二次函数的图像和性质

二次函数的图像和性质第1页，共49页，2023年，2月20日，星期三1．的顶点坐标是________，对称轴是__________

2．怎样把的图象移动，便可得到的图象？（h，k）

复习提问直线x＝h

第2页，共49页，2023年，2月20日，星期三3．的顶点坐标是

，对称轴是

．(－2，－5)

直线x＝－2

4．在上述移动中图象的开口方向、形状、顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有变化？有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，没有变化的：抛物线的开口方向、形状

第3页，共49页，2023年，2月20日，星期三我们复习了将抛物线向左平移2个单位再向下平移5个单位就得到的图象，将化为一般式为，那么如何将抛物线的图像移动，得到的图像呢？新课

的图象怎样平移就得到那么一般地，函数的图象呢？

第4页，共49页，2023年，2月20日，星期三1．用配方法把化为的形式。

的形式，求出顶点坐标和对称轴。例1用配方法把化为解：

顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－3第5页，共49页，2023年，2月20日，星期三答案：，顶点坐标是(1，5)，对称轴是直线x＝1．

的形式，求出顶点坐标和对称轴。练习1

用配方法把化为第6页，共49页，2023年，2月20日，星期三

的方法和我们前面学过的用配方法解二次方程

“”类似．具体演算如下：化为的形式。2．用公式法把抛物线把变形为第7页，共49页，2023年，2月20日，星期三所以抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线。第8页，共49页，2023年，2月20日，星期三

的形式，求出对称轴和顶点坐标．例2

用公式法把化为解：在中，，∴顶点为（1，－2），对称轴为直线x＝1。第9页，共49页，2023年，2月20日，星期三

的形式，并求出顶点坐标和对称轴。答案：，顶点坐标为（2，2）对称轴是直线x＝2练习2

用公式法把化成第10页，共49页，2023年，2月20日，星期三3．图象的画法．步骤：1．利用配方法或公式法把化为的形式。2．确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。第11页，共49页，2023年，2月20日，星期三

的图像，利用函数图像回答：例3

画出(1)x取什么值时，y＝0？(2)x取什么值时，y＞0？(3)x取什么值时，y＜0？(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？第12页，共49页，2023年，2月20日，星期三分析：我们可以用顶点坐标公式求出图象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找两个点，则根据对称性很容易找出另两个点，这四个点连同顶点共五个点，过这五个点画出图像．第13页，共49页，2023年，2月20日，星期三(1)用顶点坐标公式，可求出顶点为(2，2)，对称轴是x＝2.(2)当x＝1时，y＝0，即图象与x轴交于点(1，0)，根据轴对称，很容易知道(1，0)的轴对称点是点(3，0)．又当x＝0时，y＝－6，即图象与y轴交于点(0，－6)，根据轴对称，很容易知道(0，－6)的轴对称点是点(4，－6)．用光滑曲线把五个点(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4，－6)连结起来，就是的图象。

第14页，共49页，2023年，2月20日，星期三解：列表xy22100－6304－6…………第15页，共49页，2023年，2月20日，星期三（2,2）·····x=2（0,－6）（1,0）（3,0）（4,－6）由图像知：当x＝1或x＝3时，

y＝0；(2)当1＜x＜3时，

y＞0；(3)当x＜1或x＞3时，

y＜0；(4)当x＝2时，

y有最大值2。xy第16页，共49页，2023年，2月20日，星期三练习3画出的图像。x…－10123…y…52125…第17页，共49页，2023年，2月20日，星期三x=1y=x2－2x＋2第18页，共49页，2023年，2月20日，星期三

（3）开口方向：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。4．二次函数的性质：（1）顶点坐标（2）对称轴是直线第19页，共49页，2023年，2月20日，星期三如果a＞0，当时，函数有最小值，如果a＜0，当时，函数有最大值，（4）最值：第20页，共49页，2023年，2月20日，星期三①若a＞0，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小。②若a＜0，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大。（5）增减性：第21页，共49页，2023年，2月20日，星期三

与y轴的交点坐标为（0，c）(6)抛物线与坐标轴的交点①抛物线②抛物线与x轴的交点坐标为，其中为方程的两实数根第22页，共49页，2023年，2月20日，星期三

与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程(7)抛物线的根的判别式判定：①△＞0有两个交点抛物线与x轴相交；②△＝0有一个交点抛物线与x轴相切；③△＜0没有交点抛物线与x轴相离。第23页，共49页，2023年，2月20日，星期三例4已知抛物线①k取何值时，抛物线经过原点；②k取何值时，抛物线顶点在y轴上；③k取何值时，抛物线顶点在x轴上；④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。第24页，共49页，2023年，2月20日，星期三

，所以k＝－4，所以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。

，所以k＝－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y＝0，所以第25页，共49页，2023年，2月20日，星期三

，所以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴上。③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即，整理得，解得：④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6时，抛物线的顶点在坐标轴上。第26页，共49页，2023年，2月20日，星期三所以当x＝2时，。解法一（配方法）：例5当x取何值时，二次函数有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？第27页，共49页，2023年，2月20日，星期三因为所以当x＝2时，。因为a＝2＞0，抛物线有最低点，所以y有最小值，

总结：求二次函数最值，有两个方法．(1)用配方法；(2)用公式法．解法二（公式法）：第28页，共49页，2023年，2月20日，星期三又例6已知函数，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。解法一：，

∴抛物线开口向下，

∴

对称轴是直线x＝－3，当

x＞－3时，y随x的增大而减小。

第29页，共49页，2023年，2月20日，星期三解法二：，∴抛物线开口向下，∴对称轴是直线x＝－3，当x＞－3时，y随x的增大而减小。第30页，共49页，2023年，2月20日，星期三例7已知二次函数的最大值是0，求此函数的解析式．第31页，共49页，2023年，2月20日，星期三解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．由②解方程得所求函数解析式为。第32页，共49页，2023年，2月20日，星期三

相等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状及开口方向，若①a＞0开口向上；5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。②a＜0开口向下。第33页，共49页，2023年，2月20日，星期三5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线③若a，b异号对称轴在y轴右侧。，故①若b＝0对称轴为y轴，②若a，b同号对称轴在y轴左侧，第34页，共49页，2023年，2月20日，星期三5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)，①c＝0抛物线经过原点；②c＞0与y轴交于正半轴；③c＜0与y轴交于负半轴。第35页，共49页，2023年，2月20日，星期三例8已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b；(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．第36页，共49页，2023年，2月20日，星期三分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用．第37页，共49页，2023年，2月20日，星期三解：(1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；判断a的符号第38页，共49页，2023年，2月20日，星期三(2)因为对称轴在y轴右侧，所以，而a＜0，故b＞0；判断b的符号第39页，共49页，2023年，2月20日，星期三(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c＞0；判断c的符号第40