云南省昆明市重点中学2023届高三下学期高考适应性测试数学试题及参考答案

届高三下学期高考适应性测试数学学科能力测试一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．设集合，，则（

）A． B． C． D．2.复数在复平面内对应的点为，则（

）A． B． C． D．3．在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则（

）A． B． C． D．4．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（

）A．2 B． C．4 D．5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“为锐角三角形”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．在二项式的展开式中，各项系数的和为128，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概率为（

）A． B． C． D．7．已知函数，则下列说法错误的是（

）A．的周期为B．在上单调递增C．的对称中心为D．在上单调递减8.定义在R上的函数同时满足：①，②，则下列结论不正确的是（

）A．函数为奇函数 B．的图象关于直线对称C． D．函数的周期二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分.9．近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2021年起实施三孩生育政策等．根据下方的统计图，下列结论正确的是（

）2010至2022年我国新生儿数量折线图A．2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万B．2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万C．2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势D．2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差10．设是数列的前n项和，且，，则（

）A．B．数列是公差为的等差数列C．数列的前5项和最大D．11．已知双曲线，O为坐标原点，过的右焦点作的一条渐近线的平行线交于点，交的另一条渐近线于点，则（

）A．向量在上的投影向量为B．若为直角三角形，则为等轴双曲线C．若，则的离心率为D．若，则的渐近线方程为12．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C． D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，满足，，.设，则___________.14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________m.15．某综合性大学数学系为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有______种不同的选修方式可选．（用数字填写答案）16．过点与曲线相切的直线方程为____________．四、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（本小题10分）在中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若，求的中线的最小值.18．（本小题12分）已知数列满足．(1)若数列满足，证明：是常数数列；(2)若数列满足，求的前项和．19．（本小题12分）某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和和历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选两个科目．选科工作完成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况统计后得到下表：思想政治地理化学生物物理类100120200180历史类1201406080科类生物学科选法选不选合计物理类历史类合计(1)利用上述样本数据填写以下列联表并依据小概率值的独立性检验，分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异．(2)假设该校高一所有学生中有的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为，而在历史类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为．若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生，用表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量的均值．0.10.050.0010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：20．（本小题12分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面．(1)证明：平面平面；(2)若，，，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．21.（本小题12分）已知双曲线C：的右焦点为，一条渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)在x轴上是否存在与F不重合的点P，使得当过点F的直线与C的右支交于A，B两点时，总成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.（本小题12分）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．参考答案1．D解：由得，则，又由得.所以，而.从而.故选：D.2.解：复数在复平面内对应的点为，则故选：.3．B解：依题意，因为，所以终边经过的点为，所以终边在第四象限，所以.故选：B.4．D解：设圆台的母线长为，因为该圆台侧面积为，则由圆台侧面积公式可得，所以，设截去的圆锥的母线长为，由三角形相似可得，则，解得，所以原圆锥的母线长，故选：.5．C解：若，则，假设为钝角三角形，则由余弦定理得，，这三个代数式中有两个为正，一个为负，可得，这与题设矛盾，因此不为钝角三角形，假设为直角三角形，则由余弦定理得，，这三个代数式中有两个为正，一个为零，可得，假设为锐角三角形，则由余弦定理得，，这三个代数式都为正，可得，所以为锐角三角形，若为锐角三角形，则，，这三个代数式均为正，所以，故“”是“为锐角三角形”的充要条件.故选：C.6．D解：二项式的展开式中第项为，则，则，则展开式中有项，当时，，即有理项有项，无理项有项，项重新排列共种排列数，先排列无理项共种排列数，要使得有理项不相邻，则项有理项的排列数为，所以有理项都互不相邻的概率为，故选:D.7．D解：因为，则其周期为，故A正确；当时，则，所以在上单调递增，故B正确；令，则，所以的对称中心为，故C正确；因为正切函数只有单调递增区间，故D错误；故选:D8.C解：定义在R上的函数，由得：，即函数为奇函数，A正确；令，则，因此函数，即的图象关于直线对称，B正确；由得：，由得：，于是，即，所以函数的周期，D正确；由知，，显然由给定条件的值不确定，又，因此不确定，C错误.故选：C9．AC解：对于A，由折线图可知：2010至2022年每年新生儿数量13个数据中有2010至2018年的数量（9个）均高于1500万，3个数据低于1400万，根据数据之间的差距可得2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万，故选项A正确；对于B，由图可知共有13个数据，因为，所以第一四分位数是按照从小到大排列的数据的第4个数据，由折线图可知，第4个数据为2019年新生儿的数量，其值大于1400万，故选项B错误；对于C，由折线图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势，故选项C正确；对于D，由折线图可知：2010至2016年每年新生儿数量的波动比2016至2022年每年新生儿数量的波动小，所以2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差，故选项D错误，故选：AC.10．AC解：，，或(舍)，故选项A正确；又，，，数列是公差为的等差数列，故选项B错误；由得，，数列的前5项和最大，故选项C正确；当时，，这与矛盾，故选项D错误，故选:AC.11．ABD解：对于A，由题意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|,Q在OF上的投影为OF的中点，在上的投影向量为，故A正确；对于B，若△OQF为直角三角形，可得渐近线的倾斜角为，，，为等轴双曲线，故B正确；对于C，若，设，则解得或(舍去)，设渐近线的倾斜角为，可得，，，，，，，故C错误；对于D，设直线的方程为，与渐近线的交点坐标为，若，则，设，，，在双曲线上，，，，的渐近线方程为，即，故D正确.故选：ABD12．ABD解：如图，作,分别以为x，y轴建立平面直角坐标系，则，设，则，由可得，且，若，则，解得，（负值舍去），故，A正确；若，则，，所以，所以，故B正确；，由于，故，故，故C错误；由于，故，而，所以，所以，故D正确，故选：ABD13．解：法一：设，，则，所以.法二：，又，则.故答案为：14．解：试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.考点：正弦定理及运用．15.解：由题意可知三年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，则四门学科可按和两种情况分成三组，若按分成三组，有种分组方法，若按分成三组，有种分组方法，所以每位学生共有种不同的选修方式可选．故答案为：.16．解：设切点坐标为，，.则切线方程为，因为在切线上，所以，即又，所以，令，，当时，，所以在上单调递增，所以方程只有唯一解为.即切点坐标为，故所求切线方程为，即.故答案为：17．(1)(2)解：（1）因为所以，由正弦定理可得，所以，因为，则；（2）由题意，则，则，即的中线的最小值为（当且仅当取最小值）；综上，的最小值为.18．(1)证明见解析(2)解：（1）因为，所以，所以是常数数列．（2）因为，所以，所以，所以．因为，所以，所以．19．(1)存在(2)16解：（1）由题意可得：选择物理类的总人数有600，其中选择生物学科的人数为180，不选择生物学科的人数为420；选择历史类的总人数有400，其中选择生物学科的人数为80，不选择生物学科的人数为320；据此完善列联表科类生物学科选法选不选合计物理类180120300历史类80120200合计260240500零假设：两类学生对生物学科的选法没有差异，可得，由于，根据小概率值可知假设不成立，故可以认为两类学生对生物学科的选法存在差异，且犯错误的概率不大于.（2）记“学生选择物理类”为事件M，“学生选择历史类”为事件N，“同时选择的地理和化学”为事件C，则，故，由题意可得，则，故随机变量的均值.20．(1)证明见解析；(2)或解：（1）取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，且平面平面，平面平面，面，所以平面，又平面，所以，又因为，，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为为中点，所以，且，平面，所以平面，且平面，所以平面平面.（2）由（1）可知，且，，所以平面，且平面，所以，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则可得，即，，设平面的法向量为，则，则可得，取，则，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，所以，解得，或，即或当时，则，所以.当时，，所以.21.解：（1）由题意知，解得，故双曲线C的方程为：；（2）假设存在满足题意，设，，由题意知，直线AB不与x轴重合，设直线AB：，联立，得，则，，且，．方法一：因为，所以PF是∠APB的角平分线，则，即，则，整理得，故，化简得：（*），所以当时，（*）式总成立，此时，故存在满足题意．方法二：，同理．过A，B两点向x轴做垂线，易得，所以，即．化简得，又因为，，整理得，故，化简得：（*），所以当时，（*）式总成立，此时