川省威远自强中学09-10学年高二下学期期末考试

自强中学2022－2022学年度下期期末考试高二数学（理）2010-(全卷满分为150分，完成时间为120分钟)一、选择题：(共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1．若集合，，则=（）A.B.C.D.2．如果为纯虚数，那么实数的值为（）A.B.C.D.或3．（）A．B．C．D．4．若函数与的定义域均为，则（）A．与均为偶函数B．为偶函数，为奇函数C．与均为奇函数D．为奇函数，为偶函数5．已知随机变量，且，则（）A．B．C．D．6．从总体容量为的一批零件中用分层抽样抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的机率为，则等于（）A.B.C.D.7．将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）A.B.C.D.8.已知在点处连续，则的值是（）A.B.C.D.9．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，||，则；②若，则||；③若||，||，则||；④若||，||，，则；其中正确命题的序号是：（）A.①②B.②③C.③④D.①④10．设是双曲线的两个焦点，点在此双曲线上，且，则等于（）A.B.C.D.11．已知，若，则是直角三角形的概率是（）A.B.C.D.12．棱长为2的正四面体ABCD的外接球的球心O到平面BCD的距离等于 （） A． B． C． D．二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案直接写答题卡横线上)13．的展开式中的第四项是．14．若式中变量满足条件，则的最大值是．15．定义一种运算“*”，它对于正整数满足以下运算性质：（1）；（2），则等于．16．定义在上的函数满足，且函数为奇函数．给出下列结论：①函数的最小正周期是；②函数的的图像关于点对称；③函数的的图像关于直线对称；④函数的最大值为．其中正确结论的序号是（写出所有你认为正确的结论的序号）

三、解答题：(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)17．如图点是单位圆上的两点，点分别在第一、二象限，点C是圆与轴正半轴的交点，△是正三角形，若点A的坐标为，记．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值。18．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以分别表示取出次品和正品的个数.（I）求的分布列，期望及方差；（II）求的分布列，期望及方差.19．如图，四面体中，、分别是、的中点，,ACDACDOBE（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）求点到平面的距离．20．设正数数列为等比数列，．（1）求（2）记,证明:对任意的,有成立.21．如图，为双曲线C：的右焦点。为双曲线右支上一点，且位于轴上方，为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，.OFxyPMH（OFxyPMH（Ⅱ）当时，经过焦点且平行于的直线交双曲线于点，若，求此时的双曲线方程.22．已知分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量，设都是实数，向量，向量，并且满足．(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设经过点并且倾斜角等于的直线与(Ⅰ)中的轨迹交于两点，是坐标原点，当三角形的面积取到最大值时，求的值．

自强中学2022－2022学年度下期期中考试高二数学（理）参考答案2010-一、选择题：CCCBBACBDCCB二、填空题：13．14．1715．16．②③三、解答题：(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)17.解：（Ⅰ）∵A的坐标为，根据三角函数的定义可知 ……3分 （Ⅱ）∵△AOB为正△，∴∠AOB=60°……7分 ∴cos∠COB=cos(α+60°)=cosαcos60°-sinαsin60° ∴∠COB ……11分 18.解（I）的可能值为0，1，2. 若=0表示没有取出次品，其概率为 同理 ∴的分布为012P ……6分（II）的可能值为1，2，3，显然 . ∴的分布为123p …………12分19.（Ⅰ）．证明：连结OC.……1分同理 在中，由已知可得即…3分 ∴平面．…4分（Ⅱ）法（一）：取AC的中点M，连接ME，OE，OM，则AB||ME，OE||DC或其补角就是AB与CD所成的角.…5分ACDOBEＭACDOBEＭ由余弦定理得：AB与CD所成的角的余弦值为.…8分ACDOBEACDOBEyzx坐标系，则……5分，………7分∴异面直线AB与CD所成角余弦的大小为．………8分（Ⅲ）法（一）设E到平面ACD的距离为h，由E是BC的中点得B到平面ACD的距离为2h.………9分又经计算得：……………10分E到平面ACD的距离为.……………12分法（二）解：设平面ACD的法向量为则，∴，令得是平面ACD的一个法向量．……………10分又∴点E到平面ACD的距离 ．……………12分20．(１)解答：可知又,,.……5分（2）证明：①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.②假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.…………12分21．解：（1）∵四边形是平形四边形，∴作双曲线的右准线交于，则，又，整理得……5分（2）当时，，双曲线为四边形是菱形，所以直线的斜率为，则直线的方程为，代入到双曲线方程得：又，由得：，解得，则，所以为所求．…………12分22．解：(Ⅰ)∵，，且，∴．∴点到点，的距离之和为4，而，所以点的轨迹是以