2005数一真题、答案及解析

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2x

微分方程xy2yxlnx满足y(1)1的解为 9设函数ux,yz)

x2y2z 6

18，单位向量n

3x2yR2x2y设是由锥面z 与半球面z 围成的空间区域，3x2yR2x2y设1,2,33A(1,2,3)，B(123,12243,13293)如果A1，那么B ,,P{Y2} .n1xn1x 恰有两个不可导点

f(x)在(,)恰有一个不可导点 F(x)是偶函数f(x)是奇函数（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数F(x)是周期函数f(x)是周期函数F(x)是单调函数f(x)是单调函数 x设函数uxy(xy(xyxy(t)dt,其中函数具有二阶导数，x

y2

y

第-1-页共17页可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z) 设12是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2，则1A(1210 20 (C)10 (D)20 An（n2）A12B,A*B*A,B的伴交换A*的第1列与第2列得B* (B)交换A*的第1行与第2行得B* 交换A*的第1列与第2列得B* (D)交换A*的第1行与第2行得B* 设二维

已知随 {X0}与{XY1}相互独立， a=0.2,a=0.4, a=0.3,a=0.1,[]则nX~N nS2~2 (n1)X~t(n

(n1)X1~F(1,n Xi三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15（Dxyx2y2D重积分xy[1x2y2D（16（

2,x0y0}，[1x2y2表示不超过1x2y2的最大整数.第-2-页共17页求幂级数n

n1(1 n(2n（17（Cy=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2C在点(0,0)与(3,2)的切线，其交点为(2,4).f(x)具有三阶连续导数，计算定积分3x2xf0（18（.（I）存在0,1),f(1（II）存在两个不同的点,0,1)f(f(（19（

(y)dx2xydy2x2y4

(y)dx2xydy02x2y求函数(y)的表达式（20（f(xxx)(1a)x21a)x22x22(1a)xx a

1f(x1x2x3=0的解（21（

已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零矩阵B 6（k为常数且AB=O, 3 k（22（设二维随量(X,Y)的概率密度 f(x,y)1,0x1,0y 第-3-页共17页（II）Z2XYfZ（23（设X1X2,Xn(n2)为来自总体N(0,1)XYiXiX,i1,2,,（II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1Yn第-4-页共17页2005年考研数学一解.y

x2x

y1x1 【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程进行计算即可【详解】因为a=limf(x) x

1 x2x2 blimf(x)ax 1 x2(2x 于是所求斜渐近线方程为y x xy2yxlnxy(11y1xlnx1 【分析】直接套用一阶线性微分方程yP(x)yQ(x)的通 yePx)dx[Qx)ePx)dxdxC]，y2ylnx1x1 y

2

lnx

2xdxC]

x2[

2lnxdx2y(1)

=1xlnx1xC1 x xlnx 9设函数ux,yz)

33x2y2z 6

18，单位向量n

3【分析u(x,y,z)沿单位向量ncos,coscos}3uucosucosu 【详解

第-5-页共17页13=1 1 11 1333 33x2yR2x2y设是由锥面z 与半球面z 围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则xdydzx2yR2x2y 【分析】本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐【详解】xdydzydzdxzdxdy =3R2d4sindd2(1

2)R3 设1,2,33A(1,2,3)，B(123,12243,13293)如果A1，那么B 【详解】由题设，有B(123,12243,132931=(1,2,3

3 1

BA

3129,,P{Y2} 【详解】P{Y2}P{X1}P{Y2X1}P{X2}P{Y2X+P{X3}P{Y2X3}+P{X4}P{Y2X第-6-页共17页=1(0111)13 n1xn1xf(x)

f(x)在(,) 恰有一个不可导点 恰有两个不可导点 [ 【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形【详解】x1f(xx1f(x)

1n1n1xn1x1f(xlimx3

x

1)n

xx3

xf(x)

x3

1xx

F(x)是偶函数f(x)是奇函数（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数F(x)是周期函数f(x)是周期函数F(x)是单调函数f(x)是单调函数 A【详解F(x)xf(t)dtCF(x)0当F(x)为偶函数时F(x)F(x)F(x1)F(x)

ff(x)fx)xf(x)f(x)f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则0f(t)dt为偶函数，从而xxF(x)0f(t)dtC为偶函数，可见(A)为正确选项方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、 令f(x)=x,则取F(x)=1x2,排除(D);故应选2x设函数uxy(xy(xyxy(t)dt,其中函数具有二阶导数，x

y2

y

第-7-页共17页 【分析】先分别求出x2y2xy，再比较答案即可【详解】因为u(xy(xyxy(xyu(xy)(xy)(xy)(xy)于 (xy)(xy)(xy)(xy)，

(xy)(xy)(xy)(xy) (xy)(xy)(xy)(xy)y2u

y2，应选xyzlnyexz1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 【分析】本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=xyzlnyexz1,Fz,Fx,Fy，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数且

【详解F(x,y,zxyzlnyexz1,Fyexzz，Fxz，Flnyexzx .).设12是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2，则1A(12)10 20 (C)10 (D)20 第-8-页共17页 k11k2A(12)0，k11k211k2220，由于1,2线性无关，于是有k1k21

(k1k21)1k2220 k22线性无关，则必然有20(,否则，1A(12)11线性相关)，故应选 10方法二：由于[1,A(12)][1,1122][1,2 0 21可见1A(12)线性无关的充要条件是

20.故应选2An（n2）A12B,A*B*A,B的伴交换A*的第1列与第2列得B* (B)交换A*的第1行与第2行得B*交换A*的第1列与第2列得B*.(D)交换A*的第1行与第2行得B*. E12AB于是B*(E12A)*A*E A* E121A*E，

B*,可见应选设二维

已知随 {X0}与{XY1}相互独立， a=0.2,a=0.4, a=0.3,a=0.1,[B]第-9-页共17页a,b的取值【详解】由题设， 又{X0}与{XY1}相互独立，于是P{X0,XY1}P{X0}P{XY1} a=(0.4a)(ab) 由此可解得a=0.4,b=0.1,故应选则nX~N nS2~2(n1)X~t(n

(n1)X1~F(1,n Xinn1n1n

X0 X nSnSnS

(n1)S~t(n，~t(n

(n1)S2~2(n

，不能断定(B)是正选项因为X2~2(1

X2~2(n1)，且X2~2(1) X2~2(n1)相互独立，于n

X (n1)X 1~F(1,n

故应选n

三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15（Dxyx2y2D重积分xy[1x2y2D

2,x0y0}，[1x2y2表示不超过1x2y2的最大整数.【详解 令D1{(x,y)0x2y21,x0,y第-10-页共17页D2{(x,y)1x2y2 2,x0,y则xy[1x2y2dxdyxydxdy2 2sincosdr3dr22sincosd r =137 （16（求幂级数n

n1(1 n(2n.【详解】因为lim(n1)(2n1)1 n(2n (n1)(2n S(x)2n(2n ,x S(x)S(x)

(1)n1x2n1,x(1,1)2n1(1)n1x2n2 ,x(1,1).1由 S(0)0,S(0)所 S(x)

xS(t)dt 01

dtarctanS(x)xS(t)dtxarctantdtxarctanx1ln(1x2

2,x

1从 f(x)2S(x)12xarctanxln(1x2)

,x1

(（17（Cy=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2C在点(0,0)与(3,2)第-11-页共17页的切线，其交点为(2,4).f(x)具有三阶连续导数，计算定积分3x2xf0 f(0)2; f(3)2,f(3) 3(x2x)f(x)dx3(x2x)df(x)(x2x)f( 33f(x)(2x =3(2x1)df(x)(2x1)f0=162[f(3)f(0)]

323f （18（.（I）存在0,1),f(1（II）存在两个不同的点,0,1)f(f(【详解（I）F(xfx1xF(x)在[0，1]上连续F(0)=-1<0,F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在0,1),F(0f(1.（II）在[0,]和[,1]上对f(x)分别应用日中值定理，知存在两个不同的点(0,),(,1)f(f(f(0)f(f(1)f( 1于 f()f()f()1f()1

（19（

1 1

(y)dx

2x2y

(y)dx2xydy02x2y求函数(y)的表达式第-12-页共17页 利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（II）中求(y)的表达式，显然应用积分与路径无关即可YC YC (y)dx2xydy (y)dx2xydy (y)dx2xydy0 2x2y

2x

y l

2x

y 2设P( ,Q

2x2 2x2曲线积分(y)dx2xydyx0时，总有QP 2x2 2y(2x2y4) 4x2y2 (2x2y4 (2x2y4 (y)(2x2y4)4(y) . (2x2y4 (2x2y4 (y)y4(y)y2y.由③得yy2c，将y代入④得2y54cy32y5所以c0，从而y（20（f(xxx)(1a)x21a)x22x22(1a)xx a

1f(x1x2x3=0的解 【分析（I）根据二次型的秩2，可知对应矩阵的行列0，从而可a的值；（II）是常规问题，（III）利用第二步的结果，通过标第-13-页共17页PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 【详解（I）A1

11

0 1

1

A10

10

002（II）这里A

，可求出其特征值为 2,0 0

解(2EAx0，得特征向量为：11,20 1 解(0EAx0，得特征向量为：30 由于1,2已经正交，直接将1,23单位化，得110,312120令Q1 3，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形f(x,x,x)=2y22y2 f(xxx2y22y20y0,y0,yk（k为任意常数

c从而所求解为：x=Qy= 0kc，其中c为任意常数 3 （21（

已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零矩阵B

36（k为常数且AB=O, k,第-14-页共17页)（1）k9,r(B)=2,r(A1,r(A1,r(A)=1.Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2,矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=01 3 xk12k26k1k2为任意常数 k (2)k=9r(B)=1,从而1rA133若r(A)=1,则Ax=0ax1bx2cx30a0b c a a xk11k20k1k2为任意常数01 01