数列求和 获奖教学设计

第七讲数列求和★★★高考在考什么【考题回放】1.设，则等于（D） A. B.C. D.2.等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（B）A．9B．10C．11D．123.）数列的前项和为，若，则等于（B）A．1B．C．D．4.设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若EQ\f(S\S\do(3),S\S\do(6))＝EQ\f(1,3)，则EQ\f(S\S\do(6),S\S\do(12))＝\f(3,10)\f(1,3)\f(1,8)\f(1,9)解析:由等差数列的求和公式可得且所以,故选A5.已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（）A．55B．70C．85D．100解：数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于=，，∴=，选C.6.对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是解：，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得an=(n+1)2n,令bn=.数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2★★★高考要考什么1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。公比含字母时一定要讨论(理)无穷递缩等比数列时，2．错位相减法求和：如：3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。4．合并求和：如：求的和。5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项：6．公式法求和7．倒序相加法求和★★突破重难点【范例1】设数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）设，求数列的前项和．解(I)验证时也满足上式，(II)，①②①-②：，【变式】已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式；（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）.因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.【范例2】已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．（=1\*ROMANI）求，，，；（=2\*ROMANII）求数列的前项和；（Ⅲ）(理)记，，求证：．（I）解：方程的两个根为，，当时，，所以；当时，，，所以；当时，，，所以时；当时，，，所以．（II）解：．（III）证明：，所以，．当时，，，同时，．综上，当时，．【变式】在数列中，，，．（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．解、（Ⅰ）证明：由题设，得，．又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为．所以数列的前项和．（Ⅲ）证明：对任意的，．所以不等式，对任意皆成立．【点睛】本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．【范例3】已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.解：（Ⅰ）由已知， ，两边取对数得 ，即是公比为2的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知 （*） = 由（*）式得（Ⅲ） 又又.【变式】已知数列满足，并且（为非零参数，）．（Ⅰ）若成等比数列，求参数的值；（Ⅱ