百校联盟2019届高三TOP20十二月联考全国Ⅰ卷数学理试题

百校联盟2019届高三TOP20十二月联考（全国工卷）数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）TOC\o"1-5"\h\z.已知集合 ， ，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：集合 ，，.故选：D.先分别求出集合A，B,由此能求出 .本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题..已知复数z满足 ，若z是纯虚数，则实数m的值为TOC\o"1-5"\h\zA.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】解： ,,,则 ，故，故选：C.利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题..自宋朝以来，折扇一直深受文人雅士的喜爱，在扇面折扇由扇骨和扇面组成上题字作画是生活高雅的象征，现有一位折扇爱好者准备在如图所示的扇面上题字，由于突然停电，不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域，则墨汁恰好落入扇面部分的概率为第1页，共15页

A,- B.- C.- D.-【答案】D【解析】解：大扇形-，小扇形一，， ，墨汁恰好落入扇面部分的概率为：大扇形，由此能求出墨汁恰好落入扇面部分的概率.大扇形，由此能求出墨汁恰好落入扇面部分的概率.本题考查概率的求法，考查扇形面积、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题..记等比数列 的前n项和为，若-， -，则数列 的公比A.2 B.- C.2或- D.2或1【答案】CTOC\o"1-5"\h\z【解析】解：由题意， -；，，即一-- -；解得： 或-故选：C.根据 ，结合通项公式可得公比q；本题主要考查等比数列的应用，根据等比通项建立条件关系求出公比是解决本题的关键..已知函数 是定义在R上的偶函数，且在 上单调递减，则 的解析式可能为A. B. -C. D. 一【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A， 是奇函数，不符合题意；第2页，共15页

对于B, 一，其定义域不是此不符合题意；对于C, ，在 上不具有单调性，不符合题意；对于D, 一,是定义在R上的偶函数，且在 上单调递减，符合题意；故选：D.根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案.本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题..若a是常数， 的展开式中各项系数和为，则 的系数为A.560 B. C.336 D.3360【答案】D【解析】解：依题意令 得 ，解得，的展开式中， 的系数为： ，故选：D.本题考查了一项式定理，属中档题.7.如图，网格纸上小止方形的边长为本题考查了一项式定理，属中档题.7.如图，网格纸上小止方形的边长为1,的三视图，则该几何体的表面积为— —一 一— —粗线部分是某几何体j:泛退匕⑶二idlblbli jrl：1：r-jfl：：.：-f--fr -r--tn/•■■■»inr■■■a■.ji!:[,■/I.::.I■i■1^ -可得展开式中各项系数和，解得 ，再用通项公式可得【答案】C【解析】解:将三视图还原,可知几何体由一个棱长为4的正方体截去两个三棱锥得到,如图所示，该几何体的表面积故选：C.将三视图还原，可知几何体由一个棱长为4的正方体截去两个三棱锥得到，利用几何体的特征可得几何体的表面积第3页，共15页本题考查了常见几何体的三视图和结构特征，属于基础题..运行如图所示的程序框图，则输出女的值为TOC\o"1-5"\h\zA.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】解：当， -时，满足---，故 -， ， -当 一， 一时，满足-- -，故 -， ， 一当 一， -时，满足-- -，故 -， ， 一当 一， 一时，不满足-- -，故输出的卜值为4，故选：B.根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，可得答案.本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题..已知函数 - - 二在区间-上单调递增，则实数t的取值范围为A,- B.——C.--D.-【答案】B第4页，共15页【解析】解：依题意,当 -时，- -因为 在--上单调递增，且在-上单调递增，所以— —，即 ，解得故选：B.先化简为 一，再根据正弦函数的增区间可解得.本题考查了正弦函数的单调性属中档题..已知抛物线 -的焦点F，直线l过点F且与抛物线相交于M，N两点，M，N两点在y轴上的投影分别为C，D，若 一，则直线l斜率的最大值是TOC\o"1-5"\h\zA.一 B.2 C.3 D.一【答案】A【解析】解：因为抛物线的焦点，所以设直线方程为 ，由 ，解得 ，设， ，所以，解得一 一，所以直线l斜率的最大值是一，故选：A.设直线方程为 ，由 ，解得 ，根据韦达定理和弦长公式，即可求出.本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了弦长公式，属于中档题.已知奇函数 和其导函数 的定义域均为此当 时，，则不等式 的解集为第5页，共15页

B.A.B.TOC\o"1-5"\h\zC. - D. -【答案】B【解析】解：令 ，时， ，故函数是 上的减函数，是奇函数，是偶函数，由不等式 ，得 ，故 ，解得： -故选：B.令 ，求出函数的导数，得到函数 的单调性和奇偶性，得到关于x的不等式，解出即可.本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题..已知各项均不为0的数列 满足 一， ，若 ，则当数列 的前n项和取得最大值时，n的值是A.24 B.25 C.32 D.33【答案】B【解析】解：由,可得： ——,两边取倒数可得:【解析】解：由,可得： ——,两边取倒数可得:数列一为等差数列，公差为2,首项为令 ，解得-.当数列 的前n项和取得最大值时，n的值是25.故选：B.由 ，可得： 一，两边取倒数可得：—— —，即——— ，— 利用等差数列的通项公式可得一代入 ——第6页，共15页

再利用等差数列的通项公式与单调性即可得出.本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）.已知是单位向量，若 ， ，则与的夹角为【答案】一【解析】解：是单位向量；；又；；又 ；的夹角为一.故答案为：-.根据是单位向量，进行数量积的运算即可求出 ，从而可求得，这样即可得出的夹角.考查数量积的运算，以及向量夹角的余弦公式..已知实数x,y满足不等式组 ，则 的取值范围是 【答案】一TOC\o"1-5"\h\z【解析】解:由题意，作出可行域可行域的顶点 ， ， 膘I"的三角形区域， /X：, -,一表示可行域内的点与 连线的斜率，过一，得：一，故 一• ?」故答案为：一作出不等式组对应的平面区域，本题主要考查线性规划的应用，决本题的关键.利用2的几何意义，利用数形结合即可得到结论.利用2的几何意义以及斜率的计算，通过数形结合是解第7页，共15页

15.双曲线C：一的左右焦点分别为15.双曲线C：一的左右焦点分别为点人为双曲线C右支上一点，直线与y轴交于点8,且，则双曲线C的离心率为.【答案】——【解析】解：设 ，则s 一—，,,故答案为：——.设 ，则 —，又 ，一 一,即可求解.本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，运用直角三角形的勾股定理是解题的关键.16.如图，在三校锥 中，平面ABC,,-，若三棱锥 外接球的表面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为.【答案】【解析】解：设三棱锥 的外接球的球心为O，半径为R, 的外接圆半径为r,则 ，得一，又,即•又 ，第8页，共15页则 ^三棱锥 体积 - -— - .三棱锥 体积的最大值为二.故答案为：二.设三棱锥 的外接球的球心为O,半径为R,的外接圆半径为r,由已知求得心再由 一求解「，利用正弦定理求得A8,再由余弦定理及基本不等式求得 的最大值，则三棱锥 体积的最大值可求.本题考查三棱锥体积最值的求法，考查正弦定理及余弦定理的应用，是中档题.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）.在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A为锐角，目 的面积为I若 ，求A;II求——的取值范围.TOC\o"1-5"\h\z【答案】解：I —,- - ,由正弦定理得 ,' ，又 一， 一；II由余弦定理得 ，，一，——的取值范围为【解析】I由三角形面积公式与正弦定理可得 -，又A是锐角，可得-;II由余弦定理与 把——化为一 -，进一步由A的范围求出整个式子的范围.本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.第9页，共15页

.为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据单位：根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图如图所示.I估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数一和样本方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；II由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布，其中近似为样本平均数r, 近似为样本方差.i求 ；II若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间 的人数为，试求.附：一，若一 ，贝U ,【答案】解：I这100名学生每周平均锻炼时间的平均数一；II；II由I知X服从正态分布,且19.19.如图所示，直三棱柱其中 一I若点Q满足II求二面角的概率为由知每周平均锻炼时间在区间依题意服从二项分布，即一【解析】I直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数和样本方差；的概率为II利用正态分布的对称性即可求得 ；由知学生假期日平均数学学习时间位于 的概率为，且服从二项分布，由二项分布的期望公式得答案.本题考查频率分布直方图、二项分布、正态分布，着重考查运算求解能力以及数据处理能力，是中档题.的底面为等腰直角三角形，，点D是线段的中点.,且，求的值；的余弦值.第10页，共15页

【答案】解：I在侧面 中，-， ，点D是线段的中点., ，贝U ^平面，D.由 ，得 平面BCD,*又 ， ，平面，*在 中， ，，一，一，则一.， ・又 ，;II以C为坐标原点，CA,CB,分别为x，y,z轴建立空间直角坐标系，则1，设平面贝， 0， ， 1，，，的一个法向量为，，，令0， ，，，，得2设平面贝的一个法向量为，，令，，得0设一面角贝的平面角为，.一面角的余弦值为二.第11页，共15页

【解析】I由已知可得 ，再利用线面垂直的判定可得 ，在中，求出（^的值，再结合已知条件即可求的值；II以C为坐标原点，CA,CB,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题.20.已知椭圆C：-- 的左、圆C上一点目 的面积为二.I求椭圆C的方程；II记椭圆C的左顶点为A,过点A作直线时，求证：直线PQ过定点.【答案】解：I设椭圆的焦距为2。，则得,所以，椭圆的焦点分别为由椭圆的定义得，则因此，椭圆C的方程为一II由题意得 一，设代入椭圆方程并整理得由韦达定理可得，而 一,所以，右焦点分别为，，点一是椭分别交椭圆C右焦点分别为，，点一是椭分别交椭圆C于点P,异于点，当的面积为一 一—— ——，解,所以,设直线PQ的方程为 ，,,同理可得,即解得 二或 一舍去！故直线PQ过定点-.【解析】I先利用 的面积为二，求出 ，从而得出椭圆的焦点坐标，然后利用椭圆定义求出2@,再利用@、b、。之间的关系求出匕的值，从而得出椭圆的标准方程；II设直线PQ的方程为 ，设点、 ，将直线PQ的方程与椭第12页，共15页圆的方程联立，列出韦达定理，利用 结合韦达定理计算出9的值，从而得出直线PQ所过定点的坐标.本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理在直线与椭圆综合中的应用，考查计算能力与推理能力，属于难题..已知函数 ——，曲线在点 处的切线方程是TOC\o"1-5"\h\z.I求实数a,b的值；II若函数 有两个不同的零点，，求证： ^【答案】解：I根据题意，曲线在点 处的切线方程是则切线的斜率-，切点为-——，其导数 ——,则有 一， -,解可得： ， -；II证明：由I的结论，———，则 -则,分析可得：在区间上，, 为增函数，在上， ，为减函数，则当时， 取得极大值，乂有,,,则函数有2个不同的零点,,设 ,则有,设,即—,其导数- -;当时， ，为增函数，乂由，则,即,即,乂有，则,乂由，则,而,且函数 在上为减函数，则有,变形可得.第13页，共15页【解析】I根据题意，由曲线的切线方程可得切线的斜率和切点的坐标，求出函数的TOC\o"1-5"\h\z导数，由导数的几何意义和切线的性质分析可得 -， -解可得@、b的值，即可得答案；II由I的结论，可得 ———，进而可得一,求出 的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在区间 上，为增函数，在 上，为减函数，结合函数的零点判定定理可得函数 有2个不同的零点，，设，则有 ；再设，求出的导数-一 ；分析可得 的单调性，进而可得 ，即 ，进而可得 ，结合 的单调性分析可得 ，变形可得结论.本题考查函数导数的应用，涉及利用导数分析函数的单调性以及切线方程的计算，属于综合题.为参数以原点。.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数以原点。为极点，x轴正半轴为极轴