三角函数的图象与周期性 测模拟试题

三角函数的图象与周期性【知识网络】1．正弦、余弦、正切函数的图象；２．正弦、余弦、正切函数的周期性；３．利用三角函数的图象求三角函数的定义域、值域等．【典型例题】［例1］(1)若，则的范围是；若，则的范围是；若，则的范围是；若，则的范围是．（1），，提示：观察三角函数图象（2）函数的定义域为．（2）提示：（3）．函数图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（）（A）0（B）1（C）－1（D）（3）A提示：周期，（4）．下列坐标所表示的点不是函数的图象的对称中心的是（）（A）（，0）（B）（，0）（C）（，0）（D）（，0）（4）Ｄ提示：令，函数图象的对称中心为(5)如果函数的图象关于直线对称，则．（5）-1提示:根据［例2］求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）．解：（1）由，得，∴．∴的定义域为．（2）∵，∴．即的定义域为．（3）由已知，得，∴，∴原函数的定义域为．［例3］求下列函数的周期：（1）；（2）；（3）．解：（1），∴周期．（2），故周期．（3），故周期．［例4］已知函数f(x)=eq\r(3)sin(2x－eq\f(π,6))+2sin2(x－eq\f(π,12))(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．解:(1)f(x)=eq\r(3)sin(2x－eq\f(π,6))+1－cos2(x－eq\f(π,12))=2[eq\f(\r(3),2)sin2(x－eq\f(π,12))－eq\f(1,2)cos2(x－eq\f(π,12))]+1=2sin[2(x－eq\f(π,12))－eq\f(π,6)]+1=2sin(2x－eq\f(π,3))+1∴T=eq\f(2π,2)=π(2)当f(x)取最大值时,sin(2x－eq\f(π,3))=1,有2x－eq\f(π,3)=2kπ+eq\f(π,2)即x=kπ+eq\f(5π,12)(k∈Z)∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+eq\f(5π,12),k∈Z}【课内练习】1.给出四个函数，则同时具有以下两个性质的函数是：①最小正周期是；②图象关于点（，0）对称（）（A）（B）（C）（D）1．D２．为了使函数在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则的最小值是（）（A）（B）（C）（D）2．B提示:49×T≤1，即×≤1，∴ω≥.3.函数f（x）=cos2x+sinx在区间［－，］上的最小值是（）A. B.－C.－1 D.3．提示：f（x）=1－sin2x+sinx=－（sinx－）2+，当x=－时，取最小值4．若，则的值是（）（不确定4．Ａ提示：解得５．若，则＝．5．提示：的周期为12，而，∴，∴原式6.函数y=2sin（3x－）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______.6．提示:T=，相邻对称轴间的距离为7.若方程有解，则．7．[-3,1]提示:,8.求下列函数的定义域：（1）；（2）．解(1)x应满足,即为所以所求定义域为(2)x应满足，利用单位圆中的三角函数线可得所以所求定义域为9．求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）．解：由题意，∴，∵，∴时，，但，∴，∴原函数的值域为．（2）∵，又∵，∴，∴，∴函数的值域为．（3）由得，∴，这里，．∵，∴．解得，∴原函数的值域为．10.是否存在实数a，使得函数在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值？若不存在，试说明理由．解：当时，，令则，综上知，存在符合题意．作业本A组１．函数与的图象在上交点个数是()A.3个B.5个C.8个D.9个1．B提示：由题意,即，所以或２．函数，当时的值域为（）2．A提示：又３．已知函数f(x)=2sinx(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于()A.B.3．Ｂ提示：将四个选项代入验证４．设是以5为周期的函数，且当时，则．4．提示：５．已知的图象和的图象围成一个封闭图形，该图形面积是．5．提示：采用割补法求函数＝2＋的值域和最小正周期．解：y=2cos(x+)cos(x－)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+)∴函数y=cos(x+)cos(x－)+sin2x的值域是[－2,2],最小正周期是π７．已知函数的定义域为，值域为，求的值．解：由当时，值域为，由已知得（２）当时，值域为，由已知得8．求函数的最大、最小值．解：原函数可化为：，令，则，∴．∵，且函数在上为减函数，∴当时，即时，；当时，即时，．B组函数的值域为（）1．B提示：讨论2．函数的最小正周期T及最小值m分别为（）ABCD2．C3．设函数，若对都有成立，则的最小值是（）A4B2C1D3．B提示：周期，的最小值是4．函数的最小正周期为．4．提示：5．函数的定义域是；值域是．5．提示：求值域时注意6.求函数f（x）=的最小正周期、最大值和最小值.解：f（x）===（1+sinxcosx）=sin2x+，所以函数f（x）的最