电动力学复习题

1、有一内外半径分别为r和r的空心介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静止12自由电荷，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。f解：（1）设场点到球心距离为r。以球心为中心，以r为半径作一球面作为高斯面。由对称性可知，电场沿径向分布，且相同r处场强大小相同。D0，E0。11当rr时，14当rrr时，4r2D(r3r3)31221fD(r3r3)E(r3r3)1f，1f，3r3r2222(r3r3)向量式为E1fr3r2344r2D(r3r3)1当rr时，2332fD(r3r3)(r3r3)21fE3231rf3r3220(r3r3)fr3r向量式为E21330（2）当rrr时，120P(DE)(D0D)p2222(10)D(10)2f当rr时，1n(PP)n(D0D)(10)D02rrp21221当rr时，2(10)3r3321r22rnP(10)D22rrfp22、内外半径分别为r和r的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流J，导12体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。f解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径为r。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。当rr时，由安培环路定理得：H0,B0111当rrr时，由环路定理得：2rHJ(r2r2)1221fJ(rr)(rr21)J2212所以H，Bf2r2r22f(r2r)(r2r2)Jr2r221Jeˆf向量式为B12r2f2rHJ(r2r2)31f当rr时，22r)(r0J(r22r1r2221)J22所以H，Bf2r33f(r0(rr)r2)Jr22r2222r212Jeˆf向量式为B301f（2）当rrr时，磁化强度为120r(r12)Jr2M(1)H(1)2r22f00所以JM[(1)H](1)H(1)JM22f00在rr处，磁化面电流密度为11Mdl02rM1在rr处，磁化面电流密度为2()1r2r2J1202r2Mdl(1)2r22Mf0(r)r22J2122向量式为α(1)M2rf03、在均匀外电场中置入半径为试用分离变数法求下列两种情况的电势：（1）R的导体球，0导体球上接有电池，使球与地保持电势差；（2）导体球上带总电荷Q.0解答：与地保持电势差时。以地为电（1）当导体上接有电池，势零点。本问题的定解条件有0内(RR)00cos0|ER02＝0（RR)R且外0|外0RR0外其中是未置入导体球前坐标原点的电势.0b)P(cos)nRn1(aRnn根据题意设外nn0根据边界条件可求得00a，aE，a0(n1)，b()R，bER，b0(n1)n200010n0010所以有()R0ER03ERcos(RR)0000R2cos外00R（2）当导体球上带总电荷Q时，定解问题存在的条件：20(RR)内00(RR)02外|有限R0内0|ERcosR0外＝|RR内外0dsQ(RR)0外R0内n0＝aRnP(cos)根据边界条件设nnbnERcosP(cos)n外00Rn1n0Q根据边界条件可以求得内0(RR)04R00QER30cosERcos(RR)00R24R外005、真空中有电场强度为E的均匀电场，将半径为R的一个均匀介质球放到这个电场中。0已知球的电容率为，求各处的电场强度和极化电荷。解：先求电势，然后由电势求得电场强度E，再求极化电荷。自由电荷，电势满足拉普拉斯方程。以由于没有球心为原点，E方向为极轴方向，0取球坐标。根据对称性可知，电势只是r和的函数。因为所考虑的区域包括极轴（0和）在内，电势在极轴上应该是有限所求电势可写为如下形式值，所以(r,)(ArlBl)P(cos)，剩下的问题就是由边界条件定出各个系数rll1ln0是两个不同的区域，电势的表达式不同，令球内的电势为，由于球内外i球外的电势为，再由边界条件分别定出他们的系数。0（1）无穷远处的边界条件0r在无穷远处，电场应该趋向于原来的电场E，即0Ercos0为方便，将原来的电场E在r0点的电势取为零。比较两者的系数，可得0A0,AE,A0(l2)010lBP(cos)(r,)Ercos所以lrl100ln0（2）球心的边界条件在球心r0处，电势B0应该是有限值，所以其中的系数li(r,)ArlP(cos)所以illn0（3）球面上的边界条件在球面上rR电势(R,)(R,)连续，即0iD的法向分量连续(0)(i)0rRrR程，比较两边P(cos)的系数，可得将前面得到的电势方程在R代入电势连续方lBR3(AE)，BRA(l1)2l1110ll程，比较两边P(cos)的系数，可得程在R代入法向连续方将前面得到的电势方llR3B(EA)，BA(l1)R02l1(l1)2101ll0比较得到的四个方程，可得到3R3EA20E，B20011000A0，B0，(l1)ll这些系数分别代入前面的和，即得到所求得电势为0i20ER3cos,rR(r,)Ercos0r2000320(r,)Ercos,rRi00有了电势即可求得电场强度E：320320320E，rR0EiEcoserEsinei000003(Er)rE]，rRR3EE[00r22r00300所以介质球的极化强度为3()P()EiE002000所以球内的极化电荷密度为3()E0P002P00球面上极化电荷的面密度为3()Ecos0ePr020P0注：真空中有电场强度为0E的均匀电场，将半径为R的一个不带电导体球放到这个电场中。求各处的电势分布、电场强度分布和感应的电偶极矩解法和前面一样，只不过把导体球当作是很大的介质，这样均匀极化介质球在球13内产生均匀退极化电场：E1P013EEEEP0，所以导体内的极化强度为：导体内的电场0100P3E004pR3P4R3E感应的电偶极矩：30020ER3cos(r,)Ercos球内的电势为零，球外的电势：000r20球外电场：Ee0容率为的6、电无穷大均匀介质中有电场强度为E的均匀电场，将半径为R的一个均匀20已知球的电容率为，求各处的电场强度和极化电荷。1介质球放到这个电场中。解：E，E等表达式中的换成、换成0对于这个问题，只要将前题求得的，，ii0213()P()E这时，球内的极化强度为1E0210210i12球外介质的极化强度为：()()R3(Er)rE]320P()E()E[20120r222200r3012，P01P02球内外的极化电荷密度分别为：P1P2球内介质在球面上的极化电荷面密度为3()ePrEcos2102P11012球外介质在球面上的极化电荷面密度为e(P)3()Ecos1202P2r2rR012球面上总的极化电荷面密度为3()Ecos0e(PP)r0122P12P1P2127、真空中有一电荷量为q的点电荷，它到一无限大导体平面的距离为a，已知导0，如图所示。试求（1）导体外的电势分布；（2）导体面上的电荷体的电势C分布；（3）q受导体上电荷的作用力解：本题用电像法求解最简单（1）以导体平面为xy平面，通过的法线为z轴，q如图取迪卡尔坐标系。设想导体不存在，而在z轴上za处有一电荷量为q的点电荷，则边界条件qz0处q可以满足。q就是的像电荷。于是，根据唯一性定理，可以得到0C导体外任一点的P(x,y,z)的电势：0q114)，z0(x2y(za)2x2y(za)2220（2）导体上的电荷面密度为00nDn()zz0[(1)1]23/2z0q42(za)2[x2y2(za)2]3/22[x2y2(za)]2(za)qa2(x2y2a2)3/2O为圆心，在导体表面取半径为rxy2，宽度为q上的库伦（3）根据对称性，以原点2dr的圆环带。环带上的电荷量为dq2rdr2rdr，它作用在力为1qdqq2a2rdrdF4r2a2cosez4(r2a2)3ez00所以q受导体上电荷的作用力为q2a24rdrq2F(r2a2)3eez16a2z000注：电荷q受导体上电荷作用力的简单算法导体表面电荷作用在q作用在q上的力等于像电荷q上的力1qqeq2F所以e4(2a)16a22zz008、在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部（如图），半球的球心在导体平面上，点电荷Q位于b（b>a），试用电像法系统的对称轴上，并与平面相距为求空间电势。图如图，利用镜像法，根据一点电荷附近置一无限大接地导体平面板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型，可确定三个镜像电荷的电量和位置。QQQ0；但在球面上电势不为0。再引入a22bbbaQ。这样总电势在平面和球面上都是零。bQQ,rar;QQ,rar;QQ,rbra2a21b1b2b1b334Q11[R2b22RbcosR2b22Rbcos0aa],(02,Ra)bR242aRcosbR242aRcosa2a2b2bb2b流I沿z轴流动，以z0空间充满磁导z0区均匀介质，9、设有无穷长的线电率为的域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度B，然后求出磁化电流分布。解：dDdS程组，有HdlI由麦克斯韦方dtfLS本题中D0，即HdlIfLI2rH2rI，即He所以由BH，可得BHe,(z0)2r10Ie,(z0)BH2r2B(HM)，所以可以得到：因为0I2rM0，M(1)H(1)e0012在介质表面z0的位置，磁化电流面密度为I2re(MM)M(1)er0z212当z0时，在电流线表面存在的磁化电流为IMdl(1)I,(r0)0M2L10、设x0空间充满磁x0区域为I沿z轴流均匀介质，真空，有线电流动，导率为的试求磁感应强度B和磁化电流分布。解：由边界条件n(BB)0可知BB，即HH0211221nn有HdlI再由麦克斯韦方程组，LIrHH21已经得到0所以HrH1rI，即HH，由上面212rIH1所以，可以得到：0rIH20000BHeI0101r由BH，得到：0IBHe22r2IMdlMrMr磁化电流为：M1LM(BH)因为02IMr0I所以得到：M024511、一平面电磁波以从真空中入射到的介质。电场强度垂直于入射面，求反0r射系数和折射系数解：E，入射角；反射波振幅E，反射角；折射波振幅E，折射角设入射波振幅为由菲涅耳公式，有：2coscosE0E，E2cos10Ecos2cos0cos2cos011sinsinn2n1可由折射定律得：2，代入，2又因为1300得到：2coscosE13即10E13cos2cos01E2cos2013E02coscos1平面电磁波的平均能流密度S为S1E2(r)e2kRnSE2(r)(13)223所以反射系数E(r)13232nS23透射系数T