高等代数第一多项式_第1页
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文档简介

高等代数第一多项式第一页，共十二页，2022年，8月28日一、数域二、数域性质定理§1.1数域第二页，共十二页，2022年，8月28日一、数域设P是由一些复数组成的集合，其中包括数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域．0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除常见数域：复数域C；实数域R；有理数域Q；（注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．）定义第三页，共十二页，2022年，8月28日说明：1）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P中，则说数集P对这个运算是封闭的．2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）是封闭的，则称集P为一个数域．第四页，共十二页，2022年，8月28日是一个数域．例1．证明：数集证：又对设则有设于是也不为0．第五页，共十二页，2022年，8月28日或矛盾）（否则，若则于是有为数域．是数域.类似可证Gauss数域第六页，共十二页，2022年，8月28日例2．设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一一个数域．有证：由题设任取所以，P是一个数域．时,时,第七页，共十二页，2022年，8月28日二、数域的性质定理任意数域P都包括有理数域Q．即，有理数域为最小数域．证明：设P为任意一个数域．由定义可知，于是有第八页，共十二页，2022年，8月28日进而有而任意一个有理数可表成两个整数的商，第九页，共十二页，2022年，8月28日设P为非空数集，若则称P为一个数环．附:例如，整数集Z就作成一个数环．数环第十页，共十二页，2022年，8月28日练习判断数集是否为数域？为什么?第十一页，共十二页，2022年，8月28日作业S是数域吗？２．证明：集合是一个数环

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