常染色体遗传模型

常染色体遗传模型第1页/共27页给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如表(1)所示。

双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究一个较简单的特例。第2页/共27页例农场的植物园中某种植物的基因型为AA,Aa和aa。农场计划采用AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？第3页/共27页（a）假设（i）设an,bn和cn分别表示第n代植物中，基因型为AA,Aa和aa的植物占植物总数的百分比,n=0,1,2,…。。令x(n)为第n代植物的基因型分布：当n=0时表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分布）显然有第4页/共27页（b）建模根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA型与AA型结合,后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA型结合，后代是AA型的可能性为1/2，而第n－1代的aa型与AA型结合，后代不可能是AA型。因此当n=1,2…时即类似考虑第n代中的Aa型和aa可推出（ii）第n代的分布与第n－1代的分布之间的关系是通过表(1)确定的。第5页/共27页将（1）、（2）、（3）式相加，得根据假设(I)，可递推得出：对于(1)式.(2)式和(3)式，我们采用矩阵形式简记为其中（注：这里M为转移矩阵的位置）

第6页/共27页由（4）式递推，得(5)（5）式给出第n代基因型的分布可由初始分布的关系。为了计算出Mn，我们将M对角化，即求出可逆矩阵P和对角阵D，使

M=PDP-1因而有

Mn=PDnP-1,n=1,2,…其中这里，，是矩阵M的三个特征值。对于（4）式中的M，易求得它的特征值和特征向量：

=1，=1/2，=0第7页/共27页因此所以

通过计算，

，因此有第8页/共27页即第9页/共27页所以有当时，即在极限的情况下，培育的植物都是AA型。第10页/共27页若在上述问题中，不选用基因AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如表所示。模型讨论

后代基因型父体-母体的基因型AA-AAAa-Aaaa-aaAA11/40Aa01/20aa01/41第11页/共27页并且，其中M的特征值为通过计算，可以解出与、相对应的两个线性无关的特征向量e1和e2，及与相对应的特征内量e3：因此第12页/共27页解得：当时，，所以因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情况下，后代仅具有基因AA和aa。第13页/共27页第14页/共27页第15页/共27页第16页/共27页第17页/共27页市场占有率模型设有甲、乙、丙三家企业，生产同一种产品，共同供应1000家用户，各用户在各企业间自由选购，但不超出这三家企业，也无新的客户。假定在10月末经过市场调查得知，甲、乙、丙三家企业拥有的客户分别是：250户，300户，450户，而11月份用户可能的流动情况如表所示：从到甲乙丙甲2301010250乙2025030300丙30104104502802704501000假定该产品用户的流动按上述方向继续变化下去(转移概率不变)，预测12月份三家企业市场用户各自的拥有量，并计算经过一段时间后，三家企业在稳定状态下该种产品的市场占有率。第18页/共27页假定该产品用户的流动按上述方向继续变化下去(转移概率不变)，预测12月份三家企业市场用户各自的拥有量，并计算经过一段时间后，三家企业在稳定状态下该种产品的市场占有率。解：第一步：根据调查资料，确定初始状态概率向量，这里第二步：确定一次转移概率矩阵，此例由用户可能流动情况调查表可知，其一步转移概率矩阵为第19页/共27页矩阵中每一行的元素，代表着各企业保持和失去用户的概率，如第一行甲企业保持用户的概率是0.92，转移到乙、丙两企业的概率都是0.04，甲企业失去用户的概率是0.04＋0.04＝0.08。第三步：利用马尔可夫链模型进行预测。显然，12月份三家企业市场占有率为第20页/共27页12月份三个企业市场用户拥有量分别为：甲：乙：丙：现在，假定该产品用户的流动情况按上述方向继续变化下去，我们来求三个企业的该种产品市场占有的稳定状态概率。第21页/共27页上述结果表明：如果甲、乙、丙三家企业的市场占有率照目前转移概率状态发展下去，那么经过一段时间后，三企业的市场占有率分别为45.58％、15.98%和38.44%.显然，对于乙、丙两企业而言，必须迅速找出市场占有率下降的原因。第22页/共27页最佳服务地点选择

市汽车出租公司在甲、乙、丙三处开设租车还车处。顾客可在甲、乙、丙三处任意租车和还车。今公司准备在上述三处之一设立汽车维修保养厂。初步确定在汽车集中比较多的一处设置维修保养场。根据统计资料，顾客在上述三处还车的概率如表所示，试确定在何处设汽车维修保养场。还车的概率还车处租车处甲乙丙甲0.80.20乙0.200.8丙0.20.20.6第23页/共27页解：由题意可知，该问题的转移概率矩阵P为：成立第24页/共27页上式展开，得解上述联立方程