2022-2023学年河南省高中毕业班阶段性测试（五）文科数学（解析版）

2022—2023学年高中毕业班阶段性测试（五）文科数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（）A． B． C． D．2．已知集合，，那么（）A． B． C． D．3．函数的图象在点处的切线方程为（）A． B． C． D．4．从，，，，这五个数中任选两个不同的数，则这两个数的和大于的概率为（）A． B． C． D．5．在等差数列中，已知，那么（）A．4 B．5 C．6 D．76．甲、乙两班各有10名同学参加智力测试，他们的分数用茎叶图表示如下，则下列判断错误的是（）A．甲班的分数在100以上的人数比乙班的少B．甲班的极差比乙班的小C．甲班与乙班的中位数相等D．甲班的平均数与乙班的相等7．函数的最小值为（）A． B．0 C．2 D．68．某多面体的体积是，其三视图如图所示，则侧（左）视图中的（）A． B． C． D．19．函数的图象大致为（）A． B． C． D．10．如图所示，圆锥的底面半径为R，母线长为，其内接圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为，则该圆柱的表面积为（）A． B． C． D．11．设，，，则（）A． B． C． D．12．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内、外两圈的钢骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”类似，其平面图如图2所示，已知外层椭圆的长轴长为200米，且内、外椭圆的离心率均为，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，若AC的斜率为，则内层椭圆的短轴长为（）A．75米 B．米 C．50米 D．米二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，则实数k的值为______．14．圆心与圆的圆心重合，且过点的圆的方程为______．15．分别过双曲线的左、右顶点作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，若，则双曲线的离心率为______．16．如图所示，在中，已知，，D，E，F分别在边AC，BC，AB上，且为等边三角形．若，则的面积为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）近年来，医保政策不断完善，报销比例越来越高，受到市民的欢迎，但是由于特殊药品还有很多没有纳入医保，所以也引起了部分市民的不满，对某大型社区进行医保满意度调查，制作了如下列联表．不满意满意合计男17女42合计100已知从样本中的100人中随机抽取1人其满意度为不满意的概率为．（Ⅰ）完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表，判断是否有的把握认为是否满意与市民的性别有关．附：，其中．0.100.010.001k2.7066.63510.82818．（12分）已知数列中，，且．（Ⅰ）证明：是等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和．19．（12分）如图，在正三棱柱中，，，D是AC的中点，点E在上且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离．20．（12分）已知函数，曲线在和处的切线互相垂直．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）令函数，证明：．21．（12分）已知动点P到直线的距离比到点的距离大7．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）记动点P的轨迹为曲线C，点M在直线上运动，过点M作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，点N是平面内一定点，线段MA，NA，NB，MB的中点依次为E，F，G，H，若当M点运动时，四边形EFGH总为矩形，求定点N的坐标．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（Ⅱ）设l和C交于A，B两点，求的面积．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）设的最小值为m，且正实数a，b，c满足，求证：．2022—2023学年高中毕业班阶段性测试（五）文科数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．答案A命题意图本题考查复数的运算．解析．2．答案C命题意图本题考查集合的运算．解析．3．答案C命题意图本题考查导数的几何意义．解析，则切线的斜率为，而，所以切线方程为，即.4．答案D命题意图本题考查古典概型的概率计算．解析从，，，，这五个分数中任选两个数有，，，，，，，，，，共10种情况，其中这个数的和大于的有，，，，，，共6种情况，故所求概率为．5．答案B命题意图本题考查等差数列的性质．解析由等差中项的性质得，解得．6．答案C命题意图本题考查茎叶图以及统计的有关概念．解析甲班的分数在100以上的有2人，乙班的分数在100以上的有3人，故A正确；甲班的极差为，乙班的极差为，故B正确；甲班的中位数为，乙班的中位数为，故C错误；甲班的平均数为，乙班的平均数为，故D正确．7．答案B命题意图本题考查三角恒等变换，以及函数的性质．解析，设，则，由二次函数性质可知当时，单调递减，所以当时，取得最小值0，故的最小值为0．8．答案D命题意图本题考查三视图．解析由三视图还原出原几何体，可知为三棱锥，如图所示，结合三视图得该三棱锥体积为，所以．9．答案A命题意图本题考查利用函数的性质判断函数图象．解析，令，可得的正零点依次为，，…，当时，，，当时，，，结合选项可知只有A项符合．10．答案B命题意图本题考查圆锥与圆柱的结构特征．解析根据题意，作图如下：由已知可得，圆锥的内接圆柱的底面半径与圆锥的底面半径之比为，所以圆锥的内接圆柱的底面半径为，即，，根据三角形相似可得，故该内接圆柱的表面积为．11．答案A命题意图本题考查对数的运算性质．解析因为，所以，即，同理可得，所以，所以，又，所以．12．答案B命题意图本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．解析由条件可知外层椭圆的短轴长为100米，以百米为单位，则外层椭圆方程可写为．设内层椭圆方程为，由已知得AC的方程为，与联立得，由，得，则内层椭圆的方程为，即，其短半轴长为（百米），即短轴长为（百米），即米．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案4命题意图本题考查平面向量的坐标运算．解析因为，所以，解得．14．命题意图本题考查圆的方程．解析依题意，设所求圆的方程为，由于所求圆过点，所以，解得．所以所求圆的方程为．15．答案2命题意图本题考查双曲线的性质．解析如图所示，由已知可得C的左、右顶点分别为，，设C的半焦距为，根据渐近线的性质可知，所以，所以，所以，所以双曲线的离心率为．16．答案命题意图本题考查三角函数的应用．解析设，的边长为a，则．因为，所以在中，可得，根据正弦定理，，即，解得，所以的面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查独立性检验的应用．解析（Ⅰ）根据题意，不满意的总人数为，所以完成列联表如下：不满意满意合计男172845女134255合计3070100（Ⅱ）因为，因为，所以没有的把握认为是否满意与市民的性别有关．18．命题意图本题考查数列的递推关系，以及等比数列的性质与求和．解析（Ⅰ）因为，所以，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，所以．19．命题意图本题考查空间垂直关系的证明以及点到平面距离的计算．解析（Ⅰ）如图，连接BD，．由已知可得，，，，所以，，，所以，所以，同理，又，所以平面．（Ⅱ）在中，，，则．在中，，，，则．设点到平面的距离为d，由，得，得，解得．20．命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．解析（Ⅰ）由题意知，曲线在和处的切线互相垂直，则，∵，，∴，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴．①设，则，当时，，单调递增，∴当时，，即．②综合①②，可得，即．21．命题意图本题考查抛物线的方程，抛物线与直线的位置关系．解析（Ⅰ）因为动点P到直线的距离比到点的距离大7，所以动点P到直线的距离等于到点的距离，所以动点P的轨迹是以点为焦点，为准线的抛物线，所以动点P的轨迹方程是．（Ⅱ）若四边形EFGH为矩形，则．当点M在处时，两个切点A，B关于y轴对称，故要使得，则点N必须在y轴上．故设，，，，C的方程为，求导得，所以切线MA的斜率，直线MA的方程为，又点M在直线MA上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，所以则，可见当时，恒成立，即点N的坐标为．22．命题意图本题考查方程的互化、直线与圆的位置关系．解析（Ⅰ）由消去参数t，得，所以l的普通方程为．由，得，将代入，得，所以C