2020年高考文科数学正弦定理和余弦定理-专项练习题-含解析

课时规范练A组基础对点练1．在△ABC中，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)，则B的值为()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：由正弦定理知，eq\f(sinA,sinA)＝eq\f(cosB,sinB)，∴sinB＝cosB，∴B＝45°.答案：B2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，则b＝()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D．3解析：由余弦定理，得4＋b2－2×2bcosA＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－eq\f(1,3)(舍去)，故选D.答案：D3．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则A．10 B．9C．8 D．5解析：化简23cos2A＋cos2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cosA＝eq\f(1,5).由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA，代入数据，解方程，得b答案：D4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinA＋bsinB<csinC，则△ABC的形状是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定解析：根据正弦定理可得a2＋b2<c2.由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，故C是钝角．即△ABC是钝角三角形．答案：C5．(2019·长沙模拟)在△ABC中，A＝eq\f(π,4)，b2sinC＝4eq\r(2)sinB，则△ABC的面积为()A．1 B．2C．3 D．4解析：因为b2sinC＝4eq\r(2)sinB，所以b2c＝4eq\r(2)b，即bc＝4eq\r(2)，故S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝2.答案：B6．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝eq\f(2\r(2),3)，a＝3，S△ABC＝2eq\r(2)，则b的值为()A．6 B．3C．2 D．2或3解析：因为S△ABC＝2eq\r(2)＝eq\f(1,2)bcsinA，所以bc＝6，又因为sinA＝eq\f(2\r(2),3)，所以cosA＝eq\f(1,3)，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.答案：D7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________.解析：由正弦定理可得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB，所以cosB＝eq\f(1,2)，又因为0＜B＜π，所以B＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)8．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B，则cosB的值为________．解析：因为A＝2B，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，b＝3，c＝1，所以eq\f(a,2sinBcosB)＝eq\f(3,sinB)，可得a＝6cosB，由余弦定理可得：a＝6×eq\f(a2＋1－9,2a)，所以a＝2eq\r(3)，所以cosB＝eq\f(a,6)＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)9．(2019·成都模拟)已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A＝eq\r(3)cos2A，且角A为锐角．(1)求三角形内角A的大小；(2)若a＝5，b＝8，求c的值．解析：(1)由题意，sin2A＝eq\r(3)cos2A，即tan2A＝eq\r(3).所以2A＝eq\f(π,3)或者2A＝eq\f(4π,3)，因为角A为锐角，所以A＝eq\f(π,6).(2)由(1)可知A＝eq\f(π,6)，a＝5，b＝8；由余弦定理，2bccosA＝c2＋b2－a2，可得：c2－8eq\r(3)c＋39＝0，解得c＝4eq\r(3)＋3或者4eq\r(3)－3.10．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝eq\r(2)，求△ABC的面积．解析：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac又a＝b，可得b＝2c，a＝2由余弦定理可得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,4).(2)由(1)知b2＝2ac因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝eq\r(2).所以△ABC的面积为1.B组能力提升练11．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.eq\f(3π,4) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA，所以2b2(1－sinA)＝2b2(1－cosA)，所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又0<A<π，所以A＝eq\f(π,4).答案：C12．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)＝eq\r(2)，则该三角形的形状是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．钝角三角形解析：因为eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)，由正弦定理得eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(sinB,sinA)，所以sin2A＝sin2B.由eq\f(b,a)＝eq\r(2)，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．故选A.答案：A13．在△ABC中，若eq\f(sinC,sinA)＝3，b2－a2＝eq\f(5,2)ac，则cosB的值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,4)解析：由题意知，c＝3a，b2－a2＝eq\f(5,2)ac＝c2－2accosB，所以cosB＝eq\f(c2－\f(5,2)ac,2ac)＝eq\f(9a2－\f(15,2)a2,6a2)＝eq\f(1,4).答案：D14．已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cosA解析：在△ADC中，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ADC)＝eq\f(\f(4,7)AB,sin∠ACD)eq\f(AC,\f(4,7)AB)＝eq\f(sin∠ADC,sin∠ACD)，同理，在△BCD中，有eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(\f(3,7)AB,sin∠BCD)eq\f(BC,\f(3,7)AB)＝eq\f(sin∠BDC,sin∠BCD)，又sin∠ADC＝sin∠BDC，sin∠ACD＝sin∠BCD，所以有eq\f(AC,\f(4,7)AB)＝eq\f(BC,\f(3,7)AB)AC＝eq\f(4,3)BC，由正弦定理得sinB＝eq\f(4,3)sinA，又B＝2A，所以sinB＝2sinAcosA，所以cosA＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)15．(2019·杭州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝eq\f(π,4)，b＝eq\r(6)，△ABC的面积为eq\f(3＋\r(3),2)，则c＝________，B＝________.解析：因为A＝eq\f(π,4)，b＝eq\r(6)，△ABC的面积为eq\f(3＋\r(3),2)＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×c×eq\f(\r(2),2)，所以解得：c＝1＋eq\r(3)，所以由余弦定理可得：a＝eq\r(b2＋c2－2bccosA)＝2，可得：cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，又0＜B＜π，故B＝eq\f(π,3).答案：1＋eq\r(3)eq\f(π,3)16．(2019·泉州模拟)已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，acsinA＋4sinC＝4csinA.(1)求a的值；(2)圆O为△ABC的外接圆(O在△ABC内部)，△OBC的面积为eq\f(\r(3),3)，b＋c＝4，判断△ABC的形状，并说明理由．解析：(1)由正弦定理可知，sinA＝eq\f(a,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，则acsinA＋4sinC＝4csinAa2c＋4c＝因为c≠0，所以a2c＋4c＝4aca2＋4＝4a(a－2)(2)设BC的中点为D，则OD⊥BC，所以S△OBC＝eq\f(1,2)BC·OD.又因为S△OBC＝eq\f(\r(3),3)，BC＝2，所以OD＝eq\f(\r(3),3)，在Rt△BOD中，tan∠BOD＝eq\f(BD,OD)