4-3 利用递推公式求通项（精讲）（基础版）（解析版）

4.3利用递推公式求通项（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一累加法【例1-1】（2022·四川成都）已知数列满足，则an=【答案】【解析】由题设，，，，…，且，所以，又，则，故，显然也满足.【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因，则有，于是得，当时，，因此，，显然，满足上式，所以.故选：C【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，且，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，则，，，，累加得，所以.当n=1时也成立故选：A.2．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）数列中，且，则_________.【答案】100【解析】∵，∴∵=9，即=9，解得n=100故答案为：1003．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，则=_______.【答案】【解析】因为数列满足，，所以当时，.所以，，因为，也满足上式，所以数列的通项公式为，故答案为：考点二累乘法【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，(，)，则数列的通项（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】数列满足，，整理得，，，，所有的项相乘得：，整理得：，故选：．【一隅三反】1．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校一模（文））数列中，，当时，，则数列的通项公式为______．【答案】【解析】因为，所以，，，，累乘得：，，所以，．由于，所以，．显然当时，满足，所以，．故答案为：2．（2022·全国·高三专题练习）设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式______.【答案】【解析】由，则又数列为正项数列，即，所以，即所以故答案为：3（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，即，则，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故选：D．考点三公式法【例3-1】（2022·上海市）数列满足，，则数列的通项公式为______．【答案】【解析】当时，；当时，，所以，又，所以两式作差得，所以，即，所以数列是从第二项起公比为的等比数列，所以.故答案为：.【例3-2】（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列满足，，则数列的通项公式为___________.【答案】【解析】当时，.当时，，①.②①②，得.因为不满足上式，所以故答案为：【一隅三反】1．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．【答案】【解析】，整理得到，故答案为：.2．（2022·广西·模拟预测（理））正项数列的前项和为，且有，则___________．【答案】【解析】依题意，，当时，，当时，，，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以.故答案为：3．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（理））已知数列满足，则___________.【答案】【解析】记数列的前n项和为，则由题知，当时，；当时，，所以.故答案为：考点四构造等差数列【例4-1】（2022·四川省绵阳南山中学）已知数列满足，，，则an=【答案】【解析】因为，所以，所以，又，数列是以1为首项，4为公差的等差数列．所以，所以【例4-2】（2022·江西）已知数列满足：，（，），则___________.【答案】【解析】由题设，，即，而，∴是首项、公差均为的等差数列，即，∴.故答案为：【例4-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，求出数列的通项公式；【答案】【解析】因为，所以等式两边同除以得所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，所以所以【一隅三反】1．（2022·全国·课时练习）已知数列满足，且，则数列__________【答案】13n−1【解析】由可得，所以数列是等差数列，且首项为2，公差为3，则，13n−12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式______．【答案】【解析】∵，∴，即．又，，∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，∴，∴数列的通项公式．故答案为：.3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为数列的首项，且各项满足公式，则，，，以此类推，对任意的，，由可得，所以，，所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，，因此，.故选：B.考点五构造等比数列【例5】（2022·安徽）设为数列的前项和，若，则______．【答案】【解析】因为，，所以，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）在数列中，，，，则该数列的通项公式______．【答案】【解析】因为数列中，，即，故数列是首项为，公比为的等比数列，则，解得.故答案为：.2．（2022·上海市控江中学）已知数列满足，则其通项公式_______．【答案】【解析】令，则，又，∴，故，而，∴是公比为