2020版高考数学第七单元不等式与推理证明课时4基本不等式课后作业文(含解析)新人教A版

基本不等式1．对

x∈R且

x≠0都建立的不等式是

(D)1

1A．x＋x≥2

B．x＋x≤－2|x|1C.x2＋1≥2

D．|

1x＋x|≥21

1因为

x∈R且

x≠0，因此当

x>0时，x＋x≥2；当

x<0时，－

x>0，因此

x＋x＝1－(－x＋－x)≤－2，因此

A，B都错误；又因为

2x＋1≥2|

x|

|x|1，因此x2＋1≤2，因此

C错误，应选

D.2．小王从甲地到乙地来回的时速分别为

a和

b(a<b)，其全程的均匀时速为

v，则(A)A．a<v<

ab

B．v＝

aba＋ba＋bab<v<2D．v＝2设甲地到乙地走的行程为S，则v＝2S＝2ab<2ab＝，SSa＋b2ababa＋b2b又因为a<b，因此a＝a＋b>1，即v>a.123．若实数a，b知足a＋b＝ab，则ab的最小值为(C)A.2B．2C．22D．412由a＋b＝ab知a>0，b>0，122因此ab＝a＋b≥2ab，即ab≥22，12a＝b，即a＝44当且仅当2，b＝22时取“＝”，124a＋b＝8，因此ab的最小值为22.4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(B)A．3B．411C.D.2利用基本不等式，x＋2y2x＋2y＝8－x·(2y)≥8－()，整理，得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y>0，因此x＋2y≥4.当且仅当x＝2，y＝1时取等号．a115．(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2＋8b的最小值为4.因为a－3b＋6＝0，因此a－3b＝－6.a1a－3ba－3b因此2＋8b＝2＋2≥22·222a－3b＝22－6＝2×2－3＝1.4当且仅当a－3ba11b＝0，知此时a＝－3，b＝1.6．如下图的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(暗影部分)，则其边长x为20(m)．设矩形的高为y(m)，面积为S(m2)，40－y由三角形相像得40＝40，即x＋y＝40.x＋y2因此S＝xy≤(2)＝400，当且仅当x＝y＝20时等号建立．7．已知x>0，y>0，且4x＋y＝1.1求x＋y的最小值；求log2x＋log2y的最大值．1111y4xy4x(1)因为x＋y＝(x＋y)(4x＋y)＝x＋y＋5≥2x·y＋5＝9.y＝4x11当且仅当，即x＝，y＝时，取“＝”．xy6311因此x＋y的最小值为9.1(2)log2x＋log2y＝log2(xy)＝log2(4·4x·y)log2[1(4x＋y)2]＝log21＝－4，4216当且仅当4x＝y，即x＝1，y＝1时取“＝”．82因此log2x＋log2y的最大值为－4.8．在R上定义运算：xy＝x(1－y)．若对随意x>2，不等式(x－ax≤a＋2都成立，则实数a的取值范围是(C)A．[－1,7]B．(－∞，3]C．(－∞，7]D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)由题意可知，不等式(x－ax≤＋2可化为(－)(1－)≤a＋2，即－x2－axaxxa＋ax≤a＋2，x2－x＋2x2－x＋2.因此a≤x－2对x>2都建立，即a≤(x－2)minx2－x＋24＋3≥2x－24＋3＝7(x>2)，因为＝(x－2)＋x－2x－2x－24当且仅当x－2＝x－2，即x＝4时，等号建立，因此a≤7.9．(2018·湖南长郡中学联考)已知向量a，b知足：||＝||＝1且a·1c＝＝，若abb2＋yb，此中x>0，y>0且x＋＝2，则|c|的最小值是3.xay1因为|a|＝|b|＝1，a·b＝2，因此|c|2＝x2＋y2＋2xya·b＝x2＋y2＋xy2x＋y2≥3.＝(x＋y)－xy＝4－xy≥4－()2当且仅当x＝y＝1时，取“＝”．因此|c|≥3.10．某单位决定投资32000元建一库房(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价400元，双侧墙砌砖，每米长造价450元，顶部每平方米造价元，求：库房面积S的最大同意值是多少？为使S达到最大值，而实质投资又不超出估算，那么正面铁栅应设计为多长？(1)设铁栅长为x米，双侧砖墙长为y米，且x，y>0.顶部面积S＝xy，依题意得，400x＋900y＋200xy＝32000，由基本不等式得32000＝400x＋900y＋200xy≥2400x·900y＋200xy1200xy＋200xy，即32000≥1200S＋200S，即S＋6S－160≤0，令t＝S(t>0)，得t2＋6t－160≤0，即(t－10)(t＋16)≤0，因此0<t≤