20192020学年高中数学同步苏教版必修3学案第2章23231平均数其估计Word版含解析

整体特点数的预计2．3.1均匀数及其预计预习课本P65～68，思虑并达成以下问题1．什么叫一组数据的均匀数？2.均匀数有哪些计算方法？[新知初探]1．均匀数的观点一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是这组数据的均匀数(或均值)，一般记为：a1＋a2＋＋ana＝.n[点睛](1)均匀数反应了一组数据的集中趋向，它是一组数据的“重心”，是胸怀一组数据颠簸大小的基准．用样本均匀数可预计整体均匀数．用均匀数能够比较两组数据的整体状况，如成绩、产量等．2．均匀数的计算(1)定义法：已知x1，x2，x3，，xn为某样本的n个数据，则这n个数据的均匀数为xx1＋x2＋x3＋＋xn＝.n利用均匀数性质：假如x1，x2，，xn的均匀数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，，mxn＋a的均匀数是mx＋a.(3)加减常数法：数据x1，x2，，xn都比较大或比较小，且x1，x2，，xn在固定常数a邻近颠簸，将原数据变化为x1±a，x2±a，，xn±a，新数据的均匀数为x′，则所求原数据的均匀数为x′±a.(4)加权均匀数法：样本中，数据x1有m1个，x2有m2个，，xk有mk个，则x＝m1x1＋m2x2＋＋mkxk.m1＋m2＋＋mk频次法：一般地，若取值为x1，x2，，xn的频次分别为p1，p2，，pn，则其均匀数x＝p1x1＋p2x2＋＋pnxn.组中值法：若样本为n组连续型数据，则样本的均匀数＝组中值与对应频次之积的和．[小试身手]1．(江苏高考)已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的均匀数为________．分析：x＝4＋6＋5＋8＋7＋6＝6.6答案：62．若数据x1，x2，x3，，xn的均匀数为2，则数据2x1－1,2x2－1,2x3－1，，2xn1的均匀数为________．答案：33．数据2,2，－4，－4，－4,3,3,3,3的均匀数为________．答案：

49均匀数的计算[典例](1)某班45名同学的年纪(单位：岁)以下：141514161517161516161515171314151616151415151415161716151515161513161515171415161615141515，求全班的均匀年纪．从高三年级中抽出50名学生参加数学比赛，由成绩获得以下图的频次散布直方图．试利用频次散布直方图预计高三年级学生的均匀成绩．[解](1)法一：利用均匀数的公式计算．11＝45×(14＋15＋＋15)＝45×684＝15.2(岁)．法二：利用均匀数的简化公式计算．取a＝15，将已知各数减去15，得－10－11021011002－2－10110－100－1012100010－21002－10110－10011x′＝45×(－1＋0＋＋0)＝45×9＝0.2(岁)．x＝x′＋a＝0.2＋15＝15.2(岁)．法三：利用加权均匀数公式计算．11x＝45×(13×2＋14×7＋15×20＋16×12＋17×4)＝45×684＝15.2(岁)．即全班的均匀年纪是15.2岁．(2)样本均匀数是频次散布直方图的“重心”，即全部数据的均匀数，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积再乞降即可．故均匀成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.00610)×＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.02410)×＋95×(0.016×10)＝76.2.给定一组数据，要求其均匀数可直接套用公式．若这组数据都在某一数据邻近颠簸，可用均匀数的简化公式计算，若这组数据某些数多次出现，可用加权均匀数公式计算．在频次散布表中，均匀数可用各组区间的组中值与对应频次之积进行预计．若一组数据的个数未知，但每一数据所占比率已知，可用频次均匀数公式．[活学活用]1．某医院的急诊中心的记录表示过去到这此中心就诊的病人需等候的时间的散布以下：等候时间[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]/min频次0.200.400.250.100.05则到这此中心就诊的病人均匀需要等候的时间预计为________．分析：x＝2.5×0.2＋7.5×0.4＋12.5×0.25＋17.5×0.1＋22.5×0.05＝9.5.答案：9.52．某班进行一次查核，满分5分，3分(包含3分)以上为合格，得1分，2分，3分，4分，5分的人数占该班人数的比率分别为5%,10%,35%,40%和10%，试求该班的均匀得分．解：因为此题没有给出该班同学的人数，故没法用定义法求解．而题中给出了相应分数及所占比率，故可用频次均匀数公式计算．x＝1×0.05＋2×0.10＋3×0.35＋4×0.40＋5×0.10＝3.4，故该班的均匀分数为3.4分.均匀数的性质[典例]若x1，x2，，xn的均匀数为x，数据y1，y2，，yn的均匀数为y，求下列几组数据的均匀数．(1)2x1,2x2，，2xn；kx1＋a，kx2＋a，，kxn＋a；x1＋y1，x2＋y2，，xn＋yn.1[解]据题意x＝n(x1＋x2＋x3＋＋xn)，1y＝n(y1＋y2＋＋yn)，设第一组数据均匀数为z，第二组数据均匀数为甲，第三组数据均匀数为乙.11(1)z＝(2x1＋2x2＋＋2xn)＝2·(x1＋x2＋＋xn)＝2x，nn1(2)甲＝n[(kx1＋a)＋(kx2＋a)＋＋(kxn＋a)]1n[k(x1＋x2＋＋xn)＋na]1＝k·n(x1＋x2＋＋xn)＋a＝kx＋a.1(3)乙＝n[(x1＋y1)＋(x2＋y2)＋＋(xn＋yn)]1＝n[(x1＋x2＋＋xn)＋(y1＋y2＋＋yn)]11＋y2＋＋yn)＝(x1＋x2＋＋xn)＋(y1nn＝x＋y.若x1，x2，，xn的均匀数为

x，y1，y2，，yn的均匀数为

y，则

ax1，ax2，，axn的均匀数为

ax，kx1＋a，kx2＋a，，kxn＋a的均匀数为

kx

＋a；x1＋y1，x2＋y2，，xn＋yn的均匀数为x＋y，以上反应了均匀数的性质，利用这些性质，可方便进行一些计算．[活学活用]已知数据x1，x2，，xn的均匀数为1，数据y1，y2，y3，，yn的均匀数为2，则数据22x1＋3,2x2＋3，，2xn＋3的均匀数为________，数据ax1＋by1，ax2＋by2，，axn＋byn的均匀数为________．1答案：42a＋2b层级一学业水平达标1．已知1,2,3,4，a，b，c的均匀数是8，则a＋b＋c＝________.1分析：据题意7(1＋2＋3＋4＋a＋b＋c)＝8，∴a＋b＋c＝46.答案：462．已知2,4,2x,4y四个数的均匀数是5，而5,7,4x,6y四个数的均匀数是9，则xy的值是________．1＋4＋2x＋4y＝5，4x＝3，分析：据题意解之得＝12.4＋7＋4x＋6y＝9，y∴xy＝6.答案：63．在一次知识比赛中，抽取40名选手，成绩散布以下：成绩678910人员散布2571115则选手的均匀成绩是________．1分析：x＝40(6×2＋7×5＋8×7＋9×11＋10×15)＝8.8.答案：8.81．一位同学种了甲、乙两种树苗各

1株，分别察看了

9次、10

次后，获得树苗高度的数据的茎叶图如图(单位：厘米

)．则甲种树苗高度均匀为________；乙种树苗的高度均匀为________；甲、乙两种树苗高度均匀为________．分析：依据茎叶图可得，察看甲树苗9次获得的树苗高度分别为：14,20,21,23,24,30,32,33,37；察看乙树苗10次获得的树苗高度分别为：10,11,14,24,26,30,44,46,46,47，易得甲树苗高度均匀为234＝26，乙树苗高度均匀为298＝29.8，910甲、乙两种树苗高度均匀为119(234＋298)＝28.答案：2629.8285．50名同学参加数学比赛，成绩的分组及各组的频数以下：(单位：分)[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.列出样本的频次散布表并求这50名同学的均匀分．解：频次散布表以下：成绩分组频数频次[40,50)20.04[50,60)30.06[60,70)100.2[70,80)150.3[80,90)120.24[90,100]80.16共计501.00法一：总成绩约为45×2＋55×3＋65×10＋75×15＋85×12＋95×8＝3810(分)，故50名同学的数学均匀分约为3810÷50＝76.2(分)．法二：求组中值与对应频次之积的和．45×0.04＋55×0.06＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.24＋95×0.16＝76.2(分)．层级二

应试能力达标1．某同学使用计算器求

30个数据的均匀数时，错将此中一个数据

105输入为

15，那么由此求出的均匀数与实质均匀数的差是________．答案：－32．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，均匀数分别是________.

则这组数据的中位数和答案：91.5,91.53．一个公司，30%的职工年收入为1万元，年收入为11万元，则这个公司职工的年均匀收入是________万元．

65%的职工年收入为3万元，5%的职工________万元，年收入的中位数是分析：年均匀收入为1×0.3＋3×0.65＋11×0.05＝2.8，中位数为3.答案：2.834．已知x是x1，x2，，x100的均匀数，a是x1，x2，，x40的均匀数，b是x41，x42，，x100的均匀数，则以下各式正确的选项是________．(填序号)x＝40a＋60b；②x＝60a＋40b；③x＝a＋b；100100a＋b④x＝2.答案：①5．已知数据x1，x2，，x8的均匀数为6，则数据2x1－6,2x2－6，，2x8－6的均匀数为________．答案：66．已知样本数据x1，x2，，xn的均匀数为h，y1，y2，，ym的均匀数为k，则把两组数据归并成一组此后，这组样本的均匀数为____________．nh＋mk答案：n＋m7．一个高中研究性学习小组对当地域2014年至2016年快餐公司发展状况进行了检查，制成了该地域快餐公司个数状况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的均匀数状况条形图(如图)，依据图中供给的信息能够得出这三年中该地域每年均匀销售盒饭________万盒．分析：2014年：30×1.0＝30(万)，2015年：45×2.0＝90(万)，2016年：90×1.5＝135(万)，1x＝3(30＋90＋135)＝85(万)．答案：858．某餐厅共有7名职工，全部职工的薪资状况以下表：人员经理厨师甲厨师乙会计服务服务勤杂工员甲员乙人数1111111薪资3000700500450360340320解答以下问题：餐厅全部职工的均匀薪资是________．全部职工薪资的中位数是________．(3)用均匀数仍是用中位数描绘该餐厅职工薪资的一般水平比较适合？________.去掉经理的薪资后，其余职工的均匀薪资是________，能否也能反应该餐厅职工薪资的一般水平？________.(填“能”或“不可以”)分析：(1)均匀薪资为(3000＋700＋500＋450＋360＋340＋320)÷7＝810.由表格可知中位数为450.用中位数描绘该餐厅职工薪资的一般水平比较适合．(4)去掉经理的薪资后，其余职工的均匀薪资为(700＋500＋450＋360＋340＋320)÷6＝445.均匀薪资能反应该餐厅职工薪资的一般水平．答案：(1)810(2)450(3)中位数(4)445能9．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选用20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日均匀增添的睡眠时间(单位：h)．试验的观察结果以下：服用A药的20位患者日均匀增添的睡眠时间：0．61.22.71.52.81.82.22.33.23.52．52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日均匀增添的睡眠时间：3．1．分别计算两组数据的均匀数，从计算结果看，哪一种药的疗效更好？(2)依据两组数据达成下边茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好？解：(1)设A药观察数据的均匀数为x，B药观察数据的平均数为y.由观察结果可得1＝20×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.82.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，1＝20×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.12.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x>y，所以可看出A药的疗效更好．由观察结果可绘制以下茎叶图：以上茎叶图能够看出，

A药疗效的试验结果有

7的叶集中在茎

2,3上，而

B药疗效的10试验结果有

107的叶集中在茎

0,1上，由此可看出

A药的疗效更好．10．有一组数据：x1，x2，，xn(x1<x2<<xn)的算术均匀数为10，若去掉此中最大的一个，余下数据的算术均匀数为9；若去掉此中最小的一个，余下数据