(本小题满分12分)如图在直角梯形BB1C1C中，∠CC1B1＝90°，BB1∥CC1，CC1＝B1C1＝2BB1＝2，D是CC1的中点.四边形AA1C1C可以通过直角梯形BB1C1C以CC1为轴旋转得到，且二面角B1－CC1－A1为120°.(1)若点E是线段A1B1上的动点，求证：DE∥平面ABC；(2)求二面角B－AC－A1的余弦值.星期四(概率统计)2020年____月____日【题目4】(本小题满分12分)随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”(无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志)已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室.假设该品牌植物油每瓶含有机物A的概率为p(0<p<1)，需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A，若化验结果呈阳性则含A，呈阴性则不含A.若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验.(1)若p＝eq\f(1,3)，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；(2)现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合(即化验次数的期望值更小)，并说明理由.星期五(函数与导数)2020年____月____日【题目5】(本小题满分12分)设f(x)＝ex(lnx－a)(e是自然对数的底数，e＝2.71828…).(1)若y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝2ex＋b，求a，b的值.(2)若函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上单调递减，求实数a的取值范围.星期六(解析几何)2020年____月____日【题目6】(本小题满分12分)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，设点F1，F2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A，B，P为椭圆C上三点，满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(OB,\s\up6(→))，记线段AB中点Q的轨迹为E，若直线l：y＝x＋1与轨迹E交于M，N两点，求|MN|.星期日(选考内容)2020年____月____日【题目7】在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.1.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)，若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0.(1)求直线l与曲线C的普通方程；(2)已知直线l与曲线C交于A，B两点，设M(2，0)，求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,|MA|)－\f(1,|MB|)))的值.2.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲.设函数f(x)＝|2x＋3|－|2x－a|，a∈R.(1)若不等式f(x)≤－5的解集非空，求实数a的取值范围；(2)若函数y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))对称，求实数a的值.星期一(三角)2020年____月____日【题目1】(本小题满分12分)已知a，b分别是△ABC内角A，B的对边，且bsin2A＝eq\r(3)acosAsinB，函数f(x)＝sinAcos2x－sin2eq\f(A,2)sin2x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)求A；(2)求函数f(x)的值域.解(1)在△ABC中，bsin2A＝eq\r(3)acosAsinB，由正弦定理得，sinBsin2A＝eq\r(3)sinAcosAsinB，又A，B为△ABC的内角，故sinAsinB≠0，∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\r(3)，又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)由A＝eq\f(π,3)，∴函数f(x)＝sinAcos2x－sin2eq\f(A,2)sin2x＝eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(1,4)sin2x＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(1＋cos2x,2)－eq\f(1,2)·eq\f(1,2)sin2x＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin2x－\f(\r(3),2)cos2x))＋eq\f(\r(3),4)＝－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),4)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，∴－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤1，∴eq\f(\r(3)－2,4)≤－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),4)≤eq\f(\r(3),2)，所以f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－2,4)，\f(\r(3),2))).星期二(数列)2020年____月____日【题目2】(本小题满分12分)已知递增数列{an}，a1＝2，其前n项和为Sn，且满足3(Sn＋Sn－1)＝aeq\o\al(2,n)＋2(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足log2eq\f(bn,an)＝n，求其前n项和Tn.解(1)因为3(Sn＋Sn－1)＝aeq\o\al(2,n)＋2(n≥2)，所以3(Sn－1＋Sn－2)＝aeq\o\al(2,n－1)＋2(n≥3).两式相减得3(an＋an－1)＝(an＋an－1)(an－an－1)，由递增数列{an}，a1＝2，得an－an－1＝3(n≥3).由题意得3(a1＋a2＋a1)＝aeq\o\al(2,2)＋2，且3(a1＋a2＋a3＋a1＋a2)＝aeq\o\al(2,3)＋2，解之得a2＝5，a3＝8.由等差数列的通项公式得an＝2＋3(n－1)＝3n－1，上式对n＝1，2也成立，故数列{an}的通项公式为an＝3n－1.(2)数列{bn}满足log2eq\f(bn,an)＝n，可得bn＝(3n－1)·2n，前n项和Tn＝2·2＋5·22＋8·23＋…＋(3n－1)·2n，2Tn＝2·22＋5·23＋8·24＋…＋(3n－1)·2n＋1，两式相减得，－Tn＝4＋3(22＋23＋…＋2n)－(3n－1)·2n＋1＝4＋3·eq\f(4（1－2n－1）,1－2)－(3n－1)·2n＋1，化简可得Tn＝(3n－4)·2n＋1＋8.

星期三(立体几何)2020年____月____日【题目3】(本小题满分12分)如图在直角梯形BB1C1C中，∠CC1B1＝90°，BB1∥CC1，CC1＝B1C1＝2BB1＝2，D是CC1的中点.四边形AA1C1C可以通过直角梯形BB1C1C以CC1为轴旋转得到，且二面角B1－CC1－A1为120°.(1)若点E是线段A1B1上的动点，求证：DE∥平面ABC；(2)求二面角B－AC－A1的余弦值.(1)证明如图所示，连接B1D，DA1.由已知可得BB1綉eq\f(1,2)CC1綉CD，∴四边形B1BCD是平行四边形，∴B1D∥BC.又BC⊂平面ABC，B1D⊄平面ABC；∴B1D∥平面ABC.同理可得DA1∥平面ABC.又A1D∩DB1＝D，∴平面B1DA1∥平面ABC.且DE⊂平面B1DA1，∴DE∥平面ABC.(2)解作C1M⊥C1B1交A1B1于点M，分别以C1M，C1B1，C1C为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系.则C1(0，0，0)，A1(eq\r(3)，－1，0)，B(0，2，1)，C(0，0，2)，A(eq\r(3)，－1，1).eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，－1，－1)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0，2，－1)，eq\o(C1C,\s\up6(→))＝(0，0，2).设平面ABC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(CA,\s\up6(→))＝0，,m·\o(CB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x1－y1－z1＝0，,2y1－z1＝0.))取m＝(eq\r(3)，1，2).设平面A1ACC1的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(CA,\s\up6(→))＝0，,n·\o(C1C,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x2－y2－z2＝0，,2z2＝0.))取n＝(1，eq\r(3)，0).∴cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(2\r(3),\r(8)×\r(4))＝eq\f(\r(6),4).∴二面角B－AC－A1的余弦值是eq\f(\r(6),4).星期四(概率统计)2020年____月____日【题目4】(本小题满分12分)随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”(无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志)已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室.假设该品牌植物油每瓶含有机物A的概率为p(0<p<1)，需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A，若化验结果呈阳性则含A，呈阴性则不含A.若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验.(1)若p＝eq\f(1,3)，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；(2)现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合(即化验次数的期望值更小)，并说明理由.解(1)设X为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，所求的概率为P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(19,27)，所以3瓶该种植物油的混合油样呈阳性的概率为eq\f(19,27).(2)设q＝1－p，则0<q<1.方案一：设所需化验的次数为Y，则Y的所有可能取值为2，4，6次，P(Y＝2)＝q4，P(Y＝4)＝Ceq\o\al(1,2)(1－q2)q2，P(Y＝6)＝(1－q2)2，E(Y)＝2×q4＋4×Ceq\o\al(1,2)(1－q2)q2＋6×(1－q2)2＝6－4q2.方案二：设所需化验的次数为Z，则Z的所有可能取值为1，5次，P(Z＝1)＝q4，P(Z＝5)＝1－q4，E(Z)＝1×q4＋5×(1－q4)＝5－4q4.因为E(Y)－E(Z)＝6－4q2－(5－4q4)＝(2q2－1)2≥0，即E(Y)≥E(Z)，所以方案二更适合.星期五(函数与导数)2020年____月____日【题目5】(本小题满分12分)设f(x)＝ex(lnx－a)(e是自然对数的底数，e＝2.71828…).(1)若y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝2ex＋b，求a，b的值.(2)若函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上单调递减，求实数a的取值范围.解(1)因为f′(x)＝ex(lnx－a)＋ex·eq\f(1,x)＝exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)－a))，所以由题意，得f′(1)＝e(1－a)＝2e，解得a＝－1.所以f(1)＝e(ln1－a)＝e，由切点(1，e)在切线y＝2ex＋b上，得e＝2e＋b，b＝－e，故a＝－1，b＝－e.(2)由题意可得f′(x)＝exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)－a))≤0在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上恒成立.因为ex>0，所以只需lnx＋eq\f(1,x)－a≤0，即a≥lnx＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上恒成立.令g(x)＝lnx＋eq\f(1,x).因为g′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x2)＝eq\f(x－1,x2)，由g′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))1(1，e)g′(x)－0＋g(x)极小值geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝lneq\f(1,e)＋e＝e－1，g(e)＝1＋eq\f(1,e)，因为e－1>1＋eq\f(1,e)，所以g(x)max＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝e－1，所以a≥e－1.故实数a的取值范围是[e－1，＋∞).星期六(解析几何)2020年____月____日【题目6】(本小题满分12分)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，设点F1，F2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A，B，P为椭圆C上三点，满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(OB,\s\up6(→))，记线段AB中点Q的轨迹为E，若直线l：y＝x＋1与轨迹E交于M，N两点，求|MN|.解(1)由已知得2c＝4，b＝2，故c＝2，a＝2eq\r(2).故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)x1＋\f(4,5)x2，\f(3,5)y1＋\f(4,5)y2))，故点P坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)x1＋\f(4,5)x2，\f(3,5)y1＋\f(4,5)y2)).由于点P在椭圆C上，故有eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)x1＋\f(4,5)x2))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)y1＋\f(4,5)y2))eq\s\up12(2)＝1，eq\f(9,25)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),8)＋\f(yeq\o\al(2,1),4)))＋eq\f(16,25)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,2),8)＋\f(yeq\o\al(2,2),4)))＋eq\f(24,25)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1x2,8)＋\f(y1y2,4)))＝1，即eq\f(9,25)＋eq\f(16,25)＋eq\f(24,25)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1x2,8)＋\f(y1y2,4)))＝1，即eq\f(x1x2,8)＋eq\f(y1y2,4)＝0.令线段AB的中点坐标为Q(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))因A，B在椭圆C上，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),8)＋\f(yeq\o\al(2,1),4)＝1，,\f(xeq\o\al(2,2),8)＋\f(yeq\o\al(2,2),4)＝1，))相加有eq\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2),8)＋eq\f(yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2),4)＝2.故eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,8)＋eq\f(（y1＋y2）2－2y1y2,4)＝2，由于eq\f(x1x2,8)＋eq\f(y1y2,4)＝0，故eq\f(（2x）2,8)＋eq\f(（2y）2,4)＝2，即Q点的轨迹E的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，,y＝x＋1，))得3x2＋4x－2＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则x3＋x4＝－eq\f(4,3)，x3·x4＝－eq\f(2,3).故|MN|＝eq\r(1＋k2)|x3－x4|＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x3＋x4）2－4x3x4)＝eq\f(4\r(5),3).法二设A(2eq\r(2)cosα，2sinα)，B(2eq\r(2)cosβ，2sinβ)，∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6\r(2)cosα＋8\r(2)cosβ,5)，\f(6sinα＋8sinβ,5)))，故点P坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6\r(2)cosα＋8\r(2)cosβ,5)，\f(6sinα＋8sinβ,5))).∵点P在椭圆上，∴(3cosα＋4cosβ)2＋(3sinα＋4sinβ)2＝25，∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，∴cos(α－β)＝0，∴α－β＝eq\f(π,2)，∴B(2eq\r(2)sinα，－2cosα)，∴AB中点Q的坐标为(eq\r(2)cosα＋eq\r(2)sinα，sinα－cosα)，设Q的点坐标为(x，y)，∴x＝eq\r(2)cosα＋eq\r(2)sinα，y＝sinα－cosα，∴eq\f(x2,2)＝cos2α＋2cosαsinα＋sin2α＝1＋2cosαsinα，y2＝cos2α－2cosαsinα＋sin2α＝1－2cosαsinα，∴eq\f(x2,2)＋y2＝2，即线段AB中点Q的轨迹为E的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.设M，N两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，,y＝x＋1，))消y，整理得3x2＋4x－2＝0，∴x1＋x2＝－eq\f(4,3)，x1x2＝－eq\f(2,3)，∴|MN|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(2)×eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(4\r(5),3).星期日(选考内容)2020年____月____日【题目7】在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.1.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参