管理运筹学存储论

管理运筹学存储论1第一页，共四十九页，2022年，8月28日第十二章存贮论存贮是缓解供应与需求之间出现的供不应求或供过于求等不协调情况的必要和有效的方法和措施。但是，要存贮就需要资金和维护，存贮的费用在企业经营的成本中占据非常大的部分。存贮论主要解决存贮策略问题，即如下两个问题：

1．补充存贮物资时，每次补充数量(Q)是多少？

2．应该间隔多长时间(T)来补充这些存贮物资？建立不同的存贮模型来解决上面两个问题，如果模型中的需求率、生产率等一些数据皆为确定的数值时，存贮模型被称为确定性存贮摸型；如果模型中含有随机变量则被称为随机性存贮模型。2第二页，共四十九页，2022年，8月28日§1

经济订购批量存贮模型

经济订购批量存贮模型，又称不允许缺货，生产时间很短存贮模型，是一种最基本的确定性存贮模型。在这种模型里，需求率即单位时间从存贮中取走物资的数量是常量或近似乎常量；当存贮降为零时，可以立即得到补充并且所要补充的数量全部同时到位（包括生产时间很短的情况，我们可以把生产时间近似地看成零）。这种模型不允许缺货，并要求单位存贮费，每次订购费，每次订货量都是常数，分别为一些确定的、不变的数值。主要参数：

需求率：d

单位货物单位时间的存贮费：c1

每次订购费：c3

每次订货量：Q是一些确定的、不变的数值。3第三页，共四十九页，2022年，8月28日各参量之间的关系：订货量

Q单位存贮费

c1每次订购费

c3

越小存贮费用越小订购费用越大越大存贮费用越大订购费用越小存贮量Q与时间t的关系§1

经济订购批量存贮模型时间t0T1T2T3Q/2存贮量Q4第四页，共四十九页，2022年，8月28日§1

经济订购批量存贮模型这种存贮模型的特点：

1.需求率（单位时间的需求量）为d；

2.无限供货率（单位时间内入库的货物数量）；

3.不允许缺货；

4.单位货物单位时间的存贮费c1；

5.每次的订货费c3

；

6.每期初进行补充，即期初存贮量为Q

。单位时间内的总费用=单位时间内的存贮费用+单位时间内的订货费用

单位时间内的存贮费用=单位时间内购买货物所占用资金的利息

+贮存仓库的费用+保险费用+损耗费用+管理费用等设每次的订货量为Q，由于补充的货物全部同时到位，故0时刻的存贮量为Q。到T时刻存贮量为0，则0到T时间内的平均存贮量为Q/2。又设单位时间内的总需求量为D，(单位货物的进价成本即货物单价为c)，则5第五页，共四十九页，2022年，8月28日§1

经济订购批量存贮模型单位时间内的总费用求极值得使总费用最小的订购批量为这是存贮论中著名的经济订购批量公式，也称哈里斯-威尔逊公式。单位时间内的存贮费用=单位时间内的订货费用=单位时间内的总费用=两次订货间隔时间6第六页，共四十九页，2022年，8月28日§1

经济订购批量存贮模型经济订购批量存贮模型的一个特性是：一般来说，对于存贮率（单位存贮费和单位货物成本的比）和每次订货费的一些小的变化或者成本预测中的一些小错误，最优方案比较稳妥。这个问题属于存贮模型的灵敏度分析。7第七页，共四十九页，2022年，8月28日

经济生产批量模型也称不允许缺货、生产需要一定时间模型，这也是一种确定型的存贮模型。它的存贮状态图为

§2

经济生产批量模型存贮量时间t生产时间不生产时间平均存贮量最高存贮量p-dd这种存贮模型的特点：1.需求率（单位时间的需求量）为d；8第八页，共四十九页，2022年，8月28日§2

经济生产批量模型2.生产率（单位时间的产量）为p—

有限供货率；

3.不允许缺货；

4.单位产品单位时间的存贮费c1；

5.每次的生产准备费c3

；

6.每期初进行补充。

设每次生产量为Q，由于生产率是p，则每次的生产时间t为Q/p，于是最高库存量为(p-d)Q/p。到T时刻存贮量为0，则0到T时间内的平均存贮量为

(p-d)Q/2p

。故单位时间的存贮费为：另一方面，设D为产品的单位时间需求量，则单位时间的生产准备费为c3

D

/Q，进而，单位时间的总费用TC为：9第九页，共四十九页，2022年，8月28日§2

经济生产批量模型使TC达最小值的最佳生产量单位时间的最低总费用生产量为Q＊时的最大存贮量为每个周期所需时间为显然，时，经济生产批量模型趋于经济订购批量模型。10第十页，共四十九页，2022年，8月28日例1.有一个生产和销售图书馆设备的公司，经营一种图书馆专用书架，估计今年一年的需求量为4900个，存贮一个书架一年要花费1000元，这种书架是该公司自己生产的，每年的生产能力为9800个，而组织一次生产要花费设备调试等生产准备费用500元，该公司为了把成本降到最低，应如何组织生产呢？要求求出最优每次的生产量Q*，相应的周期，最少的每年的总费用，每年的生产次数。解：D=490个/年，每年的需求率d=D=4900个/年，每年的生产率p=9800个/年，c1=1000元/个年，c3=500元/次，即可求得最优每次生产量每年的生产次数为§2

经济生产批量模型11第十一页，共四十九页，2022年，8月28日如果每年的工作日计250天，则相应的周期为一年最少的总费用12第十二页，共四十九页，2022年，8月28日

所谓允许缺货是指企业在存贮量降至0时，不急于补充等一段时间，然后订货。顾客遇到缺货也不受损失或损失很小，并假设顾客会耐心等待，直到新的补充到来。当新的补充一到，企业立即将所缺的货物交付给这些顾客，即缺货部分不进入库存。如果允许缺货，对企业来说除了支付少量的缺货费用外另无其他的损失，这样企业就可以利用“允许缺货”这个宽容条件，少付几次订货费用，少付一些存贮费用，从经济观点出发这样的允许缺货现象对企业是有利的。§3允许缺货的经济订购批量模型13第十三页，共四十九页，2022年，8月28日§3允许缺货的经济订购批量模型这种模型的存贮状态图为：时间存贮量oSQ-S最大缺货量最大存贮量T不缺货时间t1缺货时间t214第十四页，共四十九页，2022年，8月28日§3允许缺货的经济订购批量模型这种存贮模型的特点：1.需求率（单位时间的需求量）为d；

2.无限供货率；3.允许缺货，且最大缺货量为S；4.单位货物单位时间的存贮费c1；5.每次的订货费c3；

6.单位时间缺少一个单位货物所支付的单位缺货费c2；7.当缺货量达到S时进行补充，且很快补充到最大存贮量。设每次订货量为Q，由于最大缺货量为S，则最高库存量为Q-S，故不缺货时期内的平均存贮量为(Q-S)/2，于是，周期T内的平均存贮量=(Q-S)t1/2T。由于t1=(Q-S)/d，T=Q/d，

则周期T内的平均存贮量=(Q-S)2/2Q。又周期T内的平均缺货量=(St2)

/2T。由于t2=S/d，T=Q/d，故周期T内的平均缺货量=S2/2Q。故单位时间的总费用TC为：15第十五页，共四十九页，2022年，8月28日§3允许缺货的经济订购批量模型使TC达最小值的最佳订购量订购量为Q＊时的最大缺货量单位时间的最低总费用订购量为Q＊时的最大存贮量为每个周期T所需时间显然，时，允许缺货订购模型趋于经济订购批量模型。16第十六页，共四十九页，2022年，8月28日例2假如在例1的图书馆设备公司只销售书架而不生产书架，其所销售的书架是靠订货来提供的，所订的书架厂能及时提供。该公司的一年的需求量仍为4900个，存贮一个书架一年的花费仍为1000元，每次的订货费是500元，每年工作日为250天。1、当不允许缺货时，求出使一年总费用最低的最优每次订货量Q1*，及其相应的周期，每年的订购次数和一年总费用。2、当允许缺货时，设一个书架缺货一年的缺货费为2000元，求出使一年总费用最低的最优每次订货量Q1*，相应的最大缺货量S*及其相应的周期T，同期中不缺货的时间t1、缺货的时间t2、每年订购次数和一年的总费用。解：（1）用经济订货批量的模型来求解。已知D=4900个/年，C2=1000元/个年，C3=500元/次§3允许缺货的经济订购批量模型17第十七页，共四十九页，2022年，8月28日

求得最优订货量所需时间T每年订货次数为一年总的费用§3允许缺货的经济订购批量模型18第十八页，共四十九页，2022年，8月28日例2（2）用允许缺货的经济订货批量模型来求解。已知D=4900个/年，C1=1000元/个年，C3=500元/次，C2=2000元/个年，

最大缺货量所需时间T§3允许缺货的经济订购批量模型19第十九页，共四十九页，2022年，8月28日同期中缺货时间t2不缺货的时间每年订购次数为一年的总费用§3允许缺货的经济订购批量模型20第二十页，共四十九页，2022年，8月28日从1、2两种情况比较可以看出允许缺货一般比不允许缺货有更大的选择余地，一年的总费用也可以有所降低。但如果缺货费太大，尽管允许缺货，也会避免出现缺货，这时允许缺货，也就变成了不允许缺货的情况了§3允许缺货的经济订购批量模型21第二十一页，共四十九页，2022年，8月28日§4允许缺货的经济生产批量模型（1）

此模型与经济生产批量模型相比，放宽了假设条件：允许缺货。与允许缺货的经济订货批量模型相比，相差的只是：补充不是靠订货，而是靠生产逐步补充，因此，补充数量不能同时到位。开始生产时，一部分产品满足需要，剩余产品作为存贮。生产停止时，靠存贮量来满足需要。这种模型的存贮状态图为：22第二十二页，共四十九页，2022年，8月28日§4允许缺货的经济生产批量模型（2）存贮量时间OSV最大缺货量最大存贮量Tt1t2t3t4p-dd23第二十三页，共四十九页，2022年，8月28日§4允许缺货的经济生产批量模型（3）这种存贮模型的特点：

1.需求率（单位时间的需求量）为d；

2.生产率（单位时间的产量）为p—

有限供货率；

3.允许缺货，且最大缺货量为S；

4.单位货物单位时间的存贮费c1；

5.每次的订货费c3

；

6.单位时间缺少一个单位货物所支付的单位缺货费c2；

7.当缺货量达到S时进行补充，且逐步补充到最大存贮量。24第二十四页，共四十九页，2022年，8月28日§4允许缺货的经济生产批量模型（4）单位时间的总费用TC=（单位时间的存贮费）+（单位时间的生产准备费）

+（单位时间的缺货费）

=（平均存贮量）×c1+（单位时间的生产次数）×c3

+（平均缺货量）×c2

25第二十五页，共四十九页，2022年，8月28日§4允许缺货的经济生产批量模型（5）使单位时间总费用TC最小的最优生产量最优缺货量单位时间最少的总费用26第二十六页，共四十九页，2022年，8月28日§4允许缺货的经济生产批量模型（6）例3.假如例1中的生产与销售图书馆专用书架的图书馆设备公司在允许缺货的情况下，其总费用最少的最优经济生产批量Q*和最优缺货量S*应为何值，这时一年的最少总费用应该是多少？在本例中，每年的书架需求量D仍为4900个，每年生产能力p仍为9800个，每次生产准备费c3为500元，每年书架存贮一年的总费用c1=

1000元，一个书架缺货一年的缺货费为2000元。解：已知D=4900个/年，每年需求率d=D=4900个/年，每年生产率p=9800个/年，C1=1000元/个年，C3=500元/次，C2=2000元/个年。求得最优每次生产批量Q*27第二十七页，共四十九页，2022年，8月28日§4允许缺货的经济生产批量模型（7）最优缺货量S一年的最少的总费用一年的生产准备费为28第二十八页，共四十九页，2022年，8月28日§4允许缺货的经济生产批量模型（8）一年的存贮费为一年的缺货费为周期29第二十九页，共四十九页，2022年，8月28日§5经济订货批量折扣模型（1）

经济订货批量折扣模型是第一节的经济订货批量模型的一种发展。在前面四节中，单位货物的进价成本即货物单价都是固定的，而本节中的进价成本是随订货数量的变化而变化的。所谓货物单价有“折扣”是指供应方采取的一种鼓励用户多订货的优惠政策，即根据订货量的大小规定不同的货物单价。通常，订货越多购价越低。我们常见的所谓零售价、批发价、和出厂价，就是供应方根据货物的订货量而制订的不同的货物单价。因此，在订货批量的模型中总费用可以由三项构成，即有式中c为当订货量为Q时的单位货物的进价成本。30第三十页，共四十九页，2022年，8月28日这种存贮模型的特点：

1.需求率（单位时间的需求量）为d；

2.无限供货率（单位时间内入库的货物数量）；

3.不允许缺货；

4.单位货物单位时间的存贮费为c1；

5.每次的订货费为c3

；

6.单位货物的进价成本即货物单价为c；

7.每期初进行补充，即期初存贮量为Q。

全量折扣模型设货物单价c为订货量Q的分段函数，即

c(Q)=ki，Q∈[Qi-1，Qi)

，i=1，2，…，n，其中k1>k2>…>kn

，Q0<Q1<Q2<…<Qn

，Q0是最小订购数量，通常为0；Qn为最大批量，通常无限制。§5经济订货批量折扣模型（2）31第三十一页，共四十九页，2022年，8月28日下图是n=3时c(Q)和TC的图形表示：当订货量为Q∈[Qi-1，Qi)时，由于c(Q)=ki

，则有由此可见，总费用TC

也是Q的分段函数，具体表示如下：OQQ1Q2k3k2c(Q)k1OQ1Q2QQ3§5经济订货批量折扣模型（3）TCTC1TC2TC3Q332第三十二页，共四十九页，2022年，8月28日TC(Q)=TCi，Q∈[Qi-1，Qi)

，i=1，2，…，n。由微积分的有关知识可知，分段函数TC(Q)的最小值只可能在函数导数不存在的点、区间的端点和驻点达到。为此，我们需要先找出这些点。由于TCi

中的Dki

是常数，求导数为0，所以，类似于模型一，得TCi的驻点由TC的图形知，如果TCi的驻点满足Qi-1<<Qi，则计算并比较TCi(

)，TCi+1(Qi)，TCi+2(Qi+1)，…

，TCn(Qn-1)的值，其中最小者所对应的Q即为最佳订货批量Q＊，即Q＊满足§5经济订货批量折扣模型（4）33第三十三页，共四十九页，2022年，8月28日

例4.图书馆设备公司准备从生产厂家购进阅览桌用于销售，每个阅览桌的价格为500元，每个阅览桌存贮一年的费用为阅览桌价格的20%，每次的订货费为200元，该公司预测这种阅览桌每年的需求为300个。生产厂商为了促进销售规定：如果一次订购量达到或超过50个，每个阅览桌将打九六折，即每个售价为480元；如果一次订购量达到或超过100个，每个阅览桌将打九五折，即每个售价为475元。请决定为使其一年总费用最少的最优订货批量Q＊，并求出这时一年的总费用为多少？解：已知D=300个/年，c3=200/次。

Q<50时，

k1=500元，=500*20%=100（元/个年）50≤Q<100时，

k2=480元，=480*20%=96（元/个年）

100≤Q时，

k3=475元，=475*20%=95（元/个年）§5经济订货批量折扣模型（5）34第三十四页，共四十九页，2022年，8月28日Q<50时，50≤Q<100时，100≤Q时，其中只有在其范围内。§5经济订货批量折扣模型（6）35第三十五页，共四十九页，2022年，8月28日

计算得

比较上面的数值，得一年的总费用最少为147600元，因此，最佳订货批量为Q＊=50。

§5经济订货批量折扣模型（7）36第三十六页，共四十九页，2022年，8月28日

在前面讨论的模型中，我们把需求看成是固定不变的已知常量。但是，在现实世界中，更多的情况却是需求为一个随机变量。为此，在本节中我们将介绍需求是随机变量，特别是需求服从均匀分布和正态分布这两种简单情况的存贮模型。所谓单一周期存贮是指在产品订货、生产、存贮、销售这一周期的最后阶段或者把产品按正常价格全部销售完毕，或者把按正常价格未能销售出去的产品削价销售出去，甚至扔掉。总之，在这一周期内把产品全部处理完毕，而不能把产品放在下一周期里存贮和销售。季节性和易腐保鲜产品，例如季节性的服装、挂历、麦当劳店里的汉堡包等都是按单一周期的方法处理的。报摊销售报纸是需要每天订货的，但今天的报纸今天必须处理完，与明天的报纸无关。因此，我们也可以把它看成是一个单一周期的存贮问题，只不过每天都要作出每天的存贮决策。§6需求为随机的单一周期存贮模型（1）37第三十七页，共四十九页，2022年，8月28日报童问题：报童每天销售报纸的数量是一个随机变量，每日售出d份报纸的概率P(d)（根据以往的经验）是已知的。报童每售出一份报纸赚k元，如果报纸未能售出，每份赔h元，问报童每日最好准备多少报纸？这就是一个需求量为随机变量的单一周期的存贮问题。在这个问题中要解决最优订货量Q的问题。如果订货量Q选得过大，那么报童就会因不能售出报纸造成损失；如果订货量Q选得过小，那么报童就要因缺货失去销售机会而造成机会损失。如何适当地选择订货量Q，才能使这两种损失的期望值之和最小呢？§6需求为随机的单一周期存贮模型（2）38第三十八页，共四十九页，2022年，8月28日设售出d份报纸的概率为P(d)，从概率论可知已知因报纸未能售出而造成每份损失h元，因缺货而造成机会损失每份k元，则满足下面不等式的Q＊是这两种损失的期望值之和最小的订报量例5.某报亭出售某种报纸，每售出一百张可获利15元，如果当天不能售出，每一百张赔20元。每日售出该报纸份数的概率P(d)根据以往经验如下表所示。试问报亭每日订购多少张该种报纸能使其赚钱的期望值最大。§6需求为随机的单一周期存贮模型（3）销售量（百张）567891011概率P(d)0.050.100.200.20.250.150.0539第三十九页，共四十九页，2022年，8月28日

解：要使其赚钱的期望值最大，也就是使其因售不出报纸的损失和因缺货失去销售机会的损失的期望值之和为最小。已知k=15，h=20，则有另有故当Q=8时，不等式成立.因此,最优的订报量为每天800张,此时其赚钱的期望值最大。§6需求为随机的单一周期存贮模型（4）40第四十页，共四十九页，2022年，8月28日

我们可以把公式（12.42）改写成公式（12.43）既适用于离散型随机变量也适用于连续型随机变量。如果只考虑连续型随机变量，公式（12.43）又可以改写为

§6需求为随机的单一周期存贮模型（5）41第四十一页，共四十九页，2022年，8月28日

例6.某书店拟在年前出售一批新年挂历。每售出一本可盈利20元，如果年前不能售出，必须削价处理。由于削价，一定可以售完，此时每本挂历要赔16元。根据以往的经验，市场的需求量近似服从均匀分布，其最低需求为550本，最高需求为1100本，该书店应订购多少新年挂历，使其损失期望值为最小？解：由题意知挂历的需求量是服从区间[550，1100]上的均匀分布的随机变量，k=20，h=16，则其需求量小于Q＊的概率为则由公式（12.44）得由此求得Q＊=856（本），并从5/9可知，这时有5/9的概率挂历有剩余，有1－5/9=4/9的概率挂历脱销。§6需求为随机的单一周期存贮模型（6）42第四十二页，共四十九页，2022年，8月28日例7.某化工公司与一客户签订了一项供应一种独特的液体化工产品的合同。客户每隔六个月来购买一次，每次购买的数量是一个随机变量，通过对客户以往需求的统计分析，知道这个随机变量服从以均值=1000（公斤），方差=100（公斤）的正态分布。化工公司生产一公斤此种产品的成本为15元，根据合同固定售价为20元。合同要求化工公司必须按时提供客户的需求。一旦化工公司由于低估了需求产量不能满足需要，那么化工公司就到别的公司以每公斤19元的价格购买更高质量的替代品来满足客户的需要。一旦化工公司由于高估了需求，供大于求，由于这种产品在两个月内要老化，不能存贮至六个月后再供应给客户，只能以每公斤5元的价格处理掉。化工公司应该每次生产多少公斤的产品才使该公司获利的期望值最大呢？§6需求为随机的单一周期存贮模型（7）43第四十三页，共四十九页，2022年，8月28日

解：根据题意得k=5－1=4，h=15－5=10，利用公式（12.44）得由于需求服从均值=1000，方差=100的正态分布，上式即为通过查阅标准正态表，得把=1000，=100代入，得从可知，当产量为945公斤时，有0.29的概率产品有剩余，有1－0.29=0.71的概率产品将不满足需求。§6需求为随机的单一周期存贮模型（8）44第四十四页，共四十九页，2022年，8月28日

本节介绍需求为随机变量的多周期存贮模型。在这种模型里，由于需求为随机变量，我们无法求得周期（即两次订货时间间隔）的确切时间，也无法求得再次订货点确切来到的时间。下面我们给出求订货量和再订货点的最优解的近似方法，而精确的数学公式太复杂，这里不作介绍。具体求解步骤如下：

1.设全年的需求量近似为D，利用经济订货批量存贮模型求出（每次的）最优订货量Q＊。

2.根据具体情况制定出服务水平，即制定在m天里出现缺货的概率，也即不出现缺货的概率为1。利用下式求出rP(m天里需求量r)=1，其中r为再订货点，即当库存量下降到r时订货，m天后货到。存贮的(r，Q)策略

r为最低存贮量，即订货点，对库存量随时进行检查，当H>r时不补充；当H≤r时进行补充，每次补充的数量为Q

。§7需求为随机变量的订货批量、再订货点模型（1）45第四十五页，共四十九页，2022年，8月28日

例8.某装修材料公司经营某品牌的地砖，公司直接从厂家进这种产品。由于公司与厂家距离较远，双方合同规定，在公司填写订货单后一个星期厂家把地砖运到公司。公司根据以往的