二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件-高三数学一轮总复习

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题·考向预测·考情分析：主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值、取值范围、参数的取值(范围)以及实际应用，目标函数大多是线性的，偶尔也会出现斜率型和距离型的目标函数，此部分内容仍是高考的热点，主要以选择题和填空题的形式出现．学科素养：通过线性规划在求最值中的应用问题考查直观想象、数学运算的核心素养．考向预测·考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，分段函数以及函数与其他知识的综合仍是高考的热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度．学科素养：通过函数概念考查数学抽象的核心素养；通常通过函数定义域、函数解析式及分段函数问题考查数学运算及直观想象的核心素养．一、必记3个知识点1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域,不包括________Ax＋By＋C≥0包括________不等式组各个不等式所表示平面区域的________边界直线边界直线公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的_______________，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的________________构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．有序数对(x，y)有序数对(x，y)3．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的________线性约束条件由x，y的________不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的________解析式可行解满足线性约束条件的解________可行域所有可行解组成的________最优解使目标函数取得________或________的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的________或________问题不等式(组)一次一次(x，y)集合最大值最小值最大值最小值二、必明2个常用结论1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证．2．判断二元一次不等式表示的区域(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．(

)(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(

)(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(

)(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(

)√√××

答案：C解析：x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C所示部分．

4

5

1解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.

答案：C

答案：C

答案：D

答案：B

反思感悟二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)线定界：二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不含边界直线；(2)点定域：在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，代入不等式检验，若满足不等式，则包含此点的半平面为不等式所表示的平面区域，否则为另一侧所表示的平面区域；(3)交定区：若平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，求这些区域的公共部分，这个公共部分即为所求．

答案：C解析：(1)如图，画出可行域(如图，阴影部分含边界)，令z＝2x－y，y＝2x－z.当z＝0时，画出初始目标函数表示的直线y＝2x，当直线平移至点A(0，1)时，z＝2x－y取得最小值zmin＝2×0－1＝－1，根据可行域可知，无最大值，所以2x－y的取值范围是[－1，＋∞)．

答案：B

2．求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：(1)将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解；(2)将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．

一题多变1．(变问题)若例2中条件不变，将“z＝x2＋y2”改为“z＝x2＋y2＋6x－4y＋13”，如何求解？

答案：D解析：(1)作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数z＝ax＋y可化为y＝－ax＋z，且目标函数仅在点A(2，3)处取到最大值，所以－a<kAB，即－a<1，所以a>－1，故选D.(2)已知实数x，y满足1≤y≤x＋y≤ax＋3，若y－2x的最大值是3，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，3]B．[1，3]C．(－∞，2)D．(2，＋∞)答案：A

反思感悟

由目标函数的最值求参数的方法(1)把参数当常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数求出最值，通过构造方程或不等式求出参数的值或取值范围．(2)先分离含有参数的式子，数形结合确定含参数的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．[提醒]

参数可能在表示可行域的不等式中(影响可行域的形状)，也可能在目标函数中(影响最优解的位置)，求解时注意参数的影响，有时需要对参数进行分类讨论．

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答案：C

考点三线性规划的实际应用[应用性][例4]

某校准备采用导师制成立培养各学科全优尖子生培优小组A，B，设想培优小组A中，每1名学生需要配备2名理科教师和2名文科教师做导师；设想培优小组B中，每1名学生需要配备3名理科教师和1名文科教师做导师．若学校现有14名理科教师和9名文科教师积极支持，则两培优小组能够成立的学生人数和最多是_____．5

反思感悟1．解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题．(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题．(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．【对点训练】[2022·河北省“五个一名校联盟”考试]某企业生产甲、乙两种产品