高等数学第一

高等数学第一课件第一页，共四十页，2022年，8月28日1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.列举法描述法一、集合

第二页，共四十页，2022年，8月28日数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.第三页，共四十页，2022年，8月28日2.集合的运算设A.B是两个集合第四页，共四十页，2022年，8月28日设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：（1）交换律（2）结合律例如：第五页，共四十页，2022年，8月28日（3）分配律（4）对偶律证明（仅证对偶律的第一式）所以反之，因为第六页，共四十页，2022年，8月28日设A、B是两个非空集合,称为集合A与集合B的直积例如:于是所以第七页，共四十页，2022年，8月28日3、区间和邻域设a和b都是实数且a<b.数集第八页，共四十页，2022年，8月28日称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.第九页，共四十页，2022年，8月28日邻域:1).数集2).数集第十页，共四十页，2022年，8月28日1、映射概念二、映射其中y称为元素（在映射下）的像，并记作,即定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对X中每个元素，按法则，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称为从X到Y的映射，记作第十一页，共四十页，2022年，8月28日而元素称为元素y（在映射下）的一个原像;集合X称为映射的定义域，第十二页，共四十页，2022年，8月28日（2）注意：（1）构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X，即定义域第十三页，共四十页，2022年，8月28日例1例2第十四页，共四十页，2022年，8月28日例3注：在几何上映射表示将平面上以原点为圆心的单位圆的点投影到x轴的区间[-1，1]。对于中的元素，除=（1，0）或（-1，0）外，它的原像不唯一。第十五页，共四十页，2022年，8月28日注：1）2）设是从集合X到集合Y的映射.3）若既是单射，又是满射，则称为一一映射。例1中的映射，既非单射，又非满射；例2中的映射是满射，但不是单射；例3中的映射为一一映射。第十六页，共四十页，2022年，8月28日2.逆映射

由于只有单射才存在逆映射，所以，在例1、2、3中只有例3中的映射才存在逆映射第十七页，共四十页，2022年，8月28日3.复合映射设有两个映射注：１.由复合映射的定义可知，映射g和构成复合映射的条件是：2.映射和的复合是有顺序的.有意义，第十八页，共四十页，2022年，8月28日例４第十九页，共四十页，2022年，8月28日１.函数概念定义设数集则称映射为定义在D上的函数，通常简记为其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域,记为三、函数函数值的全体所构成的数集第二十页，共四十页，2022年，8月28日函数的两要素：如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的,或者就是不同的.约定：用算式表达的函数，其定义域是使得算式有意义的自变量所能取的一切实数值.例如例如在函数定义中,对每个，对应的函数值y总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数。如果给定一个对应法则，按照这个法则，对每个总有确定的实数y与之对应，但y值不总是唯一的，则称这种法则确定了一个多值函数。第二十一页，共四十页，2022年，8月28日例如变量x和y之间的对应法则由方程给出，根据故所给定方程确定了一个多值函数。第二十二页，共四十页，2022年，8月28日例5例6第二十三页，共四十页，2022年，8月28日例7函数1-1xyo第二十四页，共四十页，2022年，8月28日例8

设x为任一实数.不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x].12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyoY=[x]第二十五页，共四十页，2022年，8月28日例9函数

第二十六页，共四十页，2022年，8月28日2.函数的几种特性(1).函数的有界性注:第二十七页，共四十页，2022年，8月28日(2)．函数的单调性:xyo第二十八页，共四十页，2022年，8月28日xyo第二十九页，共四十页，2022年，8月28日(3)．函数的奇偶性:偶函数yxox-x奇函数yxox-x第三十页，共四十页，2022年，8月28日(4)．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.第三十一页，共四十页，2022年，8月28日3.反函数与复合函数反函数注第三十二页，共四十页，2022年，8月28日复合函数第三十三页，共四十页，2022年，8月28日注：复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.例如4.函数的运算和（差）积商第三十四页，共四十页，2022年，8月28日例11证先分析如下：假若这样的g(x)、h(x)存在，使得且于是有（1）（2）利用（1）、（2）式，就可作出g(x)、h(x).这就启发我们作如下证明：作第三十五页，共四十页，2022年，8月28日则证毕.5.初等函数第三十六页，共四十页，2022年，8月28日以上这五类函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如都是初等函数.第三十七