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文档简介
第六章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积教学设计教学目标1.通过物理中功等实例,理解平面向量的数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.
2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.教学重难点教学重点:平面向量的数量积的概念及其应用.教学难点:平面向量的数量积的应用.教学过程新知积累1.向量的夹角:已知两个非零向量a,b如图,O是平面上的任意一点,作,,则叫做向量a与b的夹角.显然,当时,a与b同向;当时,a与b反向.如果a与b的夹角是,那么说a与b垂直,记作.2.向量的数量积:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,我们把数量叫做向量a与b的数量积(或内积),记作,即.规定:零向量与任一向量的数量积为0.两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.3.投影向量:如图,设a,b是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量.4.向量数量积的性质:设a,b是非零向量,它们的夹角是,e是与b方向相同的单位向量,则(1).(2).(3)当a与b同向时,;当a与b反向时,.特别地,或.(4)由还可以得到.(5)5.向量数量积的运算律:对于向量a,b,c和实数,有(1)交换律:;(2)数乘结合律:;(3)分配律:.例题巩固例1已知,,a与b的夹角,求.解:.例2设,,,求a与b的夹角.解:由得.因为,所以.例3对任意的,恒有,.对任意向量a,b,是否也有下面类似的结论?(1);(2).解:(1).(2).因此,上述结论是成立的.例4已知,,a与b的夹角为,求.解:.例5已知,,且a与b不共线.当k为何值时,向量与互相垂直?解:与互相垂直的充要条件是,即,因为,,所以,解得,也就是说,当时,与互相垂直.课堂练习1.若,,向量与向量的夹角为120°,则向量在向量上的投影向量为()
A. B. C. D.答案:D解析:在的投影向量是.故选D.2.已知非零向量,满足,,的夹角的余弦值为,且,则实数k的值为()
A.18 B.24 C.32 D.36答案:A解析:由,可设,则,因为,所以.故选A.3.(多选)已知正三角形ABC的边长为2,设,,则下列结论正确的是()A. B.C. D.答案:CD解析:分析知,,与b的夹角是120°,故B错误;,,故A错误;,故C正确;,故D正确.故选CD.小结作业小结:本节课学习了平面向量的数量积运算.作业:完成本节课课后习题
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