高教线性代数第五章二次型课后习题答案

第五章二次型

1.用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。

+2X]X+；

1)-4XJX232X2X3

2)%)2+2XjX+2x；+；

24X2X3+

3)X；-3x；；

-2X]X2+2X/3~6X2X3

4)8X1X+2X3X4+；

42X2X3+8X2X4

5)x}x2+X]%3+XjX4+X2X3+X2X4+X3X4;

x；+2xl+x：+41]2+4Xj%+2xx+2xx+2xx；

6)工32X]X4+232434

%)2+x；+x；+x：++2X3X40

7)2X}X2+2X2X3

解1)已知/(须，12，13)=—4为12+21113+2%213，

先作非退化线性替换

X]=%+%

七=%一乃(1)

&=>3

则

/(占，X2，七)=-4必2+44+4＞阴

=-4y；+4M为_y2+y2+4y2

=一(2%—.)3+y；+4.，

再作非退化线性替换

11

%=2Z'+/23

<乃=22(2)

%=Z3

则原二次型的标准形为

2

/(xl,x2,x3)=-zl+4z；+z；,

最后将(2)代入(1),可得非退化线性替换为

11

M=J|+Z2+5Z3

«%2=Ji]-Z2+gz3(3)

于是相应的替换矩阵为

1n

11、-

1|o-

z<GO2

fI1--2

A221

o1

r101O-

=1l=

22-

-O1

5JOO1O-O1

<11

II》1

且有

’-100、

TfAT=0400

、001,

2)已知/(X1,x2,x3)=x：+2xtx2+2x；+4X2X3+4x；，

由配方法可得

f(x],x2,x3)~(x：+2X1X2+%2)+(^2+4X2X3+4%3)

22

=(x,+x2)+(x2+2X3),

于是可令

%"+X2

<y2=x2+2X3,

J3=X3

则原二次型的标准形为

f(x[,x2,x3)=y^+y',

且非退化线性替换为

/二%-为+2y3

«4=%-2y3，

产3=%

相应的替换矩阵为

4-12、

T=01-2,

、001.

且有

ooYiioYi-i2、‘100、

T'AT=-11012201-2010

40°

,2-2认021、000,

(3)已知f(xl,x2,x3)=x；—3^2—2xtx2+2X1X3—6X2X3,

由配方法可得

2XXXXXXXXXX

f(xl,x2,x3)-(Xj-2XjX2+2,3-223+；+；)-(4；+423+；)

22

=&-X2-x3)-(2X2+x3),

于是可令

%=x1-x2+x3

<y2=2X2+x3,

%=x3

则原二次型的标准形为

/■(再,/,/)、；一4，

且非退化线性替换为

13

西二月+^为一万为

11

'^2=-y2--y3，

尤3=%

相应的替换矩阵为

/131>

---

122

11

---

T=022

01

0

?

且有

/13

---

22/1Oo、

10011

----oO

TNT=--022-1

220OOd

_3I

I

<-2~2

(4)已知/(花,%2，%3，%4)=8X]*2+2%3》4+2*2%3+8》2》4，

先作非退化线性替换

X]=乃+y4

,巧=为

"为

%4=>4

/(xl,x2,x3,x4)=8y,y4+84+2y3y4+2y2y,+Sy2y4

111111

2+

+必+++

-,-2---y2

42y282yl2

--

28

<111

8

-+-十-

2228

kyl

11122

+

=8不必+彳为+6％+>4y.+y24^I+2乃内，

ZZo

再作非退化线性替换

Jl=Z]

为=Z2+Z3

>3=Z2—

74=z4

则

2

/(占，％2，彳3，》4)=8[〈石+^Z2+|z+2453

30+/

\Zoo

+2z；-2z；,

再令

53

w.=z,+—X.,+—x,

114243

W

2=Z2

卬3=Z3

153

+

卬4=：ZI+-22+-23^4

Zoo

则原二次型的标准形为

f(xt,x2,x3,x4)=-2卬：+2*—1w\+8vv：,

且非退化线性替换为

相应的替换矩阵为

r153

-

2--44

1

o1uc

T=

o1Tn

1J

o)o1

2A

L

仃

且

0o

2O0

00

-

0-O28

7

先作非退化线性替换

X[=2%+>2

,=%

%3=为

%4=)’4

则

/(占，/，当，》4)=2yly2+$+2必％+2乃%+2)'|)'4+2乃九+y3y4

=Gi+%+)‘3+%y一卜3+gyj-1?'4-才，

再作非退化线性替换

Z1=.

G=%+乃+>3+>4

1，

Z3=%+2y4

二丁4

即

则原二次型的标准形为

/（七，》2，'3'》4）=-Z；+4一523

且非退化线性替换为

相应的替换矩阵为

11-1

2

-11-1

2，

2

001

2

000

且有

‘一1000

0100

T'AT=00-10

2

(6)已知f(x^,x2,x3,x4)-x(+2x；+x：+4X1X2+4X(X3+2x,x4

由配方法可得

f(xt,x2,x3,x4)=[x；+2x,(2X2+2X3+

2

—(2X2+2X3+X4)+2x；+x：+2X2X3+2x2x4+2x3x4

+2/+x)2—2(4+；(》3J

=(匹+2X34

于是可令

%=X]+2X2+2X3+x4

31

为=尤2+~X3+-X4

y3=x3+x4

y4=

则原二次型的标准形为

城-2父+1，

/=

且非退化线性替换为

X=y,-2y2+y3-y4

3

X2=为一7为+>4

<L，

X3=为一外

X

4=y4

故替换矩阵为

fi-21一n

3

01--1

T=2,

001-1

、o001,

且有

’1000、

0-200

T76=00、

2

(o00oj

(7)已知/(x)，x,x

23,4)=x：+%；+x；+x：+2xtx2+2X2X3+2X3X4,

由配方法可得

[%2+2X(X]+.)+&4-x)2]-2XjX+2X3X4+xj

f(xt,x2,x3,x4)=233

2

(%1+x2+x3)-2x]x3+(x；+2X3X4

(X|4~X2+X3)-+(X3+)~-21]尤3-Xy—%)2+Xj2

X12+(%1+々+尤3)2+(冗3+)2-(X1+13，

于是可令

%=王

为=一+/+

<%3

为=%3+%4

)4=再+与

则原二次型的标准形为

/=4+及+及一>3

且非退化线性替换为

王=必

<》2=为一>4

七=f+>4

》4=.+>3—>4

相应的替换矩阵为

(1000、

010-1

T=

-1001

101-L

且有

q000、

0100

T'AT;

0010

<o00-L

(H)把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非

退化线性替换。

解1)已求得二次型

的标准形为

f=_)；+4y；+3y；,

且非退化线性替换为

11

再=5月+为+5乂

11

'x2=-yl-y2+-yi-

£=%

(1)在实数域上，若作非退化线性替换

%=Z3

1

<为=5“2，

了3=Z|

可得二次型的规范形为

（2）在复数域上，若作非退化线性替换

M=%

I

<>2=万22，

四=Z|

可得二次型的规范形为

2）已求得二次型

/（X,,々）=X：+2X（x2+2x1+4X2X3+4x；

的标准形为

/=y；+无,

且非退化线性替换为

M=必一乃+2>3

<々=%-2/3，

9=>3

故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形

/=V+及。

3）已求得二次型

x

/&,彳2,当)=\—3x；-2X(X2+2X,X3-6X2X3

的标准形为

/=>；一式，

且非退化线性替换为

[13

/=必+-y2--y3

11

—-%

/=%

(1)在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即

(2)在复数域匕若作非退化线性替换

必=Zi

«y2=iz2。

=小

可得二次型的规范形为

/=Z；+。

(3)已求得二次型

的标准形为

/=—2犬+2兴一2资+8城，

且非退化线性替换为

153

匹=/%一1为一^%+)'4

V=乃+为

%3=为一%

1

%4=--y+y

、乙14

(1)在实数域上，若作非退化线性替换

1

1

为F

%=为

1

可得二次型的规范形为

(2)在复数域上，若作非退化线性替换

1

力k

可得二次型的规范形为

/=+Z；+Z；+Z；。

(5)已求得二次型

f(x1,x2,x3,x4)=XtX2+X1%3+

的标准形为

f=-y：+£-y；-

且非退化线性替换为

1

/=y\+y2-y3--y,

1

Z=一切+力一为一7y4

12

1

》3=>3一］九

/4=>4

(1)在实数域上，若作非退化线性替换

X=Z2

3=4

«%=Z3，

2

可得二次型的规范形为

/=Z；_Z；_Z；_Z：。

(2)在复数域上，若作非退化线性替换

%=%

>2=Z2

'%=%，

2.

可得二次型的规范形为

/=Z：+Z；+Z；+。

6)已求得二次型

/(x1,x2,x3,x4)=x；+2x；+x：+4X,X2+4X1%3+2X(X4

的标准形为

f=_y；-2y；+gy>

且非退化线性替换为

X=%-2y2+%_>4

3

W=乃一彳力+>4

12

%3=>3->4

=）‘4

（1）在实数域上，若作非退化线性替换

H=Z2

1

­

为=技I

）4=。

可得二次型的规范形为

（2）在复数域上，若作非退化线性替换

%=%

.乃力,

为=缶3

）4=4

可得二次型的规范形为

/=Z：+Z；+Z〉

7）已求得二次型

/(Xj,x2,x3,x4)=X；+2x；+X：+4工1%2+41环3+2尤1%4

的标准形为

f=y；+4+M-y：，

且非退化线性替换为

/2=乃一>4

匕=f+)’4

14=%+%一>4

(1)在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即

F=y；+M+4一£。

(2)在复数域上，若作非退化线性替换

%=亏

%=22

%=23，

74=反4

可得二次型的规范形为

f=z；+z；+z；+z：。

2.证明：秩等于r的对称矩阵可以表成「个秩等于1的对称矩阵之和。

证由题设知4=1且加成(A)=r,于是存在可逆矩阵C使

C'AC=D,

/

且O为对角阵，又因为C',C，(CT)=(c'尸均为可逆矩阵，所以有

r

CAC-/)|+Dj+…+Dr,

其中

句、

Z,、仅)

1

d20

02

D]=.,D2=0,--,Dr-dr

I4o•.

I0；

于是

-|

A=(C)T(?+£>2+•••+£>,)c

/z，

-|

=(c)DtC-'+(C-')D2C-'+…+(L)Drc''»

因

rank\(C-1)D/C-1Ul(i=l,2,•••1),

且

一/，/

(c-1)D。=(c-|)DU=(L)D,C-'»

/

即（C-1）00-1都是对称矩阵,故A可表成r个秩为1的对称矩阵之和。

3.证明：、

44,

与

AJ4J

合同，其中i也…M是12…,〃的一个排列。

证题中两个矩阵分别设为A,B,与它们相应的二次型分别为

A=4%：++…+,

/B-A,),；+4£+…+4.

作非退化的线性替换

y,=xi：(t=1,2,•••,«),

则力，可化成力。故4与8合同。

4.设A是一个〃阶矩阵，证明：

1）A是反对称矩阵当且仅当对任一个〃维向量X,有X8X=0。

2）如果A是对称矩阵，且对任一个〃维向量X有XAX=0,那么A=0。

证1）必要性。因为4=-4'，即为=0,与=-%4/，），所以

X4X==z（附+叫册与

i，j由

由于+%=0,故

X"AX=Z\aij+aji卜/j=0o

Mj

充分性。因为VXeR”,有XAX=0,即

。］］汇+(%2+。21)叫12bl%+。22%2

+…+(“2”+62比七,+…+。"；=。，

这说明原式是一个多元零多项式，故有

=。22=•••=%”=°，%=_%,(加，)，

即A'=—A。

2)由于A是对称的，且XAX=O,即

Qu%：+2a]2x]x2H---1-2ahlx}xn4-a22%2

+---+2a2nx2xn+---+annx^=0,

这说明XaX为•个多元零多项式，故有

«ii=a22=••=%“=0'

2%=0=>%—a0—0,

即A=0。

5.如果把实〃阶对称矩阵按合同分类，即两个实〃阶对称矩阵属于同一类当且仅当它

们合同，问共有几类？

解实对称矩阵A与8合同的充要条件为存在可逆矩阵T与。使

d2

T'BT=C'AC==D。

dr

0

.0；

下面考虑对角矩阵。的相应二次型的合同分类情况，在4(i=l,2,…/)中可分为

r个正，0个负

-1个正，1个负

2个正，r-2个负

1个正，r-1个负

0个正，r个负

共计尸+1个合同类。但秩r又可分别取〃，n-1,…,2,1,0,故共有

1+2+3+…+〃+(〃+1)=(〃+1?+2)

个合同类。

6.证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条

件是：它的秩等于2且符号差等于0,或者秩等于1。

证必要性。设

+bx

/(x1,x2,--,x„)=(a1x1+出X2+…+*/)3丙22+…+2X,)

其中生也(i=l,2,…,〃)均为实数。

1)若上式右边的两个一次式系数成比例，即

bj=kai(z=1,2,•••,«)

不失一般性，可设为，0,则可作非退化线性替换

,%=01%!+a2x2+---+anxn

%=毛(«=2,■•■,/!)

使二次型化为

f(x},x2,---,xn)=ky^,

故二次型/(七,了2广、猫)的秩为1。

2)若两个一次式系数不成比例，不妨设生。”，则可作非退化线性替换

仇b2

y}=。丙+a2x2+---+anxn

<y2=h]x]+h2x2+---+bnxn,

7,=xt(i=3,•••,〃)

使

/(七，》2,…'X“)=弘必。

再令

%=Z|+Z2

72=q-z2，

j=Zj(z=3,•••,«)

则二次型可化为

故二次型/(占,X2广,,乙)的秩为2,且符号差为0。

充分性。1)若/(苍,与,…,x“)的秩为1，则可经非退化线性替换2=。丫使二次型化

为

f(xt,x2,---,xn)=kyf,

其中％为3,4,…，居的一次齐次式,即

.=—+a2x2+--+anxn,

且

f(xi,x2,---,xn)=k(alx]+a2x2+---+allxllY

=(左qX]+ka2x2H---Fka“x”)(々内+a2x2H----Fanxn)。

2)若/(修,々,…,x,J的秩为2,且符号差为0,则可经非退化线性替换2=。丫使二次型

化为

/(占“2,…，x“)=y；-4=(%+乃)(为一%)

=(%$+a2x2+---+a„xn\bixi+b2x2+---+bnx„),

故/(x(,x2，…,x“)可表成两个一次齐次式的乘积。

7.判断下列二次型是否正定：

1)99x；-12X}X2+48西尤3+130x；-60x2x3+71x；；

2

2)IO%)+8玉%2+24玉尤3+2x；-28x2x3；

3)；

i=ll</<j<>n

.一!

4)XTX/i+I。

i=l<=l

解1)二次型的矩阵为

<99-(524)

A=-6130-30f

124-3071?

因为

99-6

A,=99>0,A=>0,&=圄〉0,

2-6130

故原二次型为正定二次型。

2）二次型的矩阵为

10412、

A=42-14

12-14

11J

因为|川<0,所以原二次型非正定。

3)记二次型的矩阵为A=(%J,其中

'V7nxn

1，i=j

a=<]

IJ匕1….,

即

111

1---

222

1

11-

-1-2

221

A=11-

12

--*

22*

I••*

-••

111

---1

222

7

由于A的任意左阶顺序主子式所对应的矩阵4与A为同类型的对称矩阵，且

i4i=Qj优+I)>°=1,2,•••,«),

故原二次型为正定二次型。

4)记二次型的矩阵为4=(%),则A的左级顺序主子式为

\V/nxn

21

12

\Ak\=••••'•

,­.11­.21

212

I

1

故原二次型为正定二次型。

8.f取什么值时，下列二次型是正定的：

1)

X：+x；+5x；+2txxx2—2XAX3+4X2X3

2)x；+4x；+x；+2江环2+10/尤3+6X2X3

解1)二次型的矩阵为

，1t-]}

A=tI2,

「125,

因为A的各阶顺序主子式为

△]=1>0,

1t

&=>0,

2t1

1t-1

△3=间=t12>0,

-125

当原二次型为正定时;有

[l-t2>0

j-5/2-At>0

4

解上面不等式组，可得--<f<0。

5

2)二次型的矩阵为

。t5、

A=t43,

、531,

当A的所有顺序主子式都大于零时，即

A,=1>0,

1t,

A,==4一厂>0,

2t4

1t5

△3=W=f43=-t2+30f-105>0,

531

由原二次型为正定得

4-r>0

[-产+30f-105>0'

但此不等式组无解，即不存在f值使原二次型为正定。

9.证明：如果A是正定矩阵，那么A的主子式全大于零。所谓主子式，就是行指标与

列指标相同的子式。

证设正定矩阵4=（%工“，作正定二次型汽£均芯乙，并令

f=lj=\

xj=0（J*%此,…,却匹<k2V3<k）,

则可得新二次型

hk,

i=A[j=h

由正定二次型的定义知该二次型是正定的，故A的一切i级主子式|A/>0（i=1,2,

10.设A是实对称矩阵，证明：当实数f充分大之后，fE+A是正定矩阵。

证

ai2…ain、

a,1t+a…

2122

tE+A=;..,

、an\an21+a„n,

它的左级顺序主子式为

'+%]ai2•••a{k

Aj/）=°：t+?22：'a：k

ak\ak2，+

当f充分大时，为严格主对角占优矩阵的行列式，且r+为>Z|%|（i=l，2「、〃），

用

故％3>0卜=1,2/）〃），从而归+A是正定的。

11.证明：如果A是正定矩阵，那么AT也是正定矩阵。

证因A是正定矩阵，故xax为正定二次型，作非退化线性替换x=4一,，又A-I

也是对称矩阵，故

/

Y'A''Y=（（一）AA-lY=XArX>0,

从而为正定二次型，即证A-I为正定矩阵。

12.设4为一个“级实对称矩阵，且同<0,证明：必存在实〃维向量XH0,使

X'AX<0。

证因为网<0,于是网。0,所以也成(A)=〃，且A不是正定矩阵。故必存在非

退化线性替换X使

，

XWX=y'(c-i)ACT=丫分丫

2

=y；+y；+…+y；_y；+i-yp+2----y3

且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在2=。-,中，令月=%=-=>「

=°，yP+I=%+2=…=y,=1，则可得一线性方程组

"+c12x2+…+J“X”=0

5+%2+…+c,,“x“=0

c*iMi+%廿2+…+C/,+i,,