河南省商丘市重点中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题及参考答案

商丘市重点中学2022~23学年第二学期月考考试高二数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试题卷上答题无效.考试结束后，只收答题卷.第I卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（）A.-2B.2C.6D.102.直线，直线过点，且它的倾斜角是的倾斜角的2倍，则直线的方程为（）A.B.C.D.3.已知拋物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于两点，若，则（）A.2B.C.D.4.已知等比数列是数列的前项和，，则等于（）A.16B.128C.54D.80

5.已知数据的平均数为4，方差为2，则数据的平均数与方差的和为（）A.6B.15C.19D.22

6.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A.3B.2C.1D.3或-27.的展开式中的常数项为（）A.-20B.30C.-10D.10

8.已知函数有两个极值点，则的取值范围是（）A.B.C.D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每题所给的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分.9.下列结论正确的是（）A.若数列是等差数列，则为等比数列B.若数列是等比数列，则为等差数列C.若数列满足，则为等比数列D.若数列是等差数列，，则为等差数列10.已知为坐标原点，，分别是渐近线方程为的双曲线的左､右焦点，为双曲线上任意一点，平分，且，，则（）A.双曲线的标准方程为B.双曲线的离心率为C.点到两条渐近线的距离之积为D.若直线与双曲线的另一支交于点为的中点，则11.甲罐中有2个红球､2个黑球，乙罐中有3个红球､2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（）A.B.C.D.12.甲，乙，丙，了，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有48种B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C.甲乙不相邻的排法种数为72种D.甲乙内按从左到右的顺序排列的排法有20种第II卷三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应位置.13.已知，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________.14.已知的圆心在轴上，半径为1，且过点，则与的公共弦长为__________.15.已知公比的等比数列满足.若，且数列是递增数列，则实数的取值范围是__________.16.安排A，，，，五名志愿者到甲，乙两个福利院做服务工作，每个福利院至少安排一名志愿者，则A，被安排在不同的福利院的概率为__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知展开式的二项式系数和为128，且.（1）求的值；（2）求的值.18.（本题满分12分）已知圆C过点A(2,1)，与y轴相切，且圆心在直线y=x上.（1）求圆的标准方程；（2）求经过点A且与圆C相切的直线的方程.19.如图，已知四棱锥的底面为矩形，且平面分别为的中点.（1）求证：；（2）求二面角的大小值.20.（本题满分12分）某学校长期坚持以人为本，实施素质教育每年都会在校文化节期间举行诗词知识和环保知识两项竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D，E五个等级等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.设该校某班学生两项知识竞赛都参加，且两项知识竞赛的成绩的数据统计如下图所示，其中环保知识竞赛的成绩为A的学生有4人.（1）求该班学生诗词知识竞赛成绩为A的人数以及诗词知识竞赛的平均分；（2）若该班两项竞赛成绩总得分超过8分的学生共有7人，其中有3人10分，4人9分，从这7人中随机抽取三人，记三人的成绩之和为X，求X的分布列及.21.（本题满分12分）已知椭圆的离心率等于，椭圆与抛物线交于两点（在轴的上方），且经过的右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）已知点是椭圆上不同的两个动点，且满足直线与直线关于直线对称，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.22.（本题满分12分）已知函数（1）若，求的最值；（2）对于任意，都有成立，求整数k的最大值.参考答案一､选择题（共8小题）1-8DDBDCADD二､多选题9.AD10.BCD11.ACD12.BCD三､填空题13.14.15.16.四､解答题（共6小题）17.【答案】（1）（2）2【分析】（1）二项式系数和公式可求得n，再由展开可得；（2）由赋值法，令､，即可组合求值.【详解】（1）由展开式的二项式系数和为128，可得，即n=7.由，得.（2）令，得，令，得，所以.18.【答案】（1）或（2）或【分析】（1）根据题意设圆心，分析可得圆的标准方程，代入点A（2，1）求解的值即可；（2）先根据斜率公式求AC斜率，再根据切线与AC垂直得切线斜率，最后根据点斜式写切线方程，注意斜率不存在的直线是存在的.【详解】（1）根据题意可设圆心为，则圆的半径，圆C的方程将A（2，1）代入，得，即，解得或圆的标准方程是或（2）∵为切点，则当圆：时，则可得圆心∵，则直线斜率不存在∴当圆：时，则可得圆心∵，则直线斜率为∴，即综上所述：切线方程为或19.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）以A为原点建立坐标系，通过计算，得出，故而平面，进而可得结果；（2）利用向量垂直数量积为零，列方程求出平面的法向量，结合为平面的一个法向量，利用空间向量夹角公式可得结果.【详解】（1）以A为坐标原点分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，则，，又平面平面，平面平面PCD，所以；（2）由（1）得：由（1）可知为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，，令，得，，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20.【答案】（1）诗词知识竞赛成绩为A的人数为人，平均分为（分）；（2）分布列答案见解析，.【分析】（1）根据环保知识竞赛的成绩为A的学生有4人，频率是0.08，可求得班级总人数，根据诗词知识竞赛中A的频率，即可求得诗词知识竞赛成绩为A的人数，代入平均数公式，即可求得诗词知识竞赛的平均分；（2）依题设知，X的所有取值为30，29，28，27.分别求得X不同取值时的频率，列出分布列，代入公式，即可求得答案.【详解】（1）由图可知，环保知识竞赛的成绩为A的学生有4人，频率是0.08，故该班有人，由图可知，诗词知识竞赛的成绩为A的频率是0.1，因此，诗词知识竞赛成绩为A的人数为人.该班诗词知识竞赛的平均分为（分）.（2）依题设知，X的所有取值为30，29，28，27.则，，，，其分布列为X30292827P所以，故.21.【答案】（1）；（2）为定值.【分析】（1）设椭圆的半焦距为，设点，把点的坐标分别代入椭圆和抛物线方程，结合椭圆的离心率即可求出，的值，进而得到椭圆的方程.（2）先求出点的坐标，设，，，，由题意可设直线的斜率为，的斜率为，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理得到，同理可得，进而求出和的值，代入斜率公式化简，即可得到直线的斜率为定值.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，设点，则，消去得，即①因为椭圆的离心率为，所以②将②代入①，得.化简得解得所以所以椭圆C的方程为（2）将代入中，得，所以（取正值），则当与关于直线对称时，的斜率之和为0，设直线的斜为，则的斜率为，设.设直线的方程为，由，消去y并整理，得，所以设的直线方程为，同理得，所以则所以AB的斜率为定值22.【答案】（1）最小值为，没有最大值；（2）.【分析】（1）当时，利用导数求得的最值.（2）利用分离常数法化简不等式，通过构造函数法，结合导数求得的范围，由此求得整数的最大值.【详解】（1）的定义域为.，令解得，所以在区间上，递减；在区间上，递