高中数学第一章常用逻辑用语11命题北师大版11

1.1命题学习目标1.理解命题的见解及命题的组成，会判断一个命题的真假.2.理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断.知识点一命题的见解思虑1给出以下语句：①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；3＋6＝7；③偶函数的图像对于y轴对称；④5能被4整除.请你找出上述语句的特点.答案上述语句有两个特点：①都是陈述句；②能够判断真假.梳理(1)定义能够判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.分类①真命题：判断为真的语句叫作真命题；②假命题：判断为假的语句叫作假命题.知识点二命题的形式思虑1你能把“内错角相等”写成“若,，则,”的形式吗？答案若两个角为内错角，则这两个角相等.思虑2“内错角相等”是命题吗？若是是命题，是真命题仍是假命题？答案是命题，是假命题.梳理命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.由p能推出q，则为真命题.能举一反例即可确定为假命题.知识点三四种命题的见解思虑给出以下四个命题：当x＝2时，x2－3x＋2＝0；若x2－3x＋2＝0，则x＝2；若x≠2，则x2－3x＋2≠0；若x2－3x＋2≠0，则x≠2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？答案命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰巧交换了.命题(1)的条件与结论恰巧是命题(3)条件的否认和结论的否认.命题(1)的条件和结论恰巧是命题(4)结论的否认和条件1的否认.梳理一般地，对于两个命题，若是一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作互抗命题.若是是另一个命题条件的否认和结论的否认，那么把这两个命题叫作互否命题.若是是另一个命题结论的否认和条件的否认，那么把这两个命题叫作互为逆否命题.把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的抗命题、否命题、逆否命题.知识点四四种命题的关系及其真假判断思虑1原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的抗命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的抗命题与其否命题呢？答案互逆、互否、互为逆否.思虑2若是原命题是真命题，它的抗命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？答案原命题为真，其抗命题不用然为真，其否命题不用然为真，其逆否命题必然是真命题.梳理(1)四种命题的互相关系(2)在原命题的抗命题、否命题、逆否命题中，必然与原命题真假性相同的是逆否命题.(3)两个命题互为抗命题或互为否命题时，它们的真假性没相关系.种类一命题的见解例1以下语句：2是无量循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)当x＝4时，2x>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函数的图像太美了！(8)4是会合{1，2，3}中的元素.其中是命题的是________.(填序号)答案(1)(3)(5)(8)剖析此题主要察看命题的判断，判断依照：一是陈述句；二是看可否判断真假.(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线可否平行作出判断；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题.故答案为(1)(3)(5)(8).反省与感悟一般地，判断一个语句可否是命题，要先判断这个语句可否是陈述句，再看能不能够判断真假.2其流程图如图：追踪训练1以下语句中，是命题的为________.①红豆生南国；②作射线AB；③中国国土不能入侵！④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.答案①④剖析②和③都不是陈述句，依照命题定义可知①④是命题.种类二四种命题及其互相关系命题角度1四种命题的见解例2写出以下命题的抗命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1)若·<0，则方程2－＋＝0有实数根；mnmxxn(2)弦的垂直均分线经过圆心，且均分弦所对的弧；(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；(4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B.解(1)抗命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题.2否命题：若m·n≥0，则方程mx－x＋n＝0没有实数根，假命题.2m·n≥0，真命题.逆否命题：若方程mx－x＋n＝0没有实数根，则(2)抗命题：若一条直线经过圆心，且均分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直均分线，真命题.否命题：若一条直线不是弦的垂直均分线，则这条直线可是圆心或不均分弦所对的弧，真命题.逆否命题：若一条直线不经过圆心或不均分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直均分线，真命题.抗命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题.否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题.逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题.抗命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题.否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题.逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题.反省与感悟四种命题的变换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的抗命题.(2)同时否认原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题.3(3)交换原命题的条件和结论，而且同时否认，所得命题是原命题的逆否命题.追踪训练2命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是()A.若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B.若loga2≥0，则函数f(x)＝loga(>0，≠1)在其定义域内不是减函数xaaC.若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D.若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数答案B剖析直接依照逆否命题的定义，将其条件与结论进行否认，再交换，值得注意的是“是减函数”的否认不能够写成“是增函数”，而应写成不是减函数.命题角度2四种命题的互相关系例3若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的抗命题为r，则r与p的抗命题的关系是()互为抗命题互为否命题互为逆否命题同一命题答案B剖析已知命题p：若＋＝0，则x，y互为相反数.xy命题p的否命题q为：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，命题q的抗命题r为：若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，∴r是p的逆否命题，∴r是p的抗命题的否命题，应选B.反省与感悟(1)判断四种命题之间四种关系的两种方法①利用四种命题的定义判断；②巧用“逆、否”两字进行判断，如“抗命题”与“逆否命题”中不相同有“否”一个字，是互否关系；而“抗命题”与“否命题”中不相同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系.(2)要判断四种命题的真假：第一，要熟悉四种命题的互相关系，注意它们之间的互相性；其次，利用其他知识判断真假时，必然要对相关知识娴熟掌握.追踪训练3有以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②一个实数不是正数就是负数；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“同位角相等”的抗命题.4其中真命题的个数是________.答案1剖析①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题.②实数0既不是正数，也不是负数，因此原命题是假命题.③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题.④“相等的角是同位角”，是假命题.种类三等价命题的应用例4判断命题“已知a，x为实数，若对于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假.解方法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则对于x的不等式x2＋(2a＋x＋a2＋2≤0的解集为?，判断以下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的张口向上，令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，则＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，因此4a－7<0，即对于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?.故此命题为真命题.方法二利用原命题的真假去判断逆否命题的真假.因为对于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，因此(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4－7≥0，解得≥7≥1，aa4因此原命题为真，故其逆否命题为真.引申研究227判断命题“已知a，x为实数，若对于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a＋2>0的解集为R，则a<4”的逆否命题的真假.解先判断原命题的真假以下：因为a，x为实数，对于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的张口向上，因此＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，7因此a<4.5因此原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假，因此原命题的逆否命题为真命题.反省与感悟因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题拥有等价性，因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，能够经过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.追踪训练4证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”.∵a＝2b＋1，a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋14b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋10.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题.由原命题与逆否命题拥有相同的真假性可知，结论正确.1.以下语句是命题的是()A.2014是一个大数若两条直线平行，则这两条直线没有公共点对数函数是增函数吗a≤15答案B剖析A、D不能够判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题.2.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是()两个平面一条直线垂直两个平面垂直于同一条直线答案D剖析只需分清命题中的条件和结论即可.3.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数6B.若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C.若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D.若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数答案B剖析否命题是既否认条件又否认结论.因此否命题应为“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”.命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的抗命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A.0B.2C.3D.4答案B剖析命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”是假命题，则其逆否命题是假命题.该命题的抗命题为“若ac2>bc2，则a>b(a，b，c∈R)”是真命题，则其否命题是真命题.故选B.给出以下命题：①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；②“正多边形都相像”的抗命题；③“若>0，则x2＋－＝0有实根”的逆否命题.mxm其中为真命题的是________.答案①③剖析①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，真命题.②抗命题是“若两个多边形相像，则这两个多边形为正多边形”，假命题.③∵＝1＋4m，当m>0时，>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真.∴逆否命题为真.能够判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题能够给出证明，假命题只需举出一个反例即可.2.任何命题都是由条件和结论组成的，能够写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变.写四种命题时，能够按以下步骤进行：找出命题的条件p和结论q；写出条件p的否认和结论q的否认；依照四种命题的构造写出所有命题.4.判断命题的真假能够依照互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.7分钟课时作业一、选择题1.以下语句中，不能够成为命题的是()A.5>12x>0已知a、b是平面向量，若a⊥b，则a·b＝0三角形的三条中线交于一点答案B剖析A是假命题，C、D是真命题，B中含变量x，未指定x的取值范围，无法判断真假，故不是命题.2.以下说法正确的选项是()命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题答案D剖析对于A，改写成“若，则”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；pqB所给语句是命题；C的反例能够是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.应选D.3.已知命题“若ab≤0，则≤0或≤0”，则以下结论正确的选项是()abA.真命题，否命题：“若ab>0，则a>0或b>0”B.真命题，否命题：“若ab>0，则a>0且b>0”C.假命题，否命题：“若>0，则>0或b>0”abaD.假命题，否命题：“若ab>0，则a>0且b>0”答案B剖析“若a>0且>0，则>0”是真命题，又“若>0且b>0，则>0”是“若≤0，babaabab则a≤0或b≤0”的逆否命题，故原命题为真命题.已知命题的否命题是“若ab>0，则a>0且b>0”.4.以下命题中为真命题的是()A.命题“若x>2016，则x>0”的抗命题B.命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题C.命题“若x2＋x－2＝0，则x＝1”D.命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题8答案B剖析A选项，“若x>2016，则x>0”的抗命题为“若x>0，则x>2016”是假命题；B选项，“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”是真命题；C选项，由x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，故C是假命题；D选项，“若x2≥1，则x≥1”是假命题，故其逆否命题是假命题.5.若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A.互抗命题B.互否命题C.互为逆否命题D.以上都不正确答案A已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，在它的抗命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案B剖析命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”是真命题，故其逆否命题是真命题.该命题的抗命题为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，应选B.以下命题：(1)若“a2<b2，则a<b”的抗命题；(2)“全等三角形面积相等”的否命题；(3)“若a≥0，则2－2ax＋＋3>0的解集为R”的逆否命题；(4)“若3(x≠0)为有理数，axax则x为无理数”.其中正确的命题是()A.(3)(4)B.(1)(3)C.(1)(2)D.(2)(4)答案A剖析对于(1)，抗命题是“若a<b，则a2<b2”，易知是假命题；对于(2)，否命题是“若两个三角形不全等，则这两个三角形的面积不相等”，易知是假命题；对于(3)，结论建立的条件是a＝0或a>0，22－4a＋3aa故a≥0，原命题与其逆否命题真假性相同，因此(3)正确；对于(4)，若x为有理数，则3x必为无理数，因为3为有理数，故x为无理数，则(4)正x确，应选A.二、填空题8.已知命题：线段的垂直均分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是________________________________________________，9是________________________________________________________________________.答案一个点在线段的垂直均分线上这个点到线段的两个端点的距离相等已知命题p的抗命题是“若实数a，b知足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________.答案若实数，b知足a＋≥4，则a≠1或b≠2ab剖析由命题p的抗命题与其否命题互为逆否命题可得.在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的张口向下，则{