【必考题】高中必修五数学上期末试卷(含答案)

【必考题】高中必修五数学上期末试卷(含答案)一、选择题TOC\o"1-5"\h\z/ 1、〃-11.已知数列｛4｝的前〃项和为S〃，且。“=4+—上，若对任意〃eN"都有k2/lK〃(S“-4〃)<3成立，则实数〃的取值范围是( )9 oA.(2,3) B.[2,3 C.2,— D.2,—\o"CurrentDocument"・一 J.在AA5C中M也c分别为角46,C所对的边,若。=2从3其，则此三角形一定是D.等腰三角形或直角A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.D.等腰三角形或直角三角形.已知等比数列｛%｝的公比为正数，且%・。9=2%2，%=1，则％=()A.- B.2 C.J2 D.巫2 2.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为A.乙丑年 B.丙寅年 C.丁卯年 D.戊辰年y<4.己知点尸(x,y)是平面区域“一><。 内的动点，点A(L—1),。为坐标原点，设x>w(y-4)|丽-4西的最小值为若恒成立，则实数机的取值范围是()1D.--,+oo2.已知等差数列｛q｝满足生+%=4,/+。5=10,则它的前10项的和S】o=()A.138 B.135 C.95 D.23.己知等差数列{q},前〃项和为5“，%+。6=28,则耳。=()A.140 B.280 C.168 D.56x+2y>0

9r.设Z=2x+y,其中x,〉满足,若z的最小值是-12,则z的最大值为0<y<k

TOC\o"1-5"\h\zA.-9 B.12 C.-12 D.9X>1.己知变量x,y满足约束条件,x+y<3 ,则Z=2x+y的最小值为( )x-2y-3<0A.1 B.2 C.3 D.6.在R上定义运算因：A区］5二4（1—5）,若不等式（X—。）区］（x+〃）<l对任意的实数X£R恒成立，则实数。的取值范围是（）B.0<a<2C.——<a<-B.0<a<2C.——<a<-D.——<a<-x+y-7^0,.设第y满足约束条件<x-3y+K。，则Z=2x-），的最大值为（ ）.3x-y_5》0,A.10B.8C.3A.10B.8C.3D.2.AA5C中有.：①若4>6，则sinA>smB；②若s%2A=s%25,则AASC一定为等腰三角形；③若4CQS5—〃cosA=c,则A48C一定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（）A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题（x+4）（y+2）.设x>0,y>0,x+2y=4,则^ 1——^的最小值为 .■^.关于x的不等式。炉-3H4W〃的解集为口，b］,则〃一。= 4x+y<12,.若变量xy满足约束条件｛21一），之0,则1二>一工的最小值为.x-2y<0..数列｛2”一1｝的前〃项1,3,7..2”—1组成集合4=｛1,3,7,2〃一1｝（〃£"）,从集合A.中任取女伏=L2,3?・n）个数，其所有可能的&个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S”=K+7；+…+4，例如当〃=1时，4二壮｝,7；=1,，=1：当〃=2时，4=｛1,2｝,工=1+3,4=1x3,5?=l+3+lx3=7,试写出Sa=.已知数列｛为｝的前n项和S.=3〃J2n+l,则通项公式凡产 .已知函数/（x）=2、，等差数列｛%｝的公差为2，若/（4+%+46+%+可0）=4,则log /（七）./（%）.•…/（《。）］=-

.数列｛4｝满足q=0,且丁」——-^-=2（/7g/V*）,则通项公式1一1—an=・s.已知等比数列｛aj的公比为2,前n项和为S,，则上= .a,三、解答题.在数列｛%｝中，已知q=1,且数歹U｛q｝的前〃项和s“满足4S”+「3S”=4,〃£N*.（1）证明数列｛q｝是等比数列；（2）设数列｛〃〃“｝的前〃项和为T”，若不等式，+（；）〃］一16<0对任意的〃£田恒成立，求实数。的取值范围..已知数列也）中，q=l,。“+1=2。”+〃-1,bn=an+n.（1）求证：数列低｝是等比数列；（2）求数列｛qj的前〃项和S“..如图，在A45C中，N6=45°，4C=M，cos/C=&£点。是46的中点，求B（1）边A6的长；（2）cos4的值和中线CO的长.已知｛〃“｝为等差数列，且。3=-6，。6=0.（1）求｛可｝的通项公式；（2）若等比数列低｝满足〃=-8,b2=al+a2+a3t求数列低｝的前〃项和公式..在等比数列｛4｝中，/+。2=5,且生+%=20.（1）求｛q｝的通项公式；（2）求数列｛3%+口｝的前n项和5,,..已知函数/（x）=2sin（2x+<p）（\q>\</）部分图象如图所示.（1）求。值及图中/的值；（2）在/XABC中，角A,5,C的对边分别为。，4c,已知c=>/7,/（C）=-2,sm5=2sinAt求。的值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题解析：B【解析】=4〃++・・・=4〃+=471+,.TKp(S〃-4〃)K322 1X1｝gp1</? —— <313312〃对任意〃eN*都成立，当〃=1时，l<p<3当〃=2时，2Kp<64当〃=3时，一<p<43归纳得：2Kp43故选3点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列｛q｝的前〃项和为S”，为求〃的取值范围则根据〃为奇数和〃为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果.C解析：C【解析】在A/WC中，•二cosC=-\2bcosC=25• .一,12ab 2ab.•./=/+/—/，•.此三角形一定是等腰三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断：(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断：(3)根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形..D解析：D【解析】设公比为9,由已知得《广。4=23/『，即q、2,又因为等比数列依｝的公比为正数，所以夕=遮，故《=a=之=巫，故选D.q近2.C解析：C【解析】记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”，所以公元2047年农历为丁卯年.故选C..C解析：C【解析】y<4试题分析：直线工=加()」4)恒过定点(0,4),当机>0时，约束条件“一》00 对应x>/n(y-4)的可行域如图，则户一幺。4|(九£区)的最小值为M=0,满足当m=0时，y<4直线x 4)与y轴重合，平面区域“一》00 为图中》轴右侧的阴影区域，则x>/n(y-4)|。户一九。4(/1£/?)的最小值为M=0,满足M当〃?<0时，由约束条件y<4*一)，<0 表示的可行域如图，点P与点8重合时，口户一40d(XeR)的最小值为x>w?(y-4)M=OB,联立｛'=' ,解得6(网-，网所以|西=0巴4由X=〃7(〉，-4) /H-1W-1 11 |/W-1|应?工应，解得一?<加工1，所以一1工〃7<0,综上所述，实数〃7的取值范围是\m-l\ 3 3 3xsxswA-4>考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.C解析：C【解析】d+。」=4a.+2d=2a.=-4试题分析:-4 •(1 •/1试题分析:生+%=10，*q+3d=5'd=310x9••・S10=10a+ xd=—40+135=95.考点：等差数列的通项公式和前n项和公式.A解析：A【解析】由等差数列的性质得，/+〃6=28=q+q。，.••其前10项之和为10(^.io)=1Qx28=i40>故选a.2 2B解析：B【解析】【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A时，z取最小值，即Zg=-12,可求得女的值，当目标函数过点8时，z取最大值，即可求出答案.【详解】作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为丁=-2x+z,联立〈, ，可得A(—2攵,女),当目标函数过点A时，[取最小值，则[y=k2x(-2")+[=-12,解得，=4,联立「一1一，可得8化k),即6(4,4),当目标函数过点3时，z取最大值,V=K^=2x4+4=12.故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.A解析：A【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线2x+y=0到可行域边界的点C(L-l)处，由此求得z的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线21+>=。到可行域边界的点C。,-1)处，此时2取得最小值为2x1+(-1)=1.故选：A.

【点睛】本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.10.C解析：C【解析】【分析】根据新运算的定义，(/-4)区］(x+。)=一V+龙+标一4,即求一£+X+M <1恒成立,整理后利用判别式求出a范用即可【详解】A区6=4(1叫(工-〃)区］(x+a)=(x-6/)［l-(x+f/)J=-(x-tz)(x+f/-l)=-x2+x+«2-a(x-。)区］(x+l)Vl对于任意的实数X£R恒成立，:.-x2+x+a2-a<1,即一—。一1<0恒成立，.•.A=12-4x(-1)x(«2-6/-1)<0,故选:C【点睛】本题考查新定义运算，考查一元二次不等式中的恒成立问题，当x£R时，利用判别式是解题关键.B解析：B【解析】【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解.【详解】作出可行域如图：化目标函数为》=2%一乙（x+y-7=0联立｛ :Iz解得尔5,2）•[x-3y+l=0由图象可知，当直线过点A时，直线在y轴上截距最小，z有最大值2x5-2=8.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题..C解析：C【解析】【分析】①根据正弦定理可得到结果；②根据4=8或A+6=],可得到结论不正确；③可由余弦定理推得/=炉+。"三角形为直角三角形.【详解】①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理‘一=—^―知sinA> ①正确；smAsmB②S加24=si〃28,则4=6或A+8=],AABC是直角三角形或等腰三角形：所以②错误；③由已知及余弦定理可得一+，'"厂=c,化简得标=夕+〃，2ac 2bc所以③正确.故选C.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说，当条件中同时出现c力及/、a2时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.二、填空题.9【解析】【分析】将分式展开利用基本不等式求解即可【详解】又x+2y=4即当且仅当等号成立故原式故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值考查等价变换思想与求解能力注意等号成立条件解析：9【解析】【分析】将分式展开，利用基本不等式求解即可【详解】(x+4)(V4-2)at+8+2x+4yat+16.16 : =- -=- =1H xy xy xyxy又x+2y=4N2jZ^,即当且仅当x=2,y=l等号成立，故原式29故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件14,4【解析】【分析】设f(x)x2-3x+4其函数图象是抛物线画两条与x轴平行的直线y=a和y=b如果两直线与抛物线有两个交点得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间所以两直线与抛物线不可能有解析：4【解析】【分析】3设/*)="如-3人,+4,其函数图象是抛物线，画两条与x轴平行的直线和y=〃，如4果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间,所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线)，=。应该与抛物线只有一个或没有交点，所以。小于或等于抛物线的最小值且。与〃所对应的函数值相等且都等于从利用/(b)求出方的值，由抛物线的对称轴求出。的值，从而求出结果.【详解】3 3解：画出函数/(x)=_炉-3/+4=—(x—2)?+1的图象，如图,4 4可得/(X)加〃=/(2)=1,3由图象可知，若。＞1，则不等式无一炉一3x+4砂的解集分两段区域，不符合已知条件,4因此此时空炉一3x+4恒成立.3又不等式〃力炉一3工十包的解集为小外「3—a2-3a+4=b4所以把14,/(a)=f(b)=〃，可得，—Z?2-3/?+4=Z?143由一方-36+4=6,化为35一16〃+16=0,44解得b=—或b=4.34 3 4 4. 8当b=一时，由一4?—3a+4——=0,解得a=—或a=—,3 4 3 3 3不符合题意，舍去，所以〃=4,此时。=0,所以b—a=4.故答案为：4【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题时应灵活应用函数的思想解决实际问题，是中档题.15.【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得化目标函数得由图可知当直线过点时宜线在y轴上的截距最小有最小值为故答案为点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值属简单题求目标函数最值的一般步骤解析：-4

【解析】x+y<12,由约束条件，2不一》20,作出可行域如图,x-2y<0,x+y=12 .、联立<._2y=0，解得A（&4），化目标函数Z=y—X，得〉=%+名，由图可知，当直线丁二工+2过点人（8,4）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为-4,故答案为一4.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数时应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.解析:2〒一1解析:2〒一1【解析】【分析】通过计算出邑，并找出邑、邑的共同表示形式，进而利用归纳推理即可猜想结论.【详解】当〃=3吐&={1,3,7},则（=1+3+7=11,4=1x3+1x7+3x7=31,（=1x3x7=21,・•・S3=7；+4+7；=11+31+21=63,1x2由。=1=2-=2亏-「2x3邑=7=2、］=2亏_］，3x4邑=63=26-1=2亏—1，故答案为:2^-r故答案为:2^-r【点睛】本题考查元素与集合关系的判断以及数列前〃项和的归纳猜想,属于中档题.17.【解析】试题分析：n=l时al=Sl=2；当时-2n+l--2（n-1）+l=6n-解析2不满足所以数列的通项公式为考点：1数列的前n项和；2数列的通项公式【解析】试题分析：时，ai=Si=2：当〃之2时，见=S〃-S〃_]=3〃2-2n+l—[3(〃-1尸-2(n-1),、 2,〃=1+1]=6n5a1=2不满足qr=6〃—1,所以数列｛4｝的通项公式为与=｛（ 。〜考点：1.数列的前n项和；2.数列的通项公式.18.【解析】【分析】根据指数运算出再利用等差中项的性质得出并得出然后再利用等差数列的性质和指数对数的运算法则求出的值【详解】依题意有且则而因此故答案为【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算同时也考查了等解析：-6【解析】【分析】2根据指数运算出为+。6+4+《。=2,再利用等差中项的性质得出心=—，并得出- 5Q232=方然后再利用等差数列的性质和指数、对数的运算法则求出log (4)•/(%),/(%)•,…/(6。)]的值•【详解】依题意有生+。4+依题意有生+。4+。6+48+。10=2=54，2口 c2c8「・46=J，且％=46_2=§_2=一弓・则”1+/+43+・・・则”1+/+43+・・・+q0==5（。】+仆）=5（。5+。6）=而“q)./(生)./3)…・.fE)=2*,…+f。=2",因此,log?[/(《)•/(%)•/(%)••…fM]=log,2^=-6.故答案为-6.【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算，同时也考查了等差数列的定义以及指数、对数的运算，解题时充分利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题.19.【解析】【分析】构造数列得到数列是首项为1公差为2的等差数列得到【详解】设则数列是首项为1公差为2的等差数列故答案为【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法构造数列是解题的关键意在考查学生对于数列通项

解析:2解析:2〃—22n-1【解析】【分析】构造数列2=1^,得到数列L是首项为1公差为2的等差数列勿=2〃-1,得到1一。〃2/7-24r=3： --2〃一1【详解】设则以+「4=2,^=-^—=1一a” i-q数列"是首项为1公差为2的等差数列b.=2〃-1=>2〃b.=2〃-1=>2〃-1= 1一%2〃-22/7-1故答案为2〃—2

2/7-1【点睛】z1本题考查了数列的通项公式的求法，构造数列々——是解题的关键，意在考查学生对于数列通项公式的记忆，理解和应用.20.【解析】由等比数歹U的定义S4=al+a2+a3+a4=+a2+a2q+a2q2彳导+l+q+q2=解析:15解析:15【解析】由等比数列的定义，S4=a1+n：+«3+«4=—+史+。应qTOC\o"1-5"\h\z,S4 1 15得——=—H+1+不=—.%q 2三、解答题21.(1)见解析(2)(yo,20)【解析】a 3 。 3分析：(1)利用4s“+1—3S“=4推出如=7是常数，然后已知e=了，即可证明数列an 4 64｛q｝是等比数列；(2)利用错位相减法求出数列｛〃6｝的前〃项和为7；n，化简不等式

.二.二_16<0,通过对任意的恒成立，求实数。的取值范围.详解:(1)V已知4s“+]-3S〃=4,〃£N”,二•〃之2时，4s“一3S〃t=4.相减得4。"]-3。〃=0.又易知%w0,.%_3••4〃4-又由4，+1-35”=4,〃£'’得4(。1+七)-341=4,3 。，3•-4，=:，--=—・'4 q4故数列｛q｝是等比数列.(2)由(1)知q=lx(2)由(1)知q=lx+2x—+•・+〃x-\0相减得生…可芬+...+E)-…g=孑.〃平、4 4\4J ।__ 4>4/O、〃•・・不等式Z+2/O、〃•・・不等式Z+2x£-16<0^16-16xn-47Zx|-+(-x—-16<0.

⑷⑷〃设/(〃)=4〃2+16〃,,・,〃sN* .■./(〃)*="1)=20.故所求实数，的取值范围是(―*20).点睛：本题考查等比数列的判断，数列通项公式与前n项和的求法，恒成立问题的应用,考杳计算能力.22.(1)证明见解析

、 4n(l+n](2)S=2w+1-- --2〃 2【解析】【分析】(1)根据”=。“+〃求得心”化简成含/的表达式再得=Zb”即可.(2)根据⑴中等比数列的首项与公比求得数列｛0｝的通项公式,再代入a=。〃+〃即可求得数列｛q｝的通项公式,再根据分组求和求解即可.【详解】(1)证明：因为％+]=2。“+〃—1,"=〃“+〃所以优+1=%+】+(〃+1)=2q+〃—1+(〃+1)=2(q+〃)=2bn,又因为4=q+l=2w0,则｝^=2,所以数列｛々｝是首项为2,公比为2的等比数列.(2)由(1)知。”+〃="=2",所以%=2”一〃，所以S“=(2_l)+(2J2)+(23_3)+_+(2"_〃)=(2+22+23+---+2,,)-(1+2+3+---+/7)202")_〃(1+〃)=2„+1_〃(1+〃)_21-2 2【点睛】本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法，同时也考杳了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型.(1)2(2)713【解析】【分析】【详解】((1)由(:。544。3=40〉0可知，NAC8是锐角,5所以，smZACB=VI-cos2ZAC^=由正弦定理工S111DAB

smZACB4r>AC/辨由正弦定理工S111DAB

smZACBAB= sinZACB=—=x—=2suiB VI5T(2)cosA=cos(180'-45°-C)=cos(1350-C)由余弦定理：CD=^AD2+AC2-2AD-ACcosA=Jl+10-2xlx710x(-*)=屈考点：1正弦定理；2余弦定理.（1）an=2〃-1